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1、第二章函数、导数及其应用,第四节函数的奇偶性与周期性,高考成功方案第一步,高考成功方案第二步,高考成功方案第三步,高考成功方案第四步,考纲点击结合具体函数，了解函数奇偶性的含义,1对任意实数x，下列函数为偶函数的是 ()Ay2x3 Bysin xCyln 5x Dy|x|cos x解析：A是非奇非偶函数，B是奇函数，C是奇函数，D是偶函数,答案：D,2 “函数f(x)为奇函数”是“f(0)0”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件,答案：D,3(2011陕西高考)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图象可能是(),
2、解析：由f(x)f(x)知f(x)是偶函数，由f(x2)f(x)知f(x)是周期为2的函数，再结合图象可知B正确,答案：B,4(2011浙江高考)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：由题意知，函数f(x)x2|xa|为偶函数，则f(1)f(1)，1|1a|1|1a|.a0.,答案：0,解析：令x0，g(x)2x3g(x)g(x)2x3.f(x)2x3.,答案：2x3,1函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ， 那么就称函数yf(x)为周期函数，称T
3、为这个函数的 周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在 一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最 小正周期,f(xT) f(x),最小,最小正数,(3)定义域(，1)(1，)关于原点对称当x1.f(x)(x)2x2f(x)(x1时，x1)f(x)f(x)f(x)是偶函数,悟一法 判断函数奇偶性的方法：(1)首先确定函数的定义域，看是否关于原点对称否则， 既不是奇函数也不是偶函数(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： 定义判断：f(x)f(x)f(x)为偶函数， f(x)f(x)f(x)为奇函数,(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行(4)对于抽象函数奇偶
4、性的判断，应充分利用定义，巧妙 赋值，合理、灵活地变形配凑来判定,f(3)0；直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴；函数yf(x)在9，6上为增函数；函数yf(x)在9,9上有四个零点其中正确命题的序号为_(把所有正确命题的序号都填上),从而f(x)在3,0上单调递减，又从上述过程可知原函数的周期为6，从而当x9，6时，x63,0，此时为减函数，所以命题错误同理，f(x)在3,6上单调递减，所以只有f(9)f(3)f(3)f(9)0.得命题正确综上所述，正确命题的序号为.,答案,悟一法 奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，
5、研究单调性或最值或作图像等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得,通一类2(2012浙江五校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是 ()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，),解析：f(x)是奇函数，当xf(a)，得2a2a，即2a1.,答案：D,做一题例3已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在1,3上是 ()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数,自主解答由f(x)在1,0上是减函数，又f(x)
6、是R上的偶函数，所以f(x)在0,1上是增函数由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)，故2是函数f(x)的一个周期结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图由图像可以观察出，f(x)在1,2上为减函数，在2,3上为增函数,答案D,(2)如果T是函数yf(x)的周期，则kT(kZ，k0)也是函数yf(x)的周期，即f(xkT)f(x) 若已知区间m，n(mn)上的图象，则可画出区间mkT，nkT(kZ，k0)上的图象,通一类3(2012临沂模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数， 对任意xR都有f(x4)f(x)2f(2)，且f(1)2，则f(2 013)
7、等于 ()A1 B2C3 D4,解析：在f(x4)f(x)2f(2)中，令x2，得f(2)f(2)2f(2)即f(2)f(2)2f(2)，故f(2)0.f(x4)f(x)即函数f(x)是以4为周期的函数，又2 01345031，因此f(2 013)f(1)f(1)2.,答案：B,热点分析 函数的奇偶性、周期性的应用是高考的必考内容，多以选择题或填空题的形式考查，其中奇偶性多与单调性结合起来考查，而周期性多与抽象函数相结合，并以结合奇、偶性求函数值为主,考题印证(2011福建高考)对于函数f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正
8、确结果一定不可能是 ()A4和6B3和1C2和4 D1和2,考题巧解(一样的结果，更简洁的过程)巧思可将1，1分别代入函数式，然后计算出f(1)f(1)2c，由2c是偶数，来巧妙排除选项，得解妙解由已知，有f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc，f(1)f(1)2c，cZ，f(1)f(1)是一个偶数而D项中给出的两数一奇一偶，两个数的和为奇数,答案D,解析：由条件，偶函数f(x)在0，)上单调递减，又f(2)f(2)，123.f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1),答案：A,2若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f
9、(6)等于 ()A2 B1C1 D2,解析： yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)f(x)x2(1a)xa,1a0.a1，f(x)(x1)(x1)，(3x3)f(6)f(66)f(0)1.,答案：B,3若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4) ()A1 B1C2 D2解析：由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)f(4)f(2)f(1)，又f(x)为R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.,答案：A,解析：当x0，f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，a1，b1，故ab0.,答案：0,5函数yf(x)的定义域为R，且具有以下性质： f(x)f(x)0；f(x2)f(x)1； yf(x)在0,2上为单调增函数则对于下述命题：(1)yf(x)的图象关于原点对称(2)yf(x)为周期函数且最小正周期为4.(3)yf(x)在区间2,4上是减函数正确命题的序号是_,答案： (2)(3),解析：由得f(x)f(x)，即函数f(x)为偶函数；由f(x2)f(x)1得，f(x4)f(x2)1，f(x)f(x4)，即函数f(x)的周期为4，故yf(x)是周期为4的偶函数，(1)错、(2)正确；又yf(x)在2,0上为减函数，在2,4上为减函数，故(3)正确,点击下图片进入,
