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1、第一节 马尔可夫过程及其概率分布,一、马尔可夫过程的概念,二、马尔可夫过程的概率分布,三、应用举例,四、小结,一、马尔可夫过程的概念,1. 马尔可夫性(无后效性),马尔可夫性或无后效性.,即: 过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的.,2. 马尔可夫过程的定义,具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程.,用分布函数表述马尔可夫过程,恰有,或写成,并称此过程为马尔可夫过程.,3. 马尔可夫链的定义,时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链,简记为,研究时间和状态都是离散的随机序列,二、马尔可夫过程的概率分布,1. 用分布律描述马尔可夫性,有,称条件概率,说明: 转移概率具有特点,2.
2、转移概率,由转移概率组成的矩阵,称为马氏链的转移概率矩阵.,此矩阵的每一行元素之和等于1.,它是随机矩阵.,3. 平稳性,有关时, 称转移概率具有平稳性.,同时也称此链是齐次的或时齐的.,称为马氏链的n步转移概率,一步转移概率,特别的, 当 k=1 时,一步转移概率矩阵,的状态,记为P,三、应用举例,证明,由独立增量过程的定义知,即有,例1,马尔可夫过程.,说明:,泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程;,维纳过程是时间状态都连续的马氏过程.,设每一级的传真率为 p, 误码率为 q=1-p.,设一个单位时间传输一级,只传输数字0和1的串联系统 ( 传输系统),如图:,分析:,例2,而与时刻 n
3、以前所处的状态无关.,所以它是一个马氏链, 且是齐次的.,一步转移概率,一步转移概率矩阵,例3 一维随机游动,游动的概率规则,1/3的概率向左或向右移动一格, 或以1/3的概率留,在原处;,如果Q现在位于点 i (1 i 5),则下一时刻各以,以概率1移动到2(或4)这一点上.,如果Q现在位于1(或5)这点上, 则下一时刻就,1和5这两点称为反射壁.,上面这种游动称为带有两个反射壁的随机游动.,模拟方法:产生均匀分布的随机数序列13232211122,其中1表示左移;2表示不动;3表示右移.,理论分析:,状态空间就是I.,而与时刻 n 以前所处的状态无关.,所以它是一个马氏链, 且是齐次的.,
4、一步转移概率,说明:,相应链的转移概率矩阵只须把P 中第1行改为,改变游动的概率规则, 就可得到不同方式的,随机游动和相应的马氏链. 如果把点 1 改为吸收壁,一步转移概率矩阵,解,例4,某计算机房的一台计算机经常出故障,研究者每隔15分钟观察一次计算机运行状态,收集了24小时的数据 (共作97次观察) . 用1表示正常状态, 用0表示不正常状态, 所得的数据序列如下:,1110010011111110011110111111001111111110001101101,分析,状态空间: I=0, 1.,例5,1110110110101111011101111011111100110111111
5、00111,96 次状态转移的情况:,因此, 一步转移概率可用频率近似地表示为:,以下研究齐次马氏链的有限维分布.,特点:,用行向量表示为,一维分布由初始分布和转移概率矩阵决定,由以上讨论知,转移概率决定了马氏链的运动的统计规律. 因此, 确定马氏链的任意n步转移概率成为马氏链理论中的重要问题之一.,四、小结,齐次马氏链、平稳性的概念.,一步转移概率矩阵的计算.,一步转移概率,一步转移概率矩阵,第二节 多步转移概率的确定,一、C-K 方程,三、应用举例,四、小结,二、多步转移概率的确定,一、C-K 方程,是一齐次马氏链, 则对任意的,切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(简称C -K方程),说明,C-K
6、方程基于下列事实:,这一事件可分解成:,件的和事件.,如下图所示:,证明,由条件概率定义和乘法定理得,(马氏性和齐次性),所以,考虑到马氏性和齐次性, 即得 C-K 方程.,C-K 方程也可写成矩阵形式:,二、多步转移概率的确定,利用 C-K 方程我们容易确定 n 步转移概率.,得递推关系:,从而可得,马氏链的n步转移概率是一步转移概率的 n 次方,链的有限维分布可由初始分布和一步转移概率完全确定.,结论,解,(1)先求出2步转移概率矩阵:,例1,在 传输系统中,传输后的误码率;,系统经 n 级传输后输出为 1, 问原发字符也是 1 的概率是多少?,例2,解,先求出 n 步转移概率矩阵.,有相
7、异的特征值,所以可将 P 表示成对角阵,传输后的误码率分别为:,(2) 根据贝叶斯公式, 当系统经 n 级传输后输出为 1, 原发字符也是 1 的概率为:,说明,n步转移概率矩阵为,矩阵一般可表示为:,对于只有两个状态的马氏链, 一步转移概率,例3,解,概率为,四、小结,切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 (简称 C K 方程),马氏链的n 步转移概率是一步转移概率的n 次方, 链的有限维分布可由初始分布和一步移概率完全确定.,由 C K 方程可得,第三节 遍历性,一、遍历性的概念,三、应用举例,四、小结,二、(有限链)遍历性的充分条件,一、遍历性的概念,对于一般的两个状态的马氏链, 由上节内容可知,意
8、义,对固定的状态j,不管链在某一时刻的什么状,态 i出发, 通过长时间的转移到达状态 j 的概率都趋,定义,则称此链具有遍历性.,二、(有限链)遍历性的充分条件,说明,2. 极限分布转化为了求解方程组.,3. 在定理的条件下马氏链的极限分布是平稳分布.,试说明带有两个反射壁的随机游动是遍历的, 并求其极限分布(平稳分布).,解,例1,三、应用举例,无零元,链是遍历的,代入最后一个方程 (归一条件), 得唯一解,所以极限分布为,这个分布表明,经过长时间游动之后, 醉汉 Q 位于点 2 (或 3 或 4 ) 的概率约为 3/11, 位于点 1 (或 5) 的概率约为 1/11.,设一马氏链的一步转移概率阵为,试讨论它的遍历性.,解,例2,表明,此链不具遍历性.,四、小结,遍历性的概念,则称此链具有遍历性.,(有限链) 遍历性的充分条件,
