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1、1 平面电磁波2 电磁波在介质面上的反射和折射3 有导体存在时电磁波的传播4 谐振腔5 波导,第四章 平面电磁波的传播,3 有导体存在时电磁波的传播,一、导体内的自由电荷分布二、导体内的电磁波三、趋肤效应和穿透深度四、电磁波在导体表面上的反射,一、导体内的自由电荷分布1、静电场中的导体上的电荷分布 导体内部处处无电荷，电荷只能分布在导体表面上。,一、导体内的自由电荷分布,一、导体内的自由电荷分布,2、导体中有稳恒电流时导体上的电荷分布 均匀导体内部处处无电荷，电荷只能分布在导体的不均匀处或表面上。3、迅变的电磁场中的导体上的电荷分布 设导体内某区域中有自由电荷分布，其体密度为，这电荷要激发电场
2、E，由麦氏方程,（3.1）,（3.2）,一、导体内的自由电荷分布,(3.3)式表明，在导体内凡是有正电荷存在的地方，就有电流向外流出，直到流完为止。,(3.3),一、导体内的自由电荷分布,由电荷守恒定律,(3.5),一、导体内的自由电荷分布,式中0为t=0时刻的电荷密度。上式表明，导体内的电荷密度随时间作指数规律衰减。,在数值上等于从0衰减到0/e所用的时间，,一、导体内的自由电荷分布,这样的导体可以看成良导体，(3.6)式称为良导体条件，满足良导体条件，可认为(t)=0。,(3.6),结论： 只要电磁波的频率不太高，一般金属导体都可看成良导体。不论在良导体内部存在稳恒电流还是交变电流，均匀导
3、体内部处处一定无电荷，电荷只能分布在导体的表面上。,一、导体内的自由电荷分布,二、导体内的电磁波,在导体内部，=0，J =E ，Maxwell方程转化为,(3.7),二、导体内的电磁波,对于一定频率的时谐电磁波DE，BH，,(3.8),与书上的(1.11)式比较,（1.11）,二、导体内的电磁波,令,（3.8）,二、导体内的电磁波,式中称为复电容率。,二、导体内的电磁波,(3.11),(3.12),方程（3.11）形式上也有平面波解,二、导体内的电磁波,(3.15),由于k是一个复矢量，因而它的分量一般为复数，设,和都是实数矢量。,(3.14),说明： （1）相位常数与衰减常数 称为相位常数，
4、把称为衰减常数。 （2）导体中的电场E是衰减的，并且按指数规律衰减,二、导体内的电磁波,（3）和满足的关系kk=(+i) (+i)k2=22+2ik2 =2=2(+i/),二、导体内的电磁波,2-2+2i=2+i2 -2 =2 =() (3.17) 设电磁波从空间入射到导体表面上，以k(0)表示空间中的波矢，k表示导体中的波矢，设入射面为xz面。,二、导体内的电磁波,由于在真空中的 为实数，因此有,(3.18),二、导体内的电磁波,即矢量垂直于金属表面。但是矢量有x分量，由(3.17)和(3.18)式即可解出z和z。因而可以确定矢量和。,二、导体内的电磁波,三、趋肤效应和穿透深度,1、垂直入射
5、的情况,和只有z分量，即它们都沿z方向，导体中的电场E为,由于，满足（3.17）式 2 -2 =2 （1） =()= () （2）,三、趋肤效应和穿透深度,（3.19）,三、趋肤效应和穿透深度,由于为实数，20，所以,（3.20）,三、趋肤效应和穿透深度,对于良导体的情况下，（/）1，故,（3.21）,三、趋肤效应和穿透深度,(1)穿透深度 波幅降到原来值的1/e的距离叫做穿透深度。,z=1/=,(3.22),三、趋肤效应和穿透深度,由此可见，穿透深度与电导率和频率的平方根成反比。 对于金属铜来说，5107西门子/米，当f =50Hz时，0.9cmf =100MHz时，0.710-7cm,(2
6、)趋肤效应 当频率比较高时，电磁场以及和它相互作用的电流仅集中于导体表面的很薄的一层内，这种现象叫做趋肤效应。,三、趋肤效应和穿透深度,垂直入射的情况，和都沿z方向，在良导体情况下,（3.23）,三、趋肤效应和穿透深度,由此可见，磁场的相位比电场的相位滞后/4.从幅值关系上来看,（3.25）,三、趋肤效应和穿透深度,（3.24）,2、非垂直入射的情况,三、趋肤效应和穿透深度,四、电磁波在导体表面上的反射,（3.26）,四、电磁波在导体表面上的反射,在真空中,四、电磁波在导体表面上的反射,E+E=E,（1）,（2）,四、电磁波在导体表面上的反射,（3.27）,四、电磁波在导体表面上的反射,定义反
