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1、教育部重点课题新教育子课题 在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践,1.2 函数及其表示,一、复习引入：,初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？,设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.,2、请问：我们在初中学过哪些函数？,正比例函数是一次函数的特殊情况,3、请同学们考虑以下三个问题：,显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度新的角度
2、认识函数。,我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新老师，很厉害的。今年暑假我到海门参加他的新教育实验会，我看了他的报告。朱老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能把全国老师看的清清楚楚，因为他站的角度与他人不一样，站的高度很高很高，他有极强的广度、有天生看问题的深度。比如谁可以把温州人民看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之
3、不一定。我再举例子，你把高等数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清清楚楚。张老师我在某一程度上可以把小学、初中、高中数学看的清清楚楚，但对高等数学看不清清楚楚。你们想学好高中数学首先要把小学、初中数学看的清清楚楚，但前个星期摸底考试一些同学对初中数学没有看的清清楚楚。比如初中的难题不会解答。初中难题到高中变最多中档题。,我PPT再打出：我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子，没盖，里面有一只宠物，你们自己养的。当你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面这个面的中位线中点，那你可以把这个盒子的前面看的清清楚楚，但这只宠
4、物你看不见。接下去我们这样，我们改变眼睛的角度与高度，把眼睛上升，上升到眼睛还是在前面这个面的前面，但高度上升到盒子上面那个面的上面，这时，我们依然把前面这个面看的清清楚楚，但发现了许多新东西，比如我们看到了盒子里有只宠物。所以改变角度，上升高度，原来的事情依然可以看的清清楚楚，并且把发现的新东西也可以看的很清楚。我为什么要讲这些东西，因为我们今天学习函数的概念。,环节1：实例,(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 (*),炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=t|0t26,炮
5、弹距地面的高度h的变化范围是数集B=h|0h845，改变角度上升高度换种说法,从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系(*)，在数集B中都有惟一的高度h和它对应。,二、【新课探究】,(2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从19792001年的变化情况：,根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A =t|1979t2001，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B =S|0S26.并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有惟一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.,改变角度上升高度换种说法
6、,(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。,请仿照（1）、（2）改变角度上升高度换种说法描述恩格尔系数和时间（年）的关系。,不同点,共同点,实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；,（1）都有两个非空数集 （2）两个数集之间都有一种确定的对应关系,归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为： 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集
7、B中都有惟一确定的y和它对应，记作 f: AB.,环节2：函数的定义,函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: AB为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , xA,x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。 f(x)|xA B,为什么取名函数？函数英文名： function。本来第一个词义，其他词义就是引申而出。1、官能,功能,作用2、职务,职责3、盛大的集会(或宴会,宗教仪式)4、【数】函数,分析：
8、y=f(x)即x在对应法则f的作用下有个值即结果y。,3、请同学们考虑以下三个问题：,显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度新的角度认识函数。,环节3：回顾已学函数，用高中的高度与角度重新对初中的函数做出分析,初中各类函数的对应法则、定义域、值域分别是什么？,R,R,R,R,R,注：二次函数画出图像既得，不用死记硬背,定义域、值域、对应法则,定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；值域由定义域、对应法则惟一确定；函数符号y=f(x)表示“y是x的函数” 。,告诉学生用高中的角度、高度依然可以把初中的函数看的清清楚楚，并且，我们发现了按初中的角度、高度以为不
