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1、函数的奇偶性,在日常生活中，我们可以观察到许多对称现象，如：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，以及建筑物和它在水中的倒影.,下面请欣赏,一、现实生活中的“美”的事例,四川曹家大院一景,曹家多子院大门,二道门,水镜台,曹家大院某院,晋祠鼓楼,晋祠硕亭,太谷民居门墩石狮子,二、函数图象的“美”,f (x)=x2,f (x)=|x|,问题：1、对定义域中的每一个x，-x是否也在定义域内？2、f(x)与f(-x)的值有什么关系？,函数y=f(x)的图象关于y轴对称,1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；2、都有f(x)=f(-x),三、偶函数的定义,如果对于函数f(x)的定义域为A
2、。如果对任意的xA，都有 f(-x)= f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。,四、偶函数的判定,观察下面两个函数填写表格,-3,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,f(x)=x,3,2,1,0,-1,-2,-3,-1,x,-3,-2,0,1,2,3,f(-3)= -3 =,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,f(-x) -f(x),f(x)=x,f(-1)= -1,f(-2)= -2 =,x,-x,表（3）,-f(1),=,-f(2),-f(3),=,f(x)=x
3、,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,f(-3)= =-f(3),f(-1)= -1 =-f(1),f(-2)= =-f(2),f(-x) = -f(x),1,3,2,1,0,-2,-3,x,-1,-1,表（4）,函数y=f(x)的图象关于原点对称,1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；2、都有f(-x)=-f(x),五、奇函数的定义,如果对于函数f(x)的定义域为A。如果对任意一个xA，都有 f(-x)=- f(x)，那么称函数f(x)是奇函数 。,判定函数奇偶性基本方法: 定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. 图
4、象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,奇函数 偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数,说明： 1、根据函数的奇偶性,f(x)=0 xR,非奇非偶函数,如：,y=3x+1,y=x2+2x,即是奇函数又是偶函数的函数,如：,y=0,2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.,3、奇、偶函数性质： 偶函数的 定义域关于原点对称 图象关于y轴对称 奇函数的 定义域关于原点对称 图象关于原点对称。,如果一个函数是
5、偶函数,则它的图象关于y轴对称。,y=x2,偶函数的图像特征,反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数。,是偶函数吗？,问题：,0,x,1,2,3,-1,-2,-3,1,2,3,4,5,6,y,不是。,性质：偶函数的定义域关于原点对称,解：,y=x2,例：,性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。,问题：,是奇函数吗？,解：,不是。,性质：奇函数的定义域关于原点对称。,性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致,x,y,例：,y=x3,0,六、应用:例1 判断下列函数的奇偶性 1.y=-2x2+1,xR; 2.f(x)=-xx; 3.y=-3x+1; 4.f(x)=x
6、2,x-3,-2,-1,0,1,2; 5.y=0,x-1,1;,是偶函数,是奇函数,不是奇函数也不是偶函数,非奇非偶函数,非奇非偶函数,亦奇亦偶函数,既是奇函数也是偶函数,例4 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。,练习：判断下列函数的奇偶性：,(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,
