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1、第四章 函数应用,理解教材新知,1函数与方程,把握热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,考点三,1.1利用函数性质判定方程解的存在,给定的二次函数yx22x3，其图像如下：,问题1：方程x22x30的根是什么？提示：方程的根为3,1.,问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？ 提示：交点为(3,0)，(1,0) 问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 提示：相等 问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？ 提示：在每一点两侧函数值符号异号,1函数的零点 (1)函数的零点：函数yf(x)的 与 称为这个函数的零点 (2)函数yf(x)的零点，就是方程 的解 2零点存在
2、性定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是 ，并且在区间端点的函数值 ，即 ，则在(a，b)内，函数yf(x) 零点，即相应的方程f(x)0在(a，b)内至少有一个实数解,图像,横轴的交点的横,坐标,f(x)0,连续曲线,符号相反,f(a)f(b)0,至少有一个,1方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点 2f(a)f(b)0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图(2),分别有4个零点和1个零点,3函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点，却不一定推出f(a)f(b)0如图,例1求下列函数的零点 (1)yx2x20； (2)
3、f(x)x41. 思路点拨先因式分解，再确定函数的零点 精解详析(1)yx2x20(x2x20)(x5)(x4)， 方程x2x200的两根为5,4. 故函数的零点5,4；,(2)由于f(x)x41(x21)(x1)(x1)，方程x410的实数根是1,1.故函数的零点是1,1.一点通求函数的零点常用方法是解方程(1)一元二次方程可用求根公式求解(2)高次方程可用因式分解法求根,1若函数f(x)axb有一个零点是3，那么函数 g(x)bx23ax的零点是_ 解析：函数f(x)axb的零点是3， 3ab0， 即b3a.于是函数g(x)bx23axbx2bx bx(x1)，令g(x)0，得x0或x1.
4、 答案：0，1,例2判断下列函数有几个零点？ (1)yex2x6； (2)ylog2xx2. 思路点拨借助函数的单调性和图像解答 精解详析(1)由于y1ex在R上单调递增，y22x6在R上单调递增，yex2x6在R上单调递增 又f(0)10650. yf(x)在(0,3)上有一个零点从而知此函数只有一个零点；,(2)函数对应的方程为log2xx20.即求函数ylog2x 与yx2图像交点个数 在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点从而函数ylog2xx2有两个零点,一点通 判断函数零点个数的方法主要有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断 (2)用定理：零点存
5、在性定理 (3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数yf(x)，yg(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)g(x)的零点,答案：C,答案：C,5若f(x)ax3ax2(a0)在6,6上满足f(6)1，且 f(6)1及f(6)1， 得f(6)1f(6)10， 即g(6)g(6)0，,因此g(x)f(x)1在(6,6)内有零点又当a0时，g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数故g(x)仅有一个零点故方程f(x)1仅有一根答案：1,例3当a取何值时，方程ax22x10一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？ 思路点拨当a0，a0，a0三种情况讨论列出关于a
6、的不等式，最后求得结果 精解详析(1)当a0时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意,一点通 解决二次方程根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题 (2)结合草图考虑三个方面：与0的大小；对称轴与 所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系 (3)写出由题意得到的不等式 (4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意.这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性,6若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的取值 范围,7若把例题改为“方程的所有根为正数，求a的取 值范围”应如何处理？,1判断函数零点个数的方法有以下几种： (1)转化为求方程的根，能直接解出如一次、二次函数零点问题 (2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点 (3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定 (4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点,2函数的零点的作用： (1)解决根的分布问题 (2)已知零点的存在，求字母的范围 3解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方面考虑： (1)二次函数的开口方向 (2)判别式 (3)对称轴 (4)特殊点对应的函数值,点击下列图片进入应用创新演练,