7、射系数：反射能流与入射能流之比叫做反射系数，记为R,四、电磁波在导体表面上的反射,由良导体条件,四、电磁波在导体表面上的反射,（3.28）,由（3.28）式可见，导体的电导率愈大，R就越接近于1。,（3.28）,四、电磁波在导体表面上的反射,（|x|1）,若把金属看成是理想导体，R1例1、书上P.126例2、书上P.127,四、电磁波在导体表面上的反射,（3.28）,例1、证明在良导体内，非垂直入射情形有,解：设空间中入射波矢为 ，由边值关系,得,（3.29）,由 知，对于良导体,因而,由（3.29）式和（3.31）式得,（3.31）,（3.30）,略去 ，解（3.30）式和（3.31）式得,
8、因此，在任意入射角情形下， 垂直于表面， 接近法线方向。穿透深度 仍为,例2、计算高频下良导体的表面电阻。,解：由于趋肤效应，高频下仅在导体表面薄层内有电流通过。取 轴沿指向导体内部的法线方向，导体内电流密度为,电流只分布在表面附近厚度为 的薄层内，薄层内的电流看作面电流分布，面电流的线密度 定义为通过单位横截线的电流，即等于薄层内 对 的积分。,导体内的平均损耗功率密度为,导体表面的平均损耗功率密度为,为面电流密度的峰值。,面积为 的导体表面的平均损耗功率为,导体在高频下的电阻相当于厚度为 的薄层内的直流电阻。,4 谐振腔,一、谐振腔二、理想导体的边界条件三、矩形谐振腔,4 谐振腔,一、谐振
9、腔,频率f叫做回路的固有频率（或本征频率）。,一、谐振腔,（1）L 和C 无法再减小了；（2）当f 比较高时，电磁波向外辐射的功率与f 4成 正比，这时能量损失比较严重；（3）当f 比较高时，导线产生趋肤效应，有效截面 积减小，电阻增大，热损耗增加。,一、谐振腔,所谓谐振腔就是一个中空的盒子。它是用良导体制成的 。,二、理想导体的边界条件,矩形谐振腔由6个面组成，边值关系为,（4.1）,（4.2）,在理想情况下，导体内部没有电磁场。,二、理想导体的边界条件,nD = (4.7)nB =0 (4.8),（4.5）,（4.6）,理想导体界面边界条件可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，
10、磁感线与界面相切。 这是因为：在导体内 ，只有n与E平行，才能导致这一点，而H又必须与E垂直，所以电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。,二、理想导体的边界条件,例：证明书上P.160,（4.9）,二、理想导体的边界条件,即,三、矩形谐振腔,取金属壁的内表面分别为x=0和x=L1y=0和y=L2z=0和z=L3,三、矩形谐振腔,u(x,y,z)代替电场和磁场的任一直角分量，则有,（4.10）,分离变量，设,u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) (4.11),（4.13）,（4.12）,三、矩形谐振腔,Ci(i=1,2,3), Di(i=1,2,3)为常数，,三、矩形谐振腔,若u=Ex ，
11、在 x=0面上，,三、矩形谐振腔,在y=0,z=0面上，Ex为切向分量，在y=0平面上的每一点，Ex=0。因此Y中不能含有coskyy项，即C2同理C,三、矩形谐振腔,再考虑xL1，yL2，zL3面上的边界条件，由产生驻波的条件,为使振荡最强，应使得L1为Ex半波长的整数倍，即,（4.15）,三、矩形谐振腔,m，n，p分别代表沿矩形三边所含的半波长的数目。,三、矩形谐振腔,（4.16）,当满足（4.16）和（4.17）式时，（4.15）式代表腔内的一种谐振波膜，或称为腔内电磁场的本征振荡，对每一组（m,n,p）的值，有两个独立的偏振波膜。,（4.17）,三、矩形谐振腔,称为谐振腔的本征频率。,
