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1、1,内容回顾,1、直角坐标系下二重积分的计算转化成二次积分,1,选择积分次序的原则：,(1)积分容易；,(2)尽量少分块或不分块.,划线定限,2,但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分,内容回顾,次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序，,则需交换积分次序.,交换积分次序的一般步骤：,3,第三节 极坐标系下二重积分的计算法,回顾极坐标的相关知识,1、直角坐标与极坐标的关系：,4,2、常见曲线的极坐标方程：,1、圆,2、圆,3、圆,5,2、常见曲线的极坐标方程：,5、阿基米德螺线,6、双纽线,4、心形线,6,所以面积元素为,在极坐标系下,可用同心圆r =常数,及射线 =常数来划分区
2、域D.,则小区域的面积为,一、极坐标系下二重积分的表示,7,（极点在区域D的外部）,则,二、极坐标系下二重积分的计算公式,（1）区域D特征如图,8,（极点在区域D的边界）,二、极坐标系下二重积分的计算公式,（2）区域D特征如图,则,9,（极点在区域D的内部）,二、极坐标系下二重积分的计算公式,（3）区域D特征如图,则,10,在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：,1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界,2)被积函数具有 等形式时,用极坐标积分,用极坐标表示较为简单；,较为容易.,11,解,例1,用极坐标计算,12,利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有,用的广义积
3、分Possion积分.,本题若选用直角坐标系,则,（无法计算）,13,解,14,作如下三个平面区域,显然有,从而,由例1结果,得,15,又,由夹逼准则,即,从而,16,解,计算二重积分,例2,区域D为环域, 用极坐标计算,17,解,R,用极坐标计算,例3,18,解,R,用极坐标计算,例3,常见错误：,19,例4,解,20,例5,解,直接做麻烦, 化为极坐标,21,第四节 二重积分的几何应用,一、求平面图形的面积,例1,求由曲线 和直线 及x 轴所,围成的平面图形的面积.,解,(用直角坐标),22,二、求曲顶柱体的体积,例2,解,(用极坐标),23,例2,解,平面投影区域为,所求立体体积为,24
4、,24,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区域D关于y 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有,(2) 若f(x,y)关于 x 是偶函数，,则有,其中 是D的右半区域.,25,25,设积分区域D关于x 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 y 是奇函数，则有,(2) 若f(x,y)关于 y 是偶函数，,则有,其中 是D的上半区域.,注意：,利用对称性简化二重积分的计算,不仅要考虑区域的对称性,还要考虑函数的奇偶性.,26,26,例3 设有平面区域,解,27,27,解,选(A).,28,解,利用对称性化简，,例4,(用极坐标),29,作业：,30,30,例4 求二重积分,解,区域D分别关于x轴和y轴对称，,31,例4,解,转化为极坐标，,32,
