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1、2022/11/26,弹 性 力 学,洛阳理工学院土木工程系,1,第四章平面问题的极坐标解答,2022/11/26,2,2022/11/26,本章将系统地平面问题极坐标解答的基本理论。主要内容如下：1、极坐标系下平面问题的基本方程；2、极坐标系下按应力求解的方法；3、极坐标系下典型问题的求解；,本章学习指南,3,2022/11/26,为了牢固地掌握极坐标系下平面问题的基本理论，要求理解：1、极坐标系求解的适用对象；2、极坐标系下基本未知函数的表示方法及与直角坐标表示法的异同；3、极坐标系下基本方程和按应力求解方法，并比较与直角坐标系的基本方程和解法的异同；,本章学习指南,4,2022/11/2
2、6,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,5,2022/11/26,绪论,采用极坐标系求解的优点：对于由由径向线或圆弧线所围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化，宜用极坐标求解。,极坐标系中任一点用径向坐标 r 和环向坐标 f 表示，与直角坐标系相比：相同点：均为正交坐标系；不同点：直角坐标系中两坐标线均为直线，有
3、固定方向，量纲均为L；而极坐标系中径向坐标线为直线，环向坐标线则为圆弧曲线，不同点有不同方向，量纲分别为L和一。,上述区别会引起弹性力学基本方程的差异。,6,2022/11/26,绪论,正负号规定：正坐标面上以沿正坐标方向为正，负向为负；负坐标面上以沿负坐标方向为正，正向为负；,径向及环向的体力分量分别用fr和fj表示，以沿正坐标方向为正，负向为负。,应力分量的定义： 选取由两条径向线和两条环向线所围成的微分体PACB，厚度为1。沿r方向的正应力称为径向正应力，用sr表示；沿j方向的正应力称为环向正应力或切向正应力，用sj表示；切应力用trj及tjr表示,7,2022/11/26,4.1 极坐
4、标中的平衡微分方程,考虑问题的基础知识：平面上的静力学知识,分析问题方法：平面力系和力矩的平衡条件,分析手段：微分单元体（微分）,意义：平面区域内任一点的微分体的平衡条件,8,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程,径向面PB和AC的面积不相同，分别为 rdf1 和 (r+dr )df 1，环向面PA和BC的面积均为dr 1，但两者不平行。,与直角坐标中相似，利用级数展开，可求出各微面上的应力。,力矩平衡条件：由通过中心点并平行于Z轴的直线为转轴，根据力矩的平衡条件，可推导出“切应力互等定理”，即,9,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程,力系平衡条件： 将微分体所受各力分别投影
5、到微分体中心的径向轴和环向轴上，可分别列出径向和环向的平面平衡方程，即,10,2022/11/26,径向的平衡方程,PB及AC的面积分别为：,PA及BC的面积为：,11,2022/11/26,平衡微分方程：注意事项,列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力；,应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的条件；,平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件,平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同,12,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移
6、圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,13,2022/11/26,4.2 极坐标中的几何方程与物理方程,极坐标系中的应变分量：径向线应变er ：径向线段的线应变环向线应变ej ：环向线段的线应变切应变grj ：径向和环向两线段间直角的改变,极坐标系中的位移分量：径向位移ur ：径向方向的位移环向位移uj ：环向方向的位移,为了推导方便，先分别考虑只有径向位移和只有环向位移的情形，然后根据弹性力学的叠加原理，得到径向和环向位移都发生时极坐标系中的几何方程。,14,2022/11/26,极坐标中的几何方程,首先，假定只有径向位移，图
7、中P、A和B点的位移分别为：,径向线段PA的线应变和转角分别为,环向线段PB的线应变和转角分别为,切应变为,15,2022/11/26,极坐标中的几何方程,其次，假定只有环向位移，图中P、A和B点的位移分别为：,径向线段PA的线应变和转角分别为,环向线段PB的线应变和转角分别为,切应变为,16,2022/11/26,极坐标中的几何方程,根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：,（4-2）,应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的条件；,17,2022/11/26,极坐标中的物理方程,由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选
