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1、1,2022/11/27,1,第七章 系统函数,7.1系统函数与系统特性,7.3 信号流图,7.2 系统的稳定性,2,2022/11/27,2,LTI: 连续系统 离散系统 时域分析: 冲激响应h(t) 单位响应h(k) 复频域分析: H(s) H(z).系统函数 频域分析: H(j) H( )频率响应 =H(s) s=j =H(z) z=,3,2022/11/27,3,1.系统函数-时域响应，频率响应. 2.系统的因果性和稳定性，判据. 3.信号流图. 4.系统的模拟.,4,2022/11/27,4,7.1系统函数与系统特性,一.系统函数的极点和零点. 1.连续系统: H(s)=B(s)/A
2、(s)= 极点:A(s)=0的根，p1,p2,pn. H(pi) 零点:B(s)=0的根, z1, z2, zm. H(zi)=0,5,2022/11/27,5,H(s)=B(s)/A(s)= =极点类型: 一阶:实数,虚数,复数. 多阶:实数,虚数,复数.,6,2022/11/27,6,2.离散系统: H(z)=B(z)/A(z) =,7,2022/11/27,7,极点在左半开平面. 0 在实轴上: 一阶极点:p=- , H(s)=b/(s+),h(t)=be- t(t) 二阶极点:p=- (二阶), H(s)= k/(s+)2, h(t)=kt e- t(t) ,limh(t)=0 t 多
3、阶极点: p=- (高阶), H(s)= k/(s+)r h(t)=k t r-1e- t limh(t)=0 t,二、极点零点与时域响应的关系:,8,2022/11/27,8,不在实轴上:一阶共轭复数:p1,2=-j, h(t)=k e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t二阶共轭复数:p1,2=-j(二阶), h(t)=kt e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t,9,2022/11/27,9,在虚轴上: 一阶极点:p=0, H(s)=k/s,h(t)=k(t), limh(t)=有限值 t 一阶共轭:p=j, h(t)=kcos(t+) (t), lim
4、h(t)=有限值 t,10,2022/11/27,10,虚轴上二阶极点: p=0(二阶), H(s)=k/s2, h(t)=kt(t), limh(t) t p=j(二阶), h(t)=ktcos(t+), limh(t) t,11,2022/11/27,11,右半开平面 : 实数: p=, h(t)= e t limh(t) t 复数: p=j, h(t)= e t cos(t+) limh(t) t,12,2022/11/27,12,几种典型情况,13,2022/11/27,13,Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)= (-1/3)k (k) 0 单位圆上:p=1,h(k)= (1)
5、k(k),有限值. 单位圆外:p=2,h(k)= (2)k (k) ,2.离散系统:,-1/3,1,2,Rez,Imz,Z平面,14,2022/11/27,14,极点位置与h(k)形状的关系,15,2022/11/27,15,利用zs平面的映射关系,16,2022/11/27,16,三、极点零点与频域响应的关系:,定义,所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。,17,2022/11/27,17,前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。,时域：,频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。,其收敛域包括虚轴：拉氏变换 存在傅里叶变换 存在,18,20
6、22/11/27,18,1.H(s)和频响特性的关系,频响特性,系统的稳态响应,幅频特性,相频特性（相移特性）,19,2022/11/27,19,2几种常见的滤波器,20,2022/11/27,20,3.极点零点与频率响应:,1.连续系统:,21,2022/11/27,21,矢量分析法: Ai j pi pi i 0 令j-pi= Ai j-zj=Bj,Bj,|zj|,i,22,2022/11/27,22,幅频:相位:()=(1+m)-(1+n) 分析: 从0,23,2022/11/27,23,例: R u1(s) + - 1/sc u2(s) H(s)=u2(s)/ u1(s) =,24,2
7、022/11/27,24,极点:p=-1/Rc,左半开平面. 定量: ()=0-arctg,25,2022/11/27,25,定性: 从0变化.H(j) = ()=0- j A j -1/Rc 0 ,26,2022/11/27,26,1,H(j) ,(),-/2,27,2022/11/27,27,例: 全通函数. H(j) =常数 设二阶系统H(s).左半开平面,有一对极点, p1,2=-j, 右半开平面,有一对零点, z1,2=j,28,2022/11/27,28,A1=B1, A2 =B2, H(j) =B1 B2/ A1 A2=1,29,2022/11/27,29,结论:凡极点位于左半开
8、平面,零点位于右半开平面,且所有的零点与极点对于j轴为一镜像对称的系统函数即为全通函数.,30,2022/11/27,30,例,研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性。,写出网络转移函数表达式,解:,31,2022/11/27,31,频响特性,32,2022/11/27,32,例,其转移函数为,相当于低通与高通级联构成的带通系统。,解：,33,2022/11/27,33,频响特性,/2,-/2,34,最小相移函数,零、极点均位于s平面左半开平面,极点位于s平面左半开平面，零点位于s平面右半开平面,幅频特性一致,35,j,j,1,2,1b,2b,1b= - 1 ， 2b= - 2a()= 1 +
9、 2-1 - 2 b()= 1b + 2b-1 - 2b() -a()= 2- 2(1 + 2) 0,对于相同的幅频特性的系统函数，零点位于左半开平面的系统函数，其相频特性最小,36,结论,考虑到网络函数的零点可能在虚轴上定义：右半开平面上没有零点的系统函数为最小相移函数相应的网络称为最小相移网络,37,对于非最小相移函数,可表示为最小相移函数与全通函数的乘积,最小相移函数,全通函数,38,2022/11/27,38,2.离散系统:因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位圆上(|z|=1)也收敛幅频响应:相频响应:,39,2022/11/27,39,Z平面 Bj 1 Ai j I 0 1,4
