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1、第十一章,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,常数项级数的 基本概念和性质,二 、收敛级数的性质,一、常数项级数的概念,第十一章,第一节,引例1,一、常数项级数的概念,1. 引例,引例2,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 ：,设 a0 表示,ak 表示边数,则圆内接正,引例3,内接正三角形面积,增加时增加的面积,一般项：,级数的和,2. 定义,给定数列,无穷级数:,部分和：,无穷级数收敛：,记作,级数的余项：,无穷级数发散 ：,级数收敛时，,例1,(几何级数),1) 若,知,故级数收
2、敛 ,知,则部分和,故级数发散 .,其和为,证明等比级数,当 时收敛,当 时发散 .,证,2) 若,级数发散 ;,n 为奇数,n 为偶数,结论：,时收敛,时发散 .,则,级数为,不存在 ,等比级数,等比级数,因此级数发散.,拆项相消,解,所以级数发散.,例2,判别级数 的敛散性.,部分和,证(方法1),例3,发散.,un,(方法2),(方法3),(方法4),见后面.,二、收敛级数的性质,性质1 若,收敛 ,证 令,则,收敛 , 其和为 c S .,推论1,其和为 c S.,收敛，则,故,敛散性相同 .,性质2 设收敛级数,则,也收敛, 其和为,注,的敛散性规律：,收收为收，,收发为发，,发发不
3、一定发.,例如,1 收敛级数可逐项相加( 减 ).,2,性质3,级数前面加上,不影响级数的敛散性.,证,去掉前 k 项,的部分,数敛散性相同.,收敛时, 其和,故新旧级,新级数,同敛散，,有限项不影响级数的敛散性,（去掉、或修改）有限项,和为,性质4,收敛级数加括弧后,原级数的和.,证 设,收敛，任意加括弧,所成的级数仍收敛于,推论2 若加括弧后的级数发散,但,例如，,则原级数必发散.,用反证法,注,？,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,例3,的敛散性.,解(方法4),例4 判断级数的敛散性,解 加括号级数为,故加括号级数发散,从而原级数发散.,性质5（级数收敛的必要条件）,
4、设,收敛，则,证,注,非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,发散，,故所给级数发散.,则级数 必发散 .,推论3 若,例5 (1),解 (1),故原级数发散.,小结:,收敛,发散,例6 判断敛散性, 若收敛求其和:,解 令,则,故级数发散.,例7 判断级数的敛散性：,解,原级数收敛, 其和为 3 .,内容小结,1. 无穷级数概念：,级数收敛、发散，部分和，余项,2. 两个常见级数的敛散性：,(1) 等比级数,(2) 调和级数,3. 级数性质：,(1),敛散性相同,(2) 收敛级数可以逐项相加，,(3) 级数加,不影响其敛散性.,（去或改）有限项,(4) 收敛级数加括弧后,仍收敛于原级数的和.,(5) 级数收敛的必要条件: 一般项的极限为零,所以级数收敛, 其和为 1 .,“拆项相消” 求和,解,备用题例2-1,例2-2 判断敛散性, 若收敛求其和:,解,拆项相消,原级数收敛 ,其和为,例3-1,判别级数,的敛散性 .,解,故原级数收敛 , 其和为,例4-1 判断级数的敛散性,解 加括号级数,发散 ,故原级数发散 .,一般项,
