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1、马尔柯夫链模型,张俊丽,2,马尔柯夫预测法,马尔柯夫（Markov）法是以俄国数学家 A A Markov名字命名的一种方法.它将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初步概率和状态之间转移概率的研究，确定状态变化趋势，以预测事物的未来，马尔可夫法和博克斯一詹金斯法都是随机时间序列分析法。,3,马尔柯夫过程就是时间转移和状态转移的过程。马尔柯夫链是马尔柯夫过程的一种特殊情况。马尔柯夫过程所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不断的，相邻两个值之间可作无限分割。马尔柯夫过程所研究的状态也是无效的。而马尔柯夫链的时间参数取离散数值如日、月、季、年，其状况是有限的只有可到个状态,马尔
2、柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其特点是“无后效应性”,1、马尔柯夫链模型简介,设考察对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为 ，且 两两互斥，则称 为状态。称该系统从一种状态 到另一状态 的过程为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔柯夫过程。,马尔柯夫链：（1）无后效性，即系统的第n次试验结果出现的状态，只与第n-1时系统所处的状态有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。,概率向量： 向量 称为概率向量，如果 满足：概率矩阵： 如果方阵P的每行都为概率向量，则称此方
3、阵为概率矩阵。,转移矩阵： 系统由状态 经过一次转移到状态 的概率记为 ，称矩阵为一次（一步）转移矩阵。,转移矩阵的性质： （1） （2） 其中 为 次转移矩阵。,正规概率矩阵： 对概率矩阵 ，若幂次方 的所有元素皆为正数，则称矩阵 为正规概率矩阵 。 定理： 正规概率矩阵 幂次方 趋近于某一方阵 ， 的每一行均为同一概率向量 ，且满足 。,马尔可夫链模型： 设系统在 时所处的初始状态 为已知的，经过 次转移后所处的状态向量 则 此式即为马尔可夫预测模型。,2、市场占有率预测,例 设有甲乙丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新用
4、户。假定在10月末经过市场调查得知，甲乙丙三家企业拥有的客户分别是250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如下：,问题： 假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去（转移矩阵不变），预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。,问题分析与求解第一步：确定初始状态概率向量，这里,第二步：确定一次转移概率矩阵。此例由用户可能流动情况调查表可知，一次转移概率矩阵为： 矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率。,第三步：利用马尔科夫链模型进行预测。显然，12月份三家企业市场占有率为 12月份三个企业市场用户拥有
5、量分别为： 甲： 户 乙： 户 丙： 户,现在假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去，我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。 易证 为正规矩阵，设 令 ，则 解得 ，故,16,3、项目选址预测,某汽车维修公司在合肥有A、B和C3个维修厂。由于公司注重对员工技术的提高，树立顾客至上、信誉第一的理念,采用先进的管理模式。,由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择哪一个维修厂。,17,公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。的客户的调查显示，客户在A、B和C3个维修厂之间的转移概率为：,易证 为正规矩阵，设 令 ，则 解得,