8、择无关。对于直角坐标系和极坐标系，因为它们都是正交坐标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。,物理方程：应力与应变的关系,对于理想弹性体，平面应力问题的物理方程,18,2022/11/26,极坐标中的物理方程,对于理想弹性体，将直角坐标系的物理方程中下标作相应的替换，可得极坐标中平面应力问题的物理方程如下：,将平面应力问题物理方程中的 E 和 m 作如下替换，可得平面应变问题的物理方程（4-4）,19,2022/11/26,极坐标中的边界条件,1、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常均为坐标面，即r面（r为常数）和f面（f为常数），使边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分
9、简单。 2、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定）,极坐标系中边界条件的处理：,20,2022/11/26,极坐标中的边界条件,3、对于位移边界条件，所给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值，可直接由 ur 和 uj 建立等式,21,2022/11/26,例题,例1、写出习题49的应力边界条件,例2、写出习题412的应力边界条件,在y轴正半轴上（正f面）：,在y轴负半轴上（负f面）：,在左边界上（正f面）：,在右边界上（负f面）：,22,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方
10、程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,23,2022/11/26,4.3 极坐标中的应力函数与相容方程,极坐标系中的一切公式，可以如同直角坐标系中一样从头导出，但是也可以简化公式的推导，直接通过坐标变换关系，将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标系中。,变换1：坐标变量的变换：,反之：,24,2022/11/26,极坐标中的应力函数与相容方程,变换2-函数的变换：只需将上述坐标变换式（a）或（b）代入函数即可。,反之：,变换3位移的变换：如图，通过投影的方法，可得位移的坐标
11、变换式如下：,25,2022/11/26,极坐标中的应力函数与相容方程,变换4导数的变换：由坐标变量的变换，可得导数的变换式,26,2022/11/26,极坐标中的应力函数与相容方程,变换5应力函数的一阶导数的变换：由复合函数的求导法则,变换6应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出，因为：,同理，即可得出教材中的(a)-（c）式,27,2022/11/26,极坐标中的应力函数与相容方程,（4-5）,应力分量表达式,由左图可知，当x轴和y轴分别转到r轴和j轴时，有 j=0，由直角坐标中应力分量的表达式，当不计体力时，极坐标中应力分量可由应力函数表达如下：,28,2022/11/26,极坐标中的
12、应力函数与相容方程,将教材中的(a)和（b）式相加，得到应力函数的拉普拉斯算子运算式如下：,根据上式及直角坐标系下的相容方程，当不计体力时，可得极坐标中的相容方程为,(4-6),29,2022/11/26,极坐标中的应力函数与相容方程,综上所述，当不计体力时，在极座标中按应力求解平面问题时，归结为求解一个应力函数，它必须满足：（1）在区域内满足极座标中的相容方程（4-6）；（2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边界条件）；（3）如为多连体，还须满足单值连续条件；,求解应力函数的方法与直角坐标系下一样，仍可采用逆解法和半逆解法；求得上述条件的应力函数后，由（4-5）式可求应力分量；进而由
13、物理方程求应变分量，由几何方程求位移分量,30,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,31,2022/11/26,4.4 应力分量的坐标变换,由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。,由一点的应力状态分析可知，由已知的直角坐标中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者由已知
14、的极坐标中的应力分量求直角坐标中的应力分量，就需要建立两个坐标系中应力分量的关系式，即应力分量的的坐标变换式。,32,2022/11/26,应力分量的坐标变换,如图，当取厚度为1，包含x面、y面和径向坐标面的微小三角板A时，由微分体沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：,同理，当取厚度为1，包含x面、y面和环向坐标面的微小三角板B时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：,33,2022/11/26,应力分量的坐标变换,综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：,（4-7）,同理，如果考虑x和y方向的静力平衡条件，可导出应力分量由极坐标向直角坐标的的
