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1、垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。,CDAB, CD是直径，, AE=BE,O,A,B,C,D,E,复习回顾,符号语言,人教版九年级上册,24.1.2 垂直于弦的直径（2） 垂径定理的推论与应用,九年级数学组,1、能推导垂径定理的推论；2、牢记推论中“（不是直径）”以及它的含义；3、能综合使用垂径定理及其推论，进一步体会转化思想的重要性。,学习目标,垂径定理推论？,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。, CDAB, CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,学习活动1,（1）如何证明？,合作探究,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且AE=
2、BE.,1.独立思考2.小组交流3.代表展示4.简单说理 +1,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。+1,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。, CD是直径, CDAB, AM=BM,如果上面五个要素中的任何两个作为条件，那么一定可以得到其他三个结论吗？,一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.,垂径定理的推广,俗称知二推三,根据已知条件进行推导：过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。,（
3、3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.,学习活动2,(4)若 ，CD是直径,则 、 、 .,(1)若CDAB, CD是直径, 则 、 、 .,(2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 .,(3)若CDAB, AM=MB, 则 、 、 .,1.如图所示:,练习提高,AM=BM,CDAB,CD是直径,CDAB,AM=BM,2.判断：,( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.,( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所
4、对的另一条弧.,( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.,( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,3、如图，点P是半径为5cm的O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，（1）最长的弦= cm（2）最短的弦= cm,练习提高,A,O,C,D,5,4,P,3,B,4、如图，点A、B是O上两点，AB=8,点P是O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OEAP于E,OFBP于F,EF= 。,4,练习提高,温馨提示：垂径定理中位线定理,1. 已知A、B、C是O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为3厘米，圆
5、的半径为5厘米，求AB长。,D,D,典例分析,温馨提示：凡是要自己的画图的要注意考虑多种情况,已知O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。,E,E,D,D,跟踪练习,3.某圆直径是10,内有两条平行弦，长度分别为6和8。求这两条平行弦间的距离。,跟踪练习,这节课你有什么收获？,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,1、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段,梳理归纳,2、一个Rt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦,O,A,B,C,3、两个定理： 垂径定理、
6、勾股定理,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB= ,AC= ,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,当堂检测,1.如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是 。,C,4,5,3,3cmOP5cm,超越梦想,2.如图，AB为O的一条直径，它把O分成上、下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CDAB, OCD的平分线交O于P，当点C在半圆上（不包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样的变化？试说明理由？,超越梦想,布置作业,
