运筹学第三章 运输问题ppt课件.ppt

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1、2022/11/26,1,运筹学OPERATIONS RESEARCH,2022/11/26,2,第三章 运输问题,运输问题的数学模型表上作业法产销不平衡的运输问题及应用,2022/11/26,3,1 运输问题的典例及数学模型,一、 引例,某公司从三个产地 ， ， 将产品运往四个销地 ， ， ，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？,2022/11/26,4,解：从表中可知：总产量 = 总销量。这是一个产销平衡的 运输问题。假设 表示从产地 运往销地 的产 品数量， 建立如下表格：,于是可建立如下的数学模型：,2022/11/26,5,目标函数

2、：,约束条件：,产量约束,销量约束,20,20,2022/11/26,6,设有m个产地，分别为 ; n 个销地，分别是 ；从产地 运往销地 的单位运价是 ，运量 是产地 的产量； 是销地 的销量。,二、一般运输问题数学模型,则该运输问题的模型如下：,2022/11/26,7,说明：当 时，称其为产销平衡的运输问题，否则产销不平衡。,2022/11/26,8,说明：从上述模型可以看出：（1）这是一个线性规划的模型；（2）变量有mn个；（3）约束条件有 m+n 个；（4）系数矩阵非常稀疏；系数矩阵的秩一般为（m+n-1), 而非m+n 。,若直接用单纯形法求解，显然单纯形表比较庞大，于是在单纯形法

3、的基础上创建了表上作业法求解运输问题这一特殊的线性规划问题,2022/11/26,9,从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多，系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。 表上作业法适用于求解产销平衡的运输问题。（产销不平衡的问题可转化为平衡问题）,2 运输问题的表上作业法,2022/11/26,10,表上作业法 一般步骤：1、找出初始基本可行解；2、检查各非基变量的检验数，是否达到最优性条件，若达到，则得最优解；否则 转第三步；

4、3、确定出基变量、进基变量，用闭回路方法进行调整，得到新的基可 行解；4、重复第二、第三步，直至得到最优解。,2022/11/26,11,一、确定初始基本可行解： 对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个约束方程。 但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在mn的产销平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为基变量的值。,2022/11/26,12,那么在该例中，应有 3+4-1=6个基变量。,2022/11/26,13,1.最小元素法 最小元素法的思想是

5、就近供应，即对单位运价最小的变量分配运输量。 在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可能大的值，即x21=3,把A1的产量改为1，B1的销量改为0，并把B1列划去。在剩下的33矩阵中再找最小运价，同理可得其他的基本可行解。,3,11,3,10,8,5,10,2,9,4,7,1,2022/11/26,15,表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应的是非基变量（取值为零）.在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。（或者在同时划去Ai行与Bj列时

6、，在该行或该列的任意空格处填加一个0。） 这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为m+n-1个。,2022/11/26,16,2.Vogel法 Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差额越大处，就应当采用最小运费调运。,2022/11/26,17,3,11,3,10,2,9,4,7,1,10,8,5,2022/11/26,18,二、最优解的判别 判别解的最优性需要：计算检验数。方法有两种,闭回路：是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂

7、直方向前进，遇到代表基变量的填入数字的格可转90度（当然也可以不改变方向）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的闭回路。,1.闭回路法,因为任意非基向量均可表示为基向量的唯一线性组合，因此对于任意空格都能够找到、并且只能找到唯一的一条闭回路。,2022/11/26,20,从非基变量 出发，找到一个闭回路如上表所示。回路有四个顶点，除 外，其余都为基变量。调整调运量： ，运费增加了3元； ，运费减少3元 ，运费增加2元； ，运费减少1元调整后，总运费增加：3-3+2-1=1元。说明如果让 为基变量，运费就会增加，其增加值1作为 的检验数，

8、,2022/11/26,21,闭回路法计算检验数：就是对于代表非基变量的空格（其调运量为零），把它的调运量调整为1，由于产销平衡的要求,必须对这个空格的闭回路中的各顶点的调运量加上或减少1。最后计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来的变化。以这个变化的数值，作为各空格（非基变量）的检验数。判别最优解准则：如果所有代表非基变量的空格的检验数都大于等于零，则已求得最优解；否则继续改进找出最优解。,2022/11/26,22,2.位势法 （1）对运输表上的每一行赋予一个数值 ，对每一列赋予一个数值 ，称为行（列)位势。（2）行（列)位势的数值是由基变量的检验数所决定的，即基变量要满足： 非基变

9、量 的检验数就可以用公式 求出。,2022/11/26,24,我们先给u1赋个任意数值，不妨设u1=0，则从基变量x11的检验数求得 v3=c13-u1=3-0=3 。同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。检验数的求法，即用公式 ，如 。,2022/11/26,25,位势法计算检验数： 检验数：,又因为基变量的检验数为0，于是由（m+n-1)个基变 量的检验数可解出 ，进而计算其他非基变量的检验数。,其中,第i个分量,第m+j个分量,2022/11/26,26,三、改进运输方案的办法闭回路调整法,当表中的某个检验数小于零时，方案不为最优，需要调整。方法是：选取所有负检验数中最小的