15、转换式：,（4-8）,34,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,35,2022/11/26,4.5 轴对称应力和相应的位移,轴对称：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面均是对称面。,由于对称，在对称面两边对应点的物理量必须满足如下两个条件（1）数值必须相等：在极座标下，任一环向线上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径向坐标 r 的函数，不随环向坐标 f
16、 改变，即与 f 无关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维。（2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不对称的物理量不能存在。,36,2022/11/26,轴对称应力和相应的位移,（1）假设应力函数：应力是轴对称的，从方向的对称性可得 trj= tjr=0，由数值的对称性可知应力函数只是径向坐标的函数：,代入极坐标系中的应力公式（4-5）,（4-9）,化简得：,按逆解法进行求解,37,2022/11/26,轴对称应力和相应的位移,（2）由相容方程求应力函数的一般形式：上述应力函数必须满足相容方程，代入式（4-6）得：,其中A、B、C和D为四个待定常数。,方程为一个四阶常微分方程，其
17、全部通解只有4项。上式积分4次，即得到轴对称应力状态下应力函数的通解：,（4-10）,38,2022/11/26,（3）求应力分量：将公式（4-10）代入（4-9），得轴对称应力的应力分量为：,轴对称应力和相应的位移,对于平面应力情况，将上述应力代入物理方程（4-3），可求得相应的应变分量（见教材），它们也是轴对称。,将上面所求的应变分量代入几何方程（4-2），通过积分，可得到轴对称应力状态下的位移分量如公式（4-12），位移分量中包含了非轴对称的项。（详细过程见教材，并参考高等数学的有关常微分方程解的内容）,（4-11）,39,2022/11/26,4. 位移分量,对于平面应力问题，有物理方
18、程,（a）,积分式（a），有,40,2022/11/26,（b）,将式（b）代入式（a）中第二式，得,将上式积分，得:,（c）,将式（b）代入式（c）中第三式，得,或写成：,要使该式成立，两边须为同一常数。,41,2022/11/26,（d）,（e）,式中F 为常数。对其积分有：,（f）,其中 H 为常数。对式（e）两边求导,其解为：,（g）,（h）,将式（f） （h）代入式（b） （c），得,（b）,（c）,（4-13）,42,2022/11/26,以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般性解答，适用于任何轴对称应力问题。,轴对称应力和相应的位移,应力分量（4-11）和位移分量（4-
19、12）中的待定常数，可通过应力边界条件和位移边界条件（多连体中还须考虑位移单值条件）来确定。,将平面应力问题解答中的 E 和 m 作如下替换，可得平面应变问题的解答。,43,2022/11/26,轴对称应力和相应的位移,一般而言，产生轴对称应力状态的条件是：弹性体的形状和应力边界条件必须是轴对称的。由此得出的应力分量和应变分量是轴对称的。如果位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。,44,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体
20、在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,45,2022/11/26,4.6 圆环或圆筒受均布压力,圆环和圆筒是工程中常见的重要构件之一，如高压管筒、炮筒等。圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变问题）受到内外均布压力作用。显然，它属于轴对称应力问题，完全可以应用上节中轴对称应力问题的通解：,(4-11),其中的3个待定常数根据内外边界面上的应力边界条件来确定。,46,2022/11/26,圆环或圆筒受均布压力,由于轴对称，关于切应力的两个条件是自然满足的。将应力分量表达式(4-11) 代入(a)式，得到 2 个方程(b)式，显然不能确定 3 个待定常数A、B、C。,在内外边界面上，
