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1、四、变异指标,概念：综合反映总体各单位标志值的差异程度或离散程度。变异指标越大，表明数据越分散、不集中；变异指标越小，表明数据越集中，变动范围越小。变异指标反映现象总体总单位变量分布的离中趋势。,一、变异指标的概念,它是反映总体中各单位标志值差异程度的综合指标。,一、变异指标的概念,变异指标（标志变动度），,平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势；,平均指标是说明总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标。但是，平均指标将总体各单位标志值的差异抽象化了，是总体各单位标志值的代表水平，它不能反映总体各单位标志值的差异情况。例如，,变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。,工人姓名
2、 甲 乙 丙 丁 戊,460 520 600 700 850,奖金额（元）,数量标志,标志值（变量值）,平均奖金,= 626（元）,离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志变异指标反映其大小。,平均数,（3）试问A、C 两门课程平均考分更有代表性？,表,例如，,A课程考分： 65 70 75 80 85,B课程考分： 68 70 76 80 81,（1）试计算A、B、C三门课程的平均考分。,（2）试问A、B两门课程平均考分哪个更有代表性？,65,75,85,B 组,A 组,变异大,变异小,标志变异指标与平均数的代表性成反比，
3、表明总体各单位标志值的分散程度。即标志变异指标数值越大，平均数的代表性越小。例,二、标志变异指标的作用,1.它是衡量平均数代表性的尺度。,2.它可以反映社会经济活动过程的均衡性或稳定性程度。,3.它还是抽样分析和相关分析的重要指标。,注意：标志变异指标的作用是在与平均指标结合中产生的，离开了平均指标，它就失去了意义。而它与平均指标相结合，则可全面反映总体的特征，并对平均指标的代表性做出评价。,例：某车间两个生产小组各人日产量（件）如下： 甲组：20 40 60 70 80 100 120 乙组：67 68 69 70 71 72 73,甲、乙两组工人的平均产量都为70件。 通过观察可以看出，甲
4、组数据的变异程度较大，乙组数据的变异程度较小。也可以用图示的方法观察产量的变异情况：,举例：衡量平均数代表性,70,70,甲组,乙组,结论：标志变异程度和平均数的代表性呈反比关系。,产量差异程度较大,产量差异程度较小,举例：反映社会经济活动过程的均衡性,观察：哪个厂供货比较均衡？,表,（一）变异指标的种类（数值）,三、变异指标的计算方法,分类：全距 平均差 标准差 变异系数,全距,全距 R （range） ： 测定标志变异程度的最简单的指标，它是标志的最大值和最小值之差，反映总体标志值的变动范围。公式：全距最大标志值最小标志值 RXmaxXmin评价： 从计算可知，全距仅取决于两个极端数值，不
5、能全面反映总体各单位标志值变异的程度，也不能拿来评价平均指标的代表性。,计算： R=XmaxXmin,例、甲同学成绩全距R=93 70=22(分) 乙同学成绩全距R=98 51=47(分),特点：计算方便，易于理解； 易受极端数值的影响。,全距,【例2】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下，计算全距。,对于组距数列，全距计算公式为： R最高组的上限值最低组的下限值,表,全距的特点,全距是测定标志变动度的一种粗略方法。优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分布的数列具有特殊优点。缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。,2、用于比较不同总体
6、数值的均衡性或平均数的代表性；,在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平均数代表性大小，这时：全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。,全距的作用,1、经常应用于生产过程的质量控制；,平均差,平均差A.D （average deviation）：是总体各单位标志对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。它综合反映了总体各单位标志值的变动程度。平均差越大，则表示标志变动度越大，反之则表示标志变动度越小。 简单平均差：A.D=加权平均差A.D=,根据未分组资料计算 表,试问A、B 两课程的平均考分更有代表性？,平均数离差,-
