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1、第六节 独立性,两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结,-,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,一、两事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,-,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B),用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约.,-,若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (
2、1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.,两事件独立的定义,-,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .,甲、乙两人向同一目标射击,记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？,例如,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）,在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,-,一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品 i=1,2,(1)若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.,因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.,又如：,因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.,(2)若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.,-,请问：如图的两个事
3、件是独立的吗？,即 若A、B互不相容,且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之,若A与B独立,且P(A)0,P(B)0,则A、 B相容.,而P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,P(AB)=0,此例说明:互不相容与相互独立不能同时成立。,-,问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互不相容?,这两个事件就是 S和,P( S) =P( )P(S)=0,与 S独立且互不相容,不难发现， 与任何事件都独立.,-,=P(A)1- P(B),= P(A)- P(AB),P(A )= P(A - A B),A、B独立,概率的性质,= P(A)- P(A) P(B),仅证A与
4、独立,定理 2 若两事件A、B独立, 则,也相互独立.,证明,= P(A) P( ),故 A与 独立,-,二、多个事件的独立性, 、三个事件的独立性,-,四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.,缺一不可,-,-,请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对 n (n 2)个事件,?,、n个事件的独立性,-,性质：,(1)若事件 相互独立， 则其中的任意k 个事件也相互独立,（相互独立事件至少发生其一的概率的计算）,-,注意:,说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。,-,例1 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500
5、人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。,解 以 表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,，1500），假定每个人是否带有感冒病毒 是相互独立的，则所求概率为,对独立事件，许多概率计算可得到简化,三、独立性的概念在计算概率中的应用,-,从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。,-,例2 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.,-,解 将电路正常工
6、作记为W，由于各元件独立工作，有,其中,P(W) 0.782,代入得,-,例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设A=飞机被击落 Bi=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式,则 A=B1A+B2A+B3A,解,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2),+ P(B3)P(A |B3),-,可求得,为求P(Bi ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得,P(B
7、1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.,-,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,于是,-,四、小结,这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.,-,1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。,本章要点,-,