21、分别有应力边界条件：,(a),48,2022/11/26,圆环或圆筒受均布压力,将 B=0 代入方程式(b)，即可解得另两个待定常数A、C。,由于圆环和圆筒是二连体，其位移分量必须满足位移单值条件。由位移解答式(4-12)中关于环向位移的解，对于同一点 (r,j) 和 (r,j+2p) ，将会得到不同的位移，这是不可能的。,于是由位移单值条件可见必须有：B=0,49,2022/11/26,圆环或圆筒受均布压力,将待定常数A、B、C代入应力分量表达式(4-11)，整理可得应力解答式(4-13)。,50,2022/11/26,圆环或圆筒受均布压力,下面利用上述解答讨论两种特例：即内压力和外压力单独
22、作用时的情况。,1、如果只有内压力 q1 作用，则外压力为0，代入应力解答式(4-13)，化简得,51,2022/11/26,圆环或圆筒受均布压力,显然，由应力公式可知，径向应力总为负值，即为压应力；环向应力总为正值，即为拉应力。应力分布大致如图所示。最大值发生在内壁处。,当外半径趋于无限大时，由上式可得具有圆孔的无限大薄板或具有圆孔道的无限大弹性体的应力解答：,可知在远离小孔处的应力可忽略不计。,52,2022/11/26,圆环或圆筒受均布压力,2、如果只有外压力 q2 作用，则内压力为0，代入应力解答式(4-13)，化简得,显然径向应力和环向应力都是总为负值，即为压应力。应力分布大致如图所
23、示。最大环向应力发生在内壁处,(4-14),53,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,54,2022/11/26,4.8 圆孔的孔口应力集中,“小孔口问题”应符合两个条件：（1）孔口尺寸远小于弹性体的尺寸，这使孔口的存在所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内；（2）孔边距离弹性体边界比较远（约大于1.5倍的孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。,在小孔口问题中，孔口附近
24、将发生应力集中现象，它具有两个特点：（1）孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。（2）应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍的孔口尺寸（如圆也直径）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。,下面分四种情况讨论圆孔口的一些解答：双向均布拉力、均布拉力和压力（相等和不相等两种情况）、只有x向的均布拉力。,55,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,1、距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力,由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极坐标系求解。,以坐标原点为圆心，以远大于r的长度R为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在大圆周上各点
25、的应力情况与无孔时相同，即,代入应力分量坐标变换式（4-7），得大圆周上的极坐标应力分量为,因此求解圆孔附近的应力分布问题就转化为内半径为r、外半径为R的圆环或圆筒在外边界受均布拉力的轴对称应力问题。,56,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,根据上节中圆环只有外压力作用时的解答式（4-14），可取外压力为q2=-q，代入得,由于 R 远大于 r ，上式可化简为,(4-17),57,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,2、距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q、上下两边受均布压力q,以坐标原点为圆心，以远大于r的长度R为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在大圆周上各点的应力情况与无孔
26、时相同，即,代入应力分量坐标变换式（4-7），得大圆周上极坐标应力分量为（也是外边界条件）,在孔边处的边界条件为（也是内边界条件）,58,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,（1）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式：,（2）代入极坐标中应力分量与应力函数的关系（4-5），得应力函数的一般形式如下：,因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称应力问题，下面采用半逆解法来进行求解。,59,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,（3）将将应力函数代入极坐标中的相容方程（4-6），并求解常微分方程得应力函数的具体形式如下,（4）由应力函数求应力分量：代入方程（45），可得应力分