10、0,2022/11/27,40,正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）,系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的频率响应特性。,41,2022/11/27,41,由系统函数得到频响特性,输出对输入序列的相移,离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性:,输出与输入序列的幅度之比,：幅频特性,：相频特性,42,2022/11/27,42,通过本征函数透视系统的频响特性,为输入序列的加权，体现了系统对信号的处理功能。 是 在单位圆上的动态，取决于系统的特性。,43,2022/11/27,43,离散系统（数字滤波器）的分类,44,2022/11/27,44,二频响特
11、性的几何确定法,45,2022/11/27,45,几点说明,46,2022/11/27,46,7.2 系统的稳定性,一.系统的因果性(物理可实现性) 1.连续系统: 定义:若f(t)=0,t0,则yzs(t)=0, t0 因果系统 时域条件:(充要) 当h(t)=0, t0因果系统 因果系统,(t)=0, t0 yzs(t)= h(t)=0, t0 f(t) 因果系统 yzs(t) t0,47,2022/11/27,47,当h(t)=0, t0 ;f(t)=0, t0 yzs(t)=h(t)*f(t)= t0, yzs(t) 存在= = t0 ,yzs(t)=0 理想 H(j) - c 0 -
12、 c ,48,2022/11/27,48,s域充要条件: H(s)的收敛域Res 0 因果性 j 0 其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(s)的极点都在收敛轴Res =0 的左边.,49,2022/11/27,49,2.离散系统: 定义:若f(k)=0,k0,则yzs(k)=0,k0时域充要条件:h(k)=0, k0 因果系统z域充要条件:H(z)的收敛域z 0 z平面 因果系统 0 其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(z)的极点都在收敛圆z =0的内部.,50,2022/11/27,50,二.系统的稳定性(可用性),f(t)有界 系统 yzs(t)有界 1.连续系统:定义:若f(t)M
13、f,则 yzs(t) My 稳定系统时域充要条件: 绝对可积 M稳定系统只能保证衰减函数可积,51,2022/11/27,51,h(t) t因果稳定系统: M稳定系统s域充要条件: H(s)的极点在左半开平面稳定系统 H(s)的极点在虚轴上(一阶) 临界系统 H(s)的极点在虚轴上(二阶以上) H(s)的极点在右半开平面 不稳定系统,52,2022/11/27,52,2.离散系统:时域充要条件:绝对可和: M稳定系统z域充要条件:H(z)的极点在单位圆内稳定系统H(z)的极点在单位圆上(一阶) 临界系统H(z)的极点在单位圆上(二阶)H(z)的极点在单位圆外不稳定系统,53,2022/11/2
14、7,53,三.连续系统的稳定性准则 罗斯霍尔维兹准则.,H(s)=B(s)/A(s),A(s)=H(s)的极点就是A(s)=0的根，因此为判断系统是否稳定,即H(s)的极点是否都在左半开平面,只需判断A(s)=0的根,即特征根是否都在左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置.所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗斯霍尔维兹多项式.,54,2022/11/27,54,罗斯准则:多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充 分和必要条件是罗斯阵列中的第一 列元素均大于零，即如果罗斯阵列 中的第一列元素均为不等于零的正 值,那么A(s)=0的根都在s平面的左 半开平面.如果第一列元素的符号不 完全相同,那么变
15、好的的次数就是在 右半开平面根的数目.,55,2022/11/27,55,罗斯阵列: an an-2 an-4 . 第1,3,5项的系数 an-1 an-3 an-5. 第2,4,6项的系数 cn-1 cn-3 cn-5. dn-1 dn-3 dn-5. ,56,2022/11/27,56,cn-1= ,cn-3= ,dn-1= , dn-3 = ,充要条件:第一列元素大于零 稳定系统,57,2022/11/27,57,例:H(s)= 为使系统稳定, 常数k满足什么条件？,解：构建罗斯阵列,33 1+k,cn-1,cn-3,dn-1,58,2022/11/27,58,将H(s)的特征多项式A(
16、s)的系数排成罗斯阵列为: 1 3 0 0 3 1+k 0 (8-k)/3 0 0 1+k 0 0根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即: (8-k)/30 k8; 1+k 0 k -1;-1 k 8时系统是稳定的.,59,2022/11/27,59,例7.2-3:H(s)= 为使系统稳定, 常数k满足什么条件？,解：构建罗斯阵列,2-k3,cn-1,0,60,2022/11/27,60,将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗斯阵列为: 1 2-k 3 0 2-k根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即: 2-k0 k2 k2时系统是稳定的.,61,2022/11/27,61
17、,四.离散系统的稳定性准则 朱里准则.,H(z)=B(z)/A(z),A(z)=要判别离散系统的稳定性,需要判别H(z)的特征方程A(z)=0所有根的绝对值是否都小于1.朱里提出一种列表的检验方法,称之为朱里准则.将A(z)的系数排列如下表:,62,2022/11/27,62,an an-1 an-2 . a2 a1 a0 a0 a1 a2 . an-2 an-1 an cn-1 cn-2 cn-3 . c1 c0 c0 c1 c2 . cn-2 cn-1 dn-2 dn-3 dn-4 . d0 d0 d1 d2 . dn-2 . r2 r1 r0 .第2n-3行,63,2022/11/27,