9、是函数的在高中角度、高度还是函数。比如臭氧层、恩格尔系数这两个教材上的例子或y=1(x R)。我说只要你们上大学继续读数学就回发现在大四拓扑学中又是站在新的角度、高度对函数进行重新认识，我是花了好长时间才看懂。拓扑学中对函数的认识站的角度更奇特，站的高度更高,它是站在“关系”这个角度和高度，我花了很长时间才看懂。五、函数的文字语言、符号语言、图形语言。,我们知道数学语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言。对于函数的概念也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为有时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准。,二、总结函数概念,1、文字
10、语言 设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数。通俗点，一对一、二对一、三对一、多对一是函数，一对二、一对三、一对多不是函数。为什么要对“一”这是函数的规定，这规定不是无缘无故的，而是函数是生活生产世界中的许多事物的模型。这是我们从生活生产世界中把它抽象出来。,2、符号语言 。f称对应关系或对应法则。A称定义域，注意“定义”是什么意思。“域”是什么意思。函数值的集合称值域，如何理解值域就是顾名思义。值域是集合B的子集。,3、图形语言,注：在下节课同学们知道如果用函数的图形语言
11、来理解分段函数那是很容易理解分段函数，从函数的图形语言着手，分段函数一目了然。,当我问学生臭氧层空洞例子与城镇居民恩格尔系数例子是不是函数时，学生回答不是。因为在他们的脑海里函数都有解析式的。我问是不是所有的函数对应法则可以用解析式表达？其实在学生的脑海里能解析式表达的函数是大多数，不能解析式表达比如复杂的图像或复杂的表格是不可能求出解析式的，学生觉得这样的函数是少数。其实要告诉学生能解析式表达的函数是少数，绝大部分函数是不能用解析式表达的。同理，世界上不等的东西是绝大多数，相等的东西是少数。世界上不规则的东西是绝大多数，规则的东西是少数。但我们从小到大学习的是少数的能用解析式表达的函数，学习
12、少数的相等的东西，学习少数的规则东西，让我们以为世界上大部分东西是用解析式表达的，是相等的，是规则的。,判断正误1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应2、函数的定义域和值域一定是无限集合3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一 个元素5、对于不同的x , y的值也不同 6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量,判断下列对应能否表示y是x的函数,（1） y=|x| （2）|y|=x （3） y=x 2 （4）y2 =x （5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1,(1)能,(2)不能,(5)不能,(3)能
13、,(4)不能,(6)不能,注：通俗讲，一对一、二对一、三对一、多对一是函数，一对二、一对三、一对多不是函数,判断下列图象能表示函数图象的是（ ）,D,注：通俗讲，一对一、二对一、三对一、多对一是函数，一对二、一对三、一对多不是函数,设a,b是两个实数，而且ab, 我们规定：(1)、满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为 a,b(2)、满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b)(1)、满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 a,b)或(a,b,环节4：区间的概念,请阅读课本P17关于区间的内容,这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。,实数集R可
14、以用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”。满足x a,xa ,x b, xb的实数的集合分别表示为a, +)、(a, +)、(-,b、(-,b).,试用区间表示下列实数集 （1）x|5 x6 （2） x|x 9 （3） x|x -1 x| -5 x2（4） x|x -9x| 9 x20,注意：区间是一种表示连续性的数集定义域、值域经常用区间表示或者用集合表示实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。,一、看P17思考下面例1上面，回答为什么数学家还要创造出区间概念？因为已经有集合来表示范围了，不是多此一举吗？闭区间、开区间、半开半闭区间有什么不同？你会书写那几个实数无
15、穷长度的区间吗？一个是有限长得区间，一个是无限长的区间。,答：符号简洁、漂亮、思考的思维量小有助于思考，书写方便。,（1）求函数的定义域,三、【例题演示】,注意,研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提 函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.,注意：用集合表示范围同学们会，但同样要会用区间表示范围。,自变量x在其定义域内任取一个确定的值 时，对应的函数值用符号 表示。,问题：如何判断两个函数是否相同？,C,注意：用集合表示范围同学们会，但同样要会用区间表示范围。,例已知f(2x+1)的定义域是【0,1】，求f(x)定义域,函数概念,一、同学们，你们觉得把全国人民看的清清楚楚的会是谁？,答：国家主席、文学家、哲学家、思想家。国家主席用政治角度、文学家用文学角度、哲学家用哲学角度、思想家用思想角度。,有的同学要办厂，则当厂长要把厂里所有员工看的清清楚楚，当班长要把班级里所有学生看的清清楚楚。,