27、量表达式（d）。,（5）考察内外边界处的边界条件，并考虑到 R 远大于 r，确定四个待定常数A、B、C、D为,代入应力分量表达式，得最终解答（418）式。,60,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,3、距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q1、上下两边受均布拉力q2,此时，根据解的叠加原理，可将荷载分解为两个部分： （1）第一部分是四周受均布拉力(q1 + q2)/2； （2）第二部分是左右两边受均布拉力(q1 - q2)/2和上下两边受均布压力(q1 - q2)/2；,61,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答
28、。,对于第一部分荷载，可应用解答（417），并将其中的 q 替换为(q1 + q2)/2；,对于第二部分荷载，可应用解答（418），并将其中的 q 替换为(q1 - q2)/2；,62,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,4、只在左右两边受均布拉力q,根据第三种情况，可将荷载分解为两个部分：第一部分是四周受均布拉力q/2；第二部分是左右两边受均布拉力q/2和上下两边受均布压力q/2；,对于第一部分荷载，可应用解答（417），并将其中的 q 替换为q/2；,对于第二部分荷载，可应用解答（418），并将其中的 q 替换为q/2；,根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的
29、应力分量解答（419） 。,63,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,下面来分析第四种情况时（只在左右两边受均布拉力q），圆孔附近的应力状态,1、在 y 轴上（f= p/2），环向正应力为,2、在 x 轴上（ f=0 ），环向正应力为,在 y 轴上，环向正应力在孔边达到最大值 3q，随着远离孔边而急剧趋近于q ；,在 x 轴上，环向正应力在孔边达到最小值 q ，在 处变为0，即在此段距离内应力变号，成为压应力；此后，随着远离孔边而又变为拉应力，并逐渐趋近于0；,64,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,2、在 x 轴上（ f=0 ）或 y 轴上（ f= p/2 ），分析可得，在距离
30、圆孔为1.5倍孔口尺寸时（ r=4r ），由于圆孔引起的应力扰动已小于q 值的 5%，可忽略不计。,65,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,对于其它形状的孔口，其应力集中现象具有相同特点：集中性和局部性；,工程实践证明：孔口应力集中程度与孔口形状有关，圆孔的应力集中程度低，应尽可能采用圆孔形式；,66,2022/11/26,圆孔的孔口应力集中,推广2：由于小孔口问题的应力集中现象具有局部性的特点，所以对于各种小孔口问题的分析，均可近似为无限域中的孔口问题，即：（1）假设无孔，求出结构在孔心处的应力；（2）求出孔心处的主应力s1、s2和主方向；（3）然后可简化为，在两个方向分别受均布拉力
31、s1、s2的远处应力场作用下，求小孔口附近的应力集中问题。,67,2022/11/26,课后作业,作业：习题43，习题49.习题4-10,68,2022/11/26,补充知识,一、n阶齐次常系数线性常微分方程的通解,其解可以用特征根法求解：即令y=elx代入上式，得到下列特征方程的解，从而得到原方程的n个解,69,2022/11/26,补充知识,二、n阶欧拉方程的通解,上述方程可以通过变量代换 x=et 或 t=lnx，化为函数y对新自变量 t 的常系数线性常微分方程，然后用特征根法求解。,70,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相
32、容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,71,2022/11/26,4.9 半平面体在边界上受集中力,半平面体的解答常用于地基等实际工程问题。,如图，半平面体受集中力 F （单位厚度上的力）的作用，采用半逆解法求解，其步骤如下：,72,2022/11/26,半平面体在边界上受集中力,1、根据量纲分析方法来假定应力分量的函数形式,应力分量比集中力的长度量纲低一次幂，而应力函数又比应力分量的长度量纲高二次幂，因此可假定应力函数是环向坐标 f 的某一函数乘以极半径 r ：,2、代入相
33、容方程（4-6），求应力函数,解此常微分方程，得：,代入应力函数，得,73,2022/11/26,半平面体在边界上受集中力,略去应力函数中与应力分布无关的一次式，得到教材中式(4-20)的应力函数。,3、由应力函数求应力分量代入应力分量表达式（4-5），得教材的式（b）。,74,2022/11/26,半平面体在边界上受集中力,由于集中力作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：（1）不包含原点，则在r0 ， f= p/2 的边界面上，没有任何法向和切向面力作用，因而应力边界条件为,由应力分量式（b） ，显然这是满足的。,4、考察边界条件,75,2022/11/26,半平面体在边界上受集中力,
