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1、3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式,定义： 空间曲线 在 点的曲率为其中 为 点及其邻近点 间的弧长， 为曲线在点 和 的切向量的夹角。曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线程度。,空间曲线曲率计算公式（自然参数）,一般参数下空间曲线曲率计算公式,例： 空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是曲率k(s)=0.证明 若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向量，并且| a | = 1，则k(s)= ; 反之, 若k(s)=0, 则 于是 r = s a + b. 所以该曲线是直线.,对于空间曲线，曲线不仅弯曲（曲线偏离切线程度由曲率表示）而且还要扭转（偏离密切平面，否
2、则为平面曲线），所以类似相应有刻画曲线扭转程度的量挠率。（有大小又有方向）我们用副法向量的转动速度来刻画曲线的扭转程度。现在设曲线 上一点 的自然参数为 ,另一邻近点 的自然参数为 ，在 两点作曲线 的副法向量 和 ,此两个副法向量的夹角是由第一节命题知扭转程度大小为几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转速度,由于密切平面把空间分成上下两部分，对扭转程度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有下面的定义,下面考虑扭转方向,因 所以,定义：曲线 在 点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。,空间曲线的伏雷内公式,由定义,则有基本向量导向量与基本向量的关系
3、，即微分几何的的重要公式,这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基本向量 关于弧长 的微商可以用 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵,挠率的计算公式,曲率和挠率的一般参数表示式,已给出 类曲线 一般参数曲率的表示式一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）,注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下不变（易证）,命题 曲线为平面曲线充要条件是 .证明 设的方程为r = r(s). 在某平面 ( 为上的一个定点对应的向量, n为平面的单位法向量). 对上式两边求导,得 . 从而 . 若k = 0, 则 . 于是反过来,所以曲线为平面曲线,若,命题： 空间曲线 为平面曲线的充要条件是,证
4、由上例曲线为平面曲线充要条件是,等价于,而,所以,所以命题成立。,空间曲线 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线 上一点 的主法线的正侧取线段使 的长为 。 以 为圆心，以 为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线 在 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。,曲率中心轨迹设对应Y，则有,容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P点的曲率相同,例1 求圆柱螺线r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均为常数)的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆. 解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -a cos t, 0.于是 = =所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.,. 故曲率中心的半径向量为可以求出密切平面为于是曲率圆为,