10、非基变量作为入基变量，以求尽快实现最优。,（1）确定调整量：例：取 ，表明增加一个单位的 运输量，可使得总运费减少1。在以 为出发点的闭回路中，找出所有偶数顶点的调运量： ，则调整量 （2）调整方法：把所有闭回路上为偶数顶点的运输量都减少这个值，奇数顶点的运输量都增加这个值(见下表)。,2022/11/26,27,调整运量后的新方案：,2022/11/26,29,对上表用位势法进行检验如下表，可知已达最优解。,2022/11/26,30,表上作业法的一般步骤：1、用最小元素法或Vogel法确定初始基可行解；2、判断是否为最优：用闭回路法或位势法计算空格检验数，若所有检验数均非负，则已得到最优解

11、；否则进入第三步；3、 从所有负检验数中选择最小者对应空格作为进基变量，从此点出发作闭回路，确定调整量 ，奇点处增加 ，偶点处减少 。,2022/11/26,31,例：用表上作业法，求解下面的 运输问题 ：,解:用最小元素法确定初始基可行解，如下表所示：,2022/11/26,32,+,+,-,-,2022/11/26,33,+,+,-,-,2022/11/26,34,此时所有非基变量的检验数均非负，故已达最优解。,2022/11/26,35,一、产销不平衡的运输问题,例1：某公司从两个产地 ， ，将产品运往三个销地 ， ， ， 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。

12、 应如何调运可使运费最小？,3 产销不平衡的运输问题及应用,例1：某公司从两个产地 ， ，将产品运往三个销地 ， ， ， 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。 应如何调运可使运费最小？,例1：某公司从两个产地 ， ，将产品运往三个销地 ， ， ， 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。 应如何调运可使运费最小？,例1：某公司从两个产地 ， ，将产品运往三个销地 ， ， ， 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。 应如何调运可使运费最小？,例1：某公司从两个产地 ， ，将产品运往三个销地 ， ， ， 各产地的产量，各

13、销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。 应如何调运可使运费最小？,例1：某公司从两个产地 ， ，将产品运往三个销地 ， ， ， 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。 应如何调运可使运费最小？,例1：某公司从两个产地 ， ，将产品运往三个销地 ， ， ， 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。 应如何调运可使运费最小？,2022/11/26,36,易知这个问题中：总产量总销量，即,这时可考虑增加一个假想产地，其产量是（总销量总产量150)他到各销地的单位运费是于是得到如下的表格：,2022/11/26,37,例2：某单位有三个区，一

14、区、二区、三区；每年需要生活用煤和取暖用煤各3000吨，1000吨，2000吨；由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，两地价格和煤质相同，两煤矿的供应能力分别是1500吨，和4000吨。由煤矿至该单位三个区的单位运价如表所示。,由于供应能力限制，经研究决定，一区供应量可减少0300吨，二区全部满足，三区不能少于1500吨，试求使得运费最小的运输方案？,2022/11/26,38,根据题意，添加虚拟产地后，可作出产销平衡的运价表：,2022/11/26,39,例：设有三个化肥厂供应四个地区的化肥，假设等量的化肥在这个地区的使用效果相同。各厂的产量、各地区的需要量、单位运价如表所示。求出运费最省的

15、调拨方案。,2022/11/26,40,解：无论考虑需求的上限还是下限，这都是一个产销不平衡的问题。 当考虑下限时，产销；当考虑需求上限时，产销。 于是可以考虑在满足最低需求的情况下，兼顾最高需求。即将每 个地区的需求分为最低需求和（最高-最低）需求，最低部分必须 满足，高出的部分可满足也可不满足。虽然销地的需求无上限， 但根据生产能力，最多可以给她分配60万吨。 另外若将最高需求考虑进来，则需添加虚拟产地D，其产量应为 50万吨。 于是可给出如下的产销平衡及运价表。,2022/11/26,41,2022/11/26,42,二、生产与存储问题,例4：某厂按照合同规定须于当年每季度末分别提供10

16、，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。又如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度，存储维护费用0.15万元。要求在完成合同的情况下，使得全年生产（存储）费用最小的决策。,2022/11/26,43,注意：单位运价如何确定,故设： 表示第 季度生产，用于第 季度交货的产品数量。可建立数学模型。,2022/11/26,44,三、转运问题,以本章引例为例，产品从3个产地运往4个销地。现考虑;1、各产地的产品不一定直接运往销地，可以将产品集中后再一起运；2、运往个销地的产品也可先运给其中几个，再转运给其他销地；3、除产、销地外还可以有几

17、个中间转运站，在产地之间、销地之间、或产地与销地之间进行转运；已知单位运价表如下，问在考虑产销地之间直接运输和非直接运输的各种可能方案下，如何安排运输方案，可使总运费最小？,2022/11/26,45,2022/11/26,46,1、所有产地、销地、中间转运站都可作为产地或销地，于是得到扩大的运输问题，有11个产地和销地。2、建立扩大的运输问题的单位运价表，其中不可能的运输方案的单位运价用任意大正数M表示。3、中间转运站的产销量相等，而且在运费最小的方案中，不可能出现物资来回倒运现象，故转运点的产销量均为20。4、产地也作为转运站，故其产量应为原产量加上转运量，销量应为20（即转运而来的数量）。销地也是类似。于是有如下的产销平衡表，可用表上作业法求解。,2022/11/26,47,