逻辑代数基础数字部分ppt课件.ppt

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1、电子技术数字部分信电学院电工电子教学部二零零七年八月,第一章 逻辑代数基础,概述1.1基本概念、公式和定理1.2逻辑函数的化简方法1.3逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换小结,一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）,逻辑：,事物因果关系的规律,逻辑函数: 逻辑自变量和逻辑结果的关系,逻辑变量取值：0、1 分别代表两种对立的状态,高电平,低电平,真,假,是,非,有,无,1,0,0,1,概 述,二、二进制数表示法,1. 十进制（Decimal）- 逢十进一,数码：0 9,位权：,2. 二进制（Binary） - 逢二进一,数码：0 ，1,位权：,3. 八进制（Octal）- 逢八进一,数码：0 7,

2、位权：,4. 十六进制 (Hexadecimal) -逢十六进一,数码：0 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E(14) , F(15),位权：,任意(N)进制数展开式的普遍形式：, 第 i 位的系数, 第 i 位的权,5. 几种常用进制数之间的转换,(1) 二-十转换：,将二进制数按位权展开后相加,(2) 十-二转换：,整数的转换-连除法,26,2,13,余数,2,0,6,2,1,3,2,0,2,1,1,0,1,除基数得余数作系数从低位到高位,0. 8125,2,1. 6250,2,1. 2500,2,0. 5000,取整,1,1,0,0. 6250,0

3、. 2500,乘基数取整数作系数从高位到低位,小数的转换-连乘法,快速转换法：拆分法,( 26 )10,= 16 + 8 + 2,= 24 +23 + 21,= ( 1 1 0 1 0 )2,若小数在连乘多次后不为 0，一般按照精确度要求(如小数点后保留 n 位)得到 n 个对应位的系数即可。,2,1. 0000,1,16 8 4 2 1,(3) 二-八转换:,5,7,(4) 八-二转换:,每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数,011,001,.,100,111,每 3 位二进制数相当一位 8 进制数,011,111,101,.,110,100,0,0,0,2,3,4,0,6,2,（5）

4、二-十六转换：,每 4 位二进制数相当一位 16 进制数,A,1,（6）十六-二转换：,每位 16 进制数换为相应的 4 位二进制数,编码：,用二进制数表示文字、符号等信息的过程。,二进制代码：,编码后的二进制数。,用二进制代码表示十个数字符号 0 9，又称为 BCD 码（Binary Coded Decimal ）,几种常见的BCD代码：,8421码,余 3 码,2421码,5211码,余 3 循环码,其他代码：,ISO 码，ASCII（美国信息交换标准代码）,三、二进制代码,二-十进制代码：,几种常见的 BCD 代码,1. 1. 1 基本和常用逻辑运算,一、三种基本逻辑运算,1. 与逻辑：

5、,当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。,功能表,1. 1 基本概念、公式和定理,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,真值表,（Truth table）,逻辑函数式,与门（AND gate),逻辑符号,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,2. 或逻辑：,决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。,或门（OR gate),或逻辑关系,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,0,1,1,1,3. 非逻辑：,只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。,真值表,逻辑函数式,逻辑符号

6、,非门（NOT gate),非逻辑关系,1,0,0,1,二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算,1. 逻辑变量与逻辑函数,在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是 1 就是 0 。,逻辑函数：,如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、C 的逻辑函数。并记作,原变量和反变量：,字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。,逻辑变量：,(1) 与非逻辑 (NAND),(2) 或非逻辑 (NOR),(3) 与或非逻辑 (AND OR INVERT),(真值表略),1,1,1,0,0 0,0 1,

7、1 0,1 1,1,0,0,0,2. 几种常用复合逻辑运算,Y1、Y2 的真值表,(4) 异或逻辑(ExclusiveOR),(5) 同或逻辑(ExclusiveNOR),(异或非),0,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,= AB,1,0,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,3. 逻辑符号对照,曾用符号,美国符号,国标符号,国标符号,曾用符号,美国符号,或：,0 + 0 = 0,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,与：,0 0 = 0,0 1 = 0,1 1 = 1,非：,二、变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A + 0 = A,A + 1 = 1,与:,A 0 =