18、63,cn-1= cn-2= cn-3= dn-2= dn-3= 依此类推,一直排到(2n-3)行.,64,2022/11/27,64,A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是: A(1) 0 A(-1) 0 第一行:an a0 第三行:cn-1 c0 稳定 第五行:dn-2d0 . r2 r0,65,2022/11/27,65,A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是: A(1) 0 A(-1) 0 第一行:an a0 第三行:cn-1 c0 第五行:dn-2d0 . r2 r0,A(z)=z2+z+k (7.2-2),A(1)=1+1+k 0 ,k -2A(-1)=1-1+k 0
19、,k 01 k,-1k10 k1时系统是稳定的.,66,2022/11/27,66,例:系统的特征多项式A(z)=4z4-4z3+2z-1 该系统是否稳定?解: A(1)=4-4+2-1=1 0 (-1)4A(-1)=4+4-2-1=50列表: 4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 4 0 -14 15第五行 209 -210 56 2n-3=5,第三行,15,-14,0,4,67,2022/11/27,67,由上表可见: 4 -1 15 4 20956 满足离散系统的稳定性准则,所以该系统 是稳定的.,68,2022/11/27,68,系统框图 信号流图,7.3 信号流图,利用方框
20、图可以描述系统（连续的或离散的），比用微分方程或差分方程更为直观。,线性系统的仿真（模拟）,连续系统相加、倍乘、积分,离散系统相加、倍乘、延时,由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于20世纪50年代首先提出。应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。,69,2022/11/27,69,一、信号流图方法的主要优点,系统模型的表示简明清楚；,简化系统函数的计算方程。,70,2022/11/27,70,二系统的信号流图表示法,实际上是用一些点和支路来描述系统：,方框图,流图,称为结点,线段表示信号传输的路径，称为支路。,信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近
21、，相当于乘法器。,71,2022/11/27,71,三术语定义,结点：表示系统中变量或信号的点。,转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。,支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。,输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。,输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。,混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。,通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。,72,2022/11/27,72,开通路：通路与任一结点相交不多于一次。,环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。,闭通路：如果通路的终点就是起
22、点，并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。,不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。,前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。,前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。,73,2022/11/27,73,四信号流图的性质,支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。,（1）,（2）,结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。,74,2022/11/27,74,（3）,具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。,75,202
23、2/11/27,75,（4）,流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入输出结点对换。,给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。,（5）,76,2022/11/27,76,五信号流图的代数运算,（1）,（2）,有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。,串联支路的合并,总增益等于各支路增益的乘积。,77,2022/11/27,77,（3）,并联支路的合并：并联相加,（4）,混合结点的消除,78,2022/11/27,78,（5）,环路的消除,总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函数。 串联支路合并，减少结点； 并联支路合并，减少支路； 消除环路。,79,2022/11/27,79,（6）,信号流图的梅森增益公式,式中：,称为流图的特征行列式。,80,2022/11/27,80,表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号。,表示由源点到阱点之间的第 条前向通路的增益。,称为对于第 条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与k条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。,