12、（4.18）,三、矩形谐振腔,若（m,n,p）中有两个为0，则kx，ky，kz中也相应地有两个为0，则由（4.15）知ExEyEz0，E0,三、矩形谐振腔,若L1L2L3，最低频率的谐振波模为（1，1，0），其谐振频率为,三、矩形谐振腔,三、矩形谐振腔,5 波导,一、高频电磁能量的传输二、矩形波导中的电磁波三、截止频率四、 TE10波的电磁场和管壁电流,一、高频电磁能量的传输,一、高频电磁能量的传输,二、矩形波导中的电磁波,取波导内壁面为x0，a和y0，b；z轴沿电磁波的传播方向，在一定频率下，管内电磁波是满足亥姆霍兹方程,（5.1）,且满足 的解，此解在管壁上还满足边界条件（4.5）,E为波
13、导中的电场，第1个式子说明，管壁上电场的切向分量为0。,二、矩形波导中的电磁波,对E(x,y)来说，可以分解为3个分量，Ex，Ey，Ez，它们都满足（5.3）式。设它们的其中一个为u，则u满足,(5.2),(5.3),二、矩形波导中的电磁波,（*）,二、矩形波导中的电磁波,(5.4),二、矩形波导中的电磁波,(5.5),C1, D1, C2, D2是待定常数，当u具体表示E的某个特定分量时，考虑到边界条件（4.5）和（4.9）式,二、矩形波导中的电磁波,(5.6),(5.7),在x0的面上：,二、矩形波导中的电磁波,(4.5),(4.9),D10。,在y0的面上,C2=0,(5.8),(5.9
14、a),二、矩形波导中的电磁波,它们的相因子都是相同的，因此,二、矩形波导中的电磁波,(5.9),总共有四个面，以上是在x0，y0面上边界条件得到满足的情况。下面再考虑xa，yb的面上的边界条件，得kxa和kyb必须为的整数倍，即,二、矩形波导中的电磁波,(5.10),m 和n分别代表沿矩形两边的半波数目。,因此A1,A2和A3中只有两个是独立的，对于每一个（m，n）值，有两种独立的波模。,二、矩形波导中的电磁波,(5.11),二、矩形波导中的电磁波,二、矩形波导中的电磁波,同理这里的A1，A2，A3满足的关系可以由 得到,二、矩形波导中的电磁波,(5.11),由上式可见,对一定的(m,n),有
15、两种电磁波。如果选一种波模具有Ez=0，由(5.9)式知A30，而由(5.11)式得,二、矩形波导中的电磁波,当A3 0时,这时一定有Hz0 。反之若 Hz=0 ，即,二、矩形波导中的电磁波,(1) 电场E 和H 一个为横矢量，一个为纵矢量，即E 和H 不能同时为横波。,Hz0，Ez0的电磁波叫做横电波（TE波） Transverse electric wave Hz0, Ez0的电磁波叫做横磁波（TM波） Transverse magnetic wave(2) TE波与TM波又按(m,n)的不同，而分成TEmn和TMmn波。,二、矩形波导中的电磁波,三、截止频率,，它是由决定，而kx, ky
16、由（5.10）式决定。,（5.6）,kx, ky由管的截面的尺寸，以及m，n的值来决定，若电磁波的频率降低到使,三、截止频率,（5.10）,这时 0 , kz为虚数，而原来的相位因子,中的ikzz是一个负实数，电场强度Ex为,三、截止频率,即 变成衰减因子，这时电磁场虽然沿z 轴传播，但衰减的非常快，也就是无法沿z 轴传播。能够在波导中传播的最低频率 称为该波模的截止频率。,三、截止频率,若ab, 则TE10波有最低的截止频率为,(5.13),三、截止频率,由fv得,(5.14),三、截止频率,四、TE10波的电磁场和管壁电流,当 m1,n0时,对于TE波来说，Ez0，因而A30，由（5.11）式得,在A1, A2和A3中，只有A20,四、 TE10波的电磁场和管壁电流,在Hz 中有 为常数，令它等于H0,四、 TE10波的电磁场和管壁电流,四、 TE10波的电磁场和管壁电流,（5.16）,四、 TE10波的电磁场和管壁电流,四、 TE10波的电磁场和管壁电流,四、 TE10波的电磁场和管壁电流,