8、 0,A 1 = A,非：,1. 1. 2 公式和定理,一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 ),三、与普通代数相似的定理,交换律,结合律,分配律,例 1. 1. 1 证明公式,解,方法一：公式法,证明公式,方法二：真值表法,(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中),A B C,四、逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A + A = A,A A = A,还原律,例 1. 1. 2 证明：,A B,将Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量,五、关于等式的三个规则,1. 代入规则：,等式中某一变量都代之以一个逻辑

9、函数，则等式仍然成立。,例如，已知,(用函数 A + C 代替 A),则,2. 反演规则：,不属于单个变量上的反号应保留不变,例如：已知,反演规则的应用：求逻辑函数的反函数,则,将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量,已知,则,3. 对偶规则：,如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。,将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.” “0” 换成“1”,“1”换成“0”,例如,对偶规则的应用：证明等式成立,0 0 = 0,1 + 1 = 1,六、若干常用公式,公式 (4) 证明：,公式 (5) 证明：,即,=

10、 AB,同理可证,七、关于异或运算的一些公式,异或,同或,AB,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,(4) 常量和变量的异或运算,(5) 因果互换律,如果,则有,= AB,一、标准与或表达式,1. 2 逻辑函数的化简方法,1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,1. 最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。,( 2 变量共有 4 个最小项),( 4 变量共有 16 个最小项),( n 变量共有 2n 个最小项),( 3 变量共有 8 个最小项),对应规律：1 原变量 0 反变量,2. 最小项的

11、性质：,(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；,A B C 0 0 1,A B C 1 0 1,(2) 任意两个最小项的乘积为 0 ；,(3) 全体最小项之和为 1 。,3. 最小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。,对应规律：原变量 1 反变量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,4. 最小项是组成逻辑函数的基本单元,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都

12、可以表示成为最小项之和的形式。,例 写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,例 写出下列函数的标准与或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,最简或与式,最简与或非式,二、逻辑函数的最简表达式及相互转换,最简与或式,最简与非-与非式,最简或与非式,最简或非-或非式,最简或非-或式,核心,1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法,一、并项法:,例 1. 2. 8,例,二、吸收法：,例 1. 2. 10,例,例 1. 2. 11,三、消去法：,例,例 1. 2. 13,四、配项消项法：,或,或,例,例 1. 2. 15,冗余项,综合练习：,1. 2.

13、3 逻辑函数的图形化简法,一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps),卡诺图：,1. 二变量 的卡诺图,最小项方格图(按循环码排列),(四个最小项),A,B,2. 变量卡诺图的画法,三变量 的卡诺图：,八个最小项,A,BC,0,1,00,01,卡诺图的实质：,紧挨着,行或列的两头,对折起来位置重合,逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量不同,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,五变量 的卡诺图：,四变量 的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使

14、用图形法进行化简。,AB,CDE,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二个最小项,3. 卡诺图的特点：,用几何相邻表示逻辑相邻,(1) 几何相邻：,相接 紧挨着,相对 行或列的两头,相重 对折起来位置重合,(2) 逻辑相邻：,例如,两个最小项只有一个变量

15、不同,化简方法：,卡诺图的缺点：,函数的变量个数不宜超过 6 个。,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。,4. 卡诺图中最小项合并规律：,(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4,6,(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,(3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n 个相邻最小项合并可以消去 n 个因子,总结：,二、逻辑函数的卡诺图表示法,1

16、. 根据变量个数画出相应的卡诺图；,2. 将函数化为最小项之和的形式；,3. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,三、 用卡诺图化简逻辑函数,化简步骤:,(1) 画函数的卡诺图,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或表达式,例 1. 2. 20,1,1,1,1,1,1,1,1,解,画包围圈的原则：,(1) 先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。,(2) 圈越大越好，但圈的个数越少越好。,(3) 最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。,(4) 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查