34、（2）在原点附近，可以看成是一段小边界。在此小边界处，有面力的作用，而面力可以向原点简化为作用于原点的主失量为 F ，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来进行处理，以点O为中心，以r为半径作圆弧线abc，在原点附近割出一小部分脱离体Oabc，然后考虑此脱离体的平衡条件，得到三个平衡方程，即教材中的式（C）：,76,2022/11/26,半平面体在边界上受集中力,对于集中力垂直于边界面的情况，直接令式(4-21)中的力作用角度b为0，可得到其应力解答式(4-22) 。并进而代入坐标变换式(4-8)，可求出直角坐标系中的应力分量表达式(4-23)和(4-24),求出应力解答后，可以由物理方程求出应
35、变分量，然后根据几何方程通过积分求出位移分量，即式（d）。（具体过程见教材和本章第5节的相关部分）,对于平面应变情况下的半平面体，将以上解答中弹性常数作相应的替换即可。,并进而求得待定常数 C 和 D，及式(4-21)；,77,2022/11/26,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,78,2022/11/26,4.10 半平面体在边界上受分布力,有了上一节中集中力作用下的解答，可以很方便地将它推广
36、有分布荷载作用下的情形。如图，半平面体受分布力 q 的作用，根据叠加原理来求解。,79,2022/11/26,半平面体在边界上受分布力,为了推广教材中式（4-24）的应力解答，需要用微分集中力dF = qdx来代替式（4-24）中的集中力 F。并注意在式（4-24）中的 x 表示力 F 作用点到所求点的垂直距离，现在 dF 作用点到所求点的垂直距离仍为 x ；式（4-24）中的 y 表示力 F 作用点到所求点的水平距离，现在 dF 作用点到所求点的水平距离应为 y-x 。综上，推广应用时应作如下的代换：,然后从 -b 到 a 对 x 积分，即可得出分布荷载 q 作用下的解答式（4-26）。,对
37、于均匀分布荷载，q 为常量，应用式(4-26)可得式(4-27)。,80,2022/11/26,本章小结,1、极坐标中的基本方程和边界条件,（1）平衡微分方程,（4-1）,（4-2）,（2）几何方程,81,2022/11/26,本章小结,（4）边界条件：对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常均为坐标面，边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。,（3）物理方程（平面应力问题）,（4-3）,82,2022/11/26,本章小结,2、极坐标中按应力函数求解，应力函数应满足：,（1）区域内满足极座标中的相容方程：,（2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边界条件）；,（4-6）
38、,（3）如为多连体，还须满足位移单值连续条件；,当不计体力时，由应力函数求应力分量的表达式：,（4-5）,83,2022/11/26,本章小结,3、轴对称应力和相应的位移,（3）位移（平面应力问题）：教材中公式（4-12）,（1）应力函数：,（4-10）,（2）应力分量：,（4-11）,84,2022/11/26,习题课,例1、设有一楔形体，其中心角为2a，下端无限长，在顶端受到集中力偶作用，单位宽度上的力偶矩为M，楔形体的厚度取为单位长，如图所示，不计体力。（1）假设应力函数=f(f)，在极坐标系下求解应力分量；（2）根据上述结果，求半无限大平面体在上边界上受集中力偶M作用时的应力分量。,8
39、5,2022/11/26,习题课,（1）假设应力函数：,按逆解法进行求解,（2）由相容方程求应力函数的一般形式：上述应力函数必须满足相容方程，代入式（4-6）得：,86,2022/11/26,习题课,其中A、B、C和D为四个待定常数。,方程为一个四阶常微分方程，其全部通解只有4项。用特征根法求解，得到其解：,87,2022/11/26,（3）求应力分量一般表达式：将上式代入（4-9），得应力分量为：,习题课,88,2022/11/26,习题课,集中力偶作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：（1）不包含原点，则在r0 ， f= a的边界面上，没有任何法向和切向面力作用。,此外还有应力边界条件：,4、考察边界条件，求待定常数,首先分析问题的对称性：由于结构是正对称的，而荷载是反对称的，因此应力函数是反对称的。,89,2022/11/26,习题课,（2）在原点附近，考虑平衡条件。以点O为中心，以r为半径作圆弧线，取上半截为脱离体，然后考虑此脱离体的平衡条件，得到三个平衡方程：,90,2022/11/26,习题课,前两式自然满足，由第三式有：,91,2022/11/26,习题课,进而求得应力分量：,92,2022/11/26,习题课,5、根据上述解答可求得半平面体受集中力偶作用的应力分量,令2a=，代入上式有,93,2022/11/26,（4-7）,94,
