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1、分类讨论思想,分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，绕后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想。分类思想的实质是按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。,引起分类讨论主要原因：（1）概念本身是分类定义的。如绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；（2）某些公式、定理、性质、法则的条件和范围是限制的; （3）含有字母系数的问题，需对该字母的不同取值范围进行讨论；（4）题设的数量大小或关系确定，而图形的位置或形状不确定(5)题目条件和结论的不唯一；,解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克
2、服想当然的错误习惯，注意分类可能导致问题发生质的变化的各种情况。解答分类讨论型问题的一般步骤是：（1）确定分类对象；（2）进行合理分类（理清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复、补遗漏）;（3）逐类进行讨论（4）归纳出结论,分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法，它能考查学生的综合的数学知识和灵活的应用能力，因此，分类讨论型问题也是中考命题的热点之一，常出现在中考数学的压轴题中。,问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如
3、|a|的定义分a0、a0、a0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型.,例1：1)已知x=3，y=2，且xy0，则x+y的值= 。,1或-1,2）、 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则 的值是_.,0或-2,3)若等腰三角形的一个内角为500,则其他两个内角为（ ） A500 ，80o B650， 650 C500 ，650 D500，800或 650，650,4)等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）A5cm B.3cm C5cm或3cm D不确定,D,A,等腰三角形的角与边,5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形
4、的周长是（ ） A16 B16或 17 C.17 D17或 18,B,问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如讨论一次函数（k0）的增减性，要分k0和k0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型,例2： 1）、 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是-5y-2 ，则这个函数的解析式 。,Y= x-4, 或 y=- x-3,2）、 已知关于x的方程(k21)x22(k1)x10有实数根，求k的取值范围。,【简解】本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案:k1；,3）在同一坐标系中，正比例函数y=-
5、3x与反比例 函数 的图象的交点的个数是（ ）,A0个或2个 Bl个 C2个 D3个,A,4）、若直线 y=x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为 ；,2或-2,5）、函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。,当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（- ，0）；当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, =a2 -10a+9=0.解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ，0）,例3：1. 在RtABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是（ ） A 5 B 10 C 5或4 D 10或8,【简解】本题对谁是斜边进行讨
6、论，选D；,2.菱形有一内角为120,有一条对角线为6cm,则此菱形的边长为 cm.,【简解】本题分6cm是较短的对角线和6cm是较长的对角线两种情况，答案 6cm或2cm；,3.五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和为 .,【简解】本题分五个数分别为1、2、4、5、5； 1、3、4、5、5； 2、3、4、5、5三种情况，答案 17、18、19；,4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45则这个等腰三角形的顶角 ,【简解】本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高在三角形形外两种情况，答案 45和135；,5.若O为ABC的外心，且 BOC=600 , 则
7、BAC= 。,【简解】本题分三角形的外心在三角形形内和形外两种情况，答案 30和150.,解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax2时分a0、a0和a0三种情况讨论.这称为含参型.,例4、已知Aa 2，Ba 2a5，Ca 25a19，其中a2求证：BA0，并指出A与B的大小关系；指出A与C哪个大？说明理由,解:(1) BA（a1）2+2 0BA（2）CA（a7）(a3) a2， a70当2a3时， AC 当a3时， AC 当a3时， AC,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.,1、
8、已知O的半径为5cm，AB、CD是O的弦，且AB=6cm， CD=8cm，ABCD，则AB与CD之间的距离为 。,7cm或1cm,2、在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是 、 ，则BAC的度数是 。,150或750,3、ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2 cm,则 A的度数是 。,600或1200,例5,7、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和 3 cm两部分，则这个矩形的面积为 。,4cm2或12cm2,5、半径为3cm、5cm的两圆相切，则它们的圆心距为 。,8cm或2cm,4若O的弦 AB所对的圆心角AOB=60，则弦 AB所对的圆周角的度数为 。,6、已知两圆内切
9、，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是_,1或5,300或1500,8、 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_ .,16或21,例6：1、如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,2、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在x轴上确定点P，使得AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有 个,4,A (1,1),P1(2,0),P3( ,0),P2(- ,0),P4( 1, 0 ),1,-1,-1,1,1）、对A进行讨论,2）
10、、对B进行讨论,3）、对C进行讨论,B,A,C,50,110,20,例7、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！,例8、在ABC中，C=900，AC=3，BC=4。若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？,分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4（2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上，另一个交点在延长线上。 3R4,例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？,例10、在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长
11、方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.,(1）若顶角顶点与矩形顶点重合,如图，当AE=AF=10时,SAEF= 1010=50(cm2),(2）若底角顶点与矩形顶点重合,如图，当EA=EF=10时,BE=6, BF= =8,SAEF= 108=40(cm2),三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 cm2,例11：在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与 x 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60的菱形，求此二次函数的表达式.,分析：本题是数量（60的角）不确定，所
12、以要分类讨论，同时，本题中还涉及到轴对称，因此有4种情况产生.,解：设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点E，（1）如图，当 时， 因为ABCD菱形，一边长为2， 所以， 所以点B的坐标为（ ，0）， 点C的坐标为（1，-1）， 解得 ，所以,图,（2）如图，当 时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1， ），解得 所以 同理可得： 所以符合条件的二次函数的表达式有：,图,在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛,C,A,D,B,例12、如图,在矩形ABCD中,
13、AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开始沿折线ABCD以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.,（1）当t为何值时，四边形APQD为矩形；,AP=4t,CQ=t,DQ=20-t,t=4(秒)当t=4秒时，四边形APQD为矩形,C,（2）若P和Q半径都是2厘米,那么当t为何值时,P和Q相外切?,A,C,D,B,当t=4秒、 秒、 秒时，P和Q相外切,A,例13、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿
14、DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0t6）那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？,解:(1) AP=2t,DQ=t,QA=6，当=AP时，QAP为等腰直角三角形，即6t=2t,解得t=2（秒） 当t=2秒时， QAP为等腰直角三角形。,（2）在QAC中，S= QADC= （ 6t)12=36 在APC中，S= APBC= S QAPC的面积=（6t)+6t=36(cm2) 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变。,在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2c
15、m秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0t6）那么：（2）求四边形QAPC的面积,并提出一个与计算结果有关的结论；,（3）根据题意，可分为两种情况来研究当 = 时，QAPABC，则 = ，解得t= =1.2（秒）。 当t=1.2秒时，QAPABC。当 = 时，PAQABC，则 = ，解得t=3（秒）。当t=3秒时，PAQABC。,当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似。,在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以
16、1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0t6）那么：（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？,例14. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD/BC，,AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求,（3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？,的正切值；,(4)是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。,解：（1）如图1所示，过点P作，,垂足为M，则四边形PDCM为矩形。,图,图,图1,小 结,分类讨论的思想方法 实质：是根据数学对象的共同性和差异性，将其分为 不同种类的思想方法； 作用：能把较复杂的、陌生的问题转化成几个较简单的问题，可考察学生思维的周密性，克服思维的片面性； 原则：(1)分类按同一个标准； (2)各部分之间相互独立； (3)分类讨论应逐级进行,