17、才能写出最简与或式。,不正确的画圈,例,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或表达式,多余的圈,注意：先圈孤立项,利用图形法化简函数,利用图形法化简函数,例,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或 表达式,例,用图形法求反函数的最简与或表达式,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,(2) 合并函数值为 0 的最小项,(3) 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式,1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简,一、 约束的概念

18、和约束条件,(1) 约束：,输入变量取值所受的限制,例如，逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的 升、降、停 命令。,A = 1 表示升，B = 1 表示降，C = 1 表示停。,ABC 的可能取值,(2) 约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项。,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,1. 约束、约束项、约束条件,(3) 约束条件：,(2) 在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。,000,011,101,110,111,由约束项相加所构成的值为 0 的逻辑表达式。,约束项：,约束条件：,或,2. 约束条件的表示方法,(1) 在真值表和卡诺图上用叉

19、号()表示。,例如，上例中 ABC 的不可能取值为,二、 具有约束的逻辑函数的化简,例 化简逻辑函数,化简步骤:,(1) 画函数的卡诺图，顺序 为：,先填 1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,(2) 合并最小项，画圈时 既可以当 1 ，又可以当 0,(3) 写出最简与或表达式,解,例 化简逻辑函数,约束条件,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,(2) 合并最小项,(3) 写出最简与或表达式,合并时，究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。,注意：,1.3 逻辑函数的表示方法 及其相互之间的转换,1. 3. 1

20、几种表示函数的方法,一、逻辑表达式,优点：,书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。,缺点：,逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。,二、真值表,优点：,直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,三、卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,优点：,便于求出逻辑函数的最简与或表达式。,缺点：,只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。,四、逻辑图,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。,五、波形图,输入变量和对应的输出变量

21、随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。,1. 3. 2 几种表示方法之间的转换,一、真值表,函数式,逻辑图,例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。,(1) 真值表,函数式,将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得 Y 的逻辑函数式。,函数式,卡诺图化简,1,1,0,1,0,0,0,0,(2) 函数式,逻辑图,A,B,Y,C,真值表,函数

22、式,二、逻辑图,第一章 小 结,一、数制和码制,1. 数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）,各种数制之间的相互转换，特别是十进制二进制的转换，要求熟练掌握。,2. 码制：常用的 BCD 码有 8421 码、2421 码、5421 码、余 3 码等，其中以 8421 码使用最广泛。,练习 完成下列数制和码制之间的相互转换,128 16 4 2 1,512 128 64 16 8 4 2,32 8 2 1,32 4 1,16 8 4 1,二、常用逻辑关系及运算,1. 三种基本逻辑运算：,与 、或、非,2. 四种复合逻辑运算：,与非 、或非、与或非、异或,三、逻辑代数的公式和定理,是推演、变

23、换和化简逻辑函数的依据，有些与普通代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定理中，摩根定理最为常用。,真值表 函数式 逻辑符号,练习 求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。,解,四、逻辑函数的化简法,化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成本低、可靠性高。化简的方法主要有公式化简法和图形化简法两种。,1. 公式化简法：,可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理，并要求具有一定的运算技巧和经验。,2. 图形化简法：,简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。但是，当函数的变量个数多于六个时，就失去了优点，没有实用价值。,约束项：（无

24、关项）,可以取 0，也可以取 1，它的取值对逻辑函数值没有影响，应充分利用这一特点化简逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。,练习 用公式法将下列函数化简为最简与或式。,练习 用图形法将下列函数化简为最简与或式。,（1） 画函数的卡诺图,（2） 合并最小项：画包围圈,（3） 写出最简与或表达式,1,1,1,1,1,1,1,1,解,1,1,（1） 画函数的卡诺图,（2） 合并最小项： 画包围圈,（3） 写出最简与或表达式,1,解,1,1,1,1,五、逻辑函数常用的表示方法：,真值表、卡诺图、函数式、逻辑图和波形图。,它们各有特点，但本质相同，可以相互转换。尤其是由真值表 逻辑图 和 逻辑图 真值表， 在逻辑电路的分析和设计中经常用到，必须熟练掌握。,