7、10 -5 0 5 10,解：,离差绝对值,平均数离差,离差绝对值, A.DAA.DB,故，学生B 课程平均考分比A 课程平均考分更有代表性。,10 5 0 5 10,30,-7 -5 1 5 6,7 5 1 5 6,24,优点:不易受极端数值的影响，能较好地反映全部单位标志值的实际差异程度；平均差弥补了全距之不足，它考虑了所有的标志值。缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于数学处理和参与统计分析运算。,3.平均差的特点,评价：平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。但计算时要用绝对值，不适合代数运算，因此在进一步统计分析中应用较少。,标准差,标准差 （standar
8、d deviation）：各单位标志值对其算术平均数的离差的平方的算术平均数的平方根，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度。标准差是描述数据离散程度的最常用的差异量。分类：简单标准差 加权标准差,公式:简单平均差：= 加权平均差:=,简捷计算：标志值数值较大、平均值未知，以A为假定平均数(一般取靠近中间的标志值或组中值),平均数离差,离差平方,平均数离差,离差平方,-10 -5 0 5 10,100 25 0 81 100,-7 -5 1 5 6,49 25 1 25 36,问A、B 那一门课程的平均考分更有代表性？,解：,因为B课程标准差较小，所以B课程平均分比A课程平均分代表性大。,【
9、例2】根据未经分组的资料,表,【例】根据某车间200名工人加工零件的资料，计算工人的生产零件标准差。,根据变量数列资料计算,表,标准差计算表,将表中计算结果代入公式，得到：,表4-33,1、反映某总体各单位某种标志值的离散程度；,2、用于比较不同总体数值的均衡性或平均数的代表性；,在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平均数代表性大小，这时：标准差较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。,3.标准差的作用,评价：标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，是统计分析中最常用的差异量。标准差具备一个良好的差异量应具备的条件，如：
10、反应灵敏，有公式严密确定，简明易懂，适合代数运算等等。标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。,数据1： 1、 2、 3、 4、 5 数据2： 10、20、 30、40、50显然,这两组数据的差别程度相同，而它们水平不同或平均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比较它们的差异程度大小。这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度大小。,如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较其数列平均数的代表性大小），怎么办？,注意：这时需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标
11、志变异系数。,是总体中变异指标与其算术平均数之比，以反映标志值差异的相对水平。,变异系数（V）：,变异系数,标准差系数,离散系数指标的种类,在实际工作中运用最为广泛的是标准差系数指标。,注意：标准差与标准差系数的不同应用条件：,在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小（或说明其平均数代表性大小）时，当其平均水平相同时，可直接计算标准差进行比较；当其平均水平不相同（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较。,根据表：,平均数离差,-10 -5 0 5 10 ,解：,离差平方,平均数离差,离差平方,-10 -5 0 5 10,100 25 0 25 1
12、00 250,100 25 0 25 100,250, VAVC,故， C 组平均考分更有代表性。,试问A、C 课程平均考分哪个更有代表性？,又如，甲、乙两个农场有关资料如 表4-35 ：,解：, V甲V乙,故，乙农场的粮食平均亩产量更有代表性。,小结：在两个总体或两组数据平均数不相等时，要比较其平均数代表性大小，这时：标准差系数较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。也就是说标准差系数和标志值的离散程度成正大，和平均数的代表性或现象的均衡性成反比。,例如：两种不同水稻品种，分别在5个田块上试种，其产量如下：要求：分别计算两品
13、种的单位面积产量。计算两品种亩产量的标准差和标准差系数。假定生产条件相同，确定哪一品种具有较大稳定性，宜于推广,因V乙V甲，故乙品种具有较大稳定性，宜于推广,应用条件：当所对比的两个数列的平均水平高低相同时，就采用全距、平均差或标准差进行对比分析，当所对比的两个数列的水平高低不同时，其数值的大小不仅受各单位标志值差异程度的影响，而且受到总体单位标志值本身水平高低的影响；为了对比分析不同水平的变量数列之间标志值的变异程度，就必须消除数列水平高低的影响，这时就要计算变异系数。,是非标志标准差,是非标志：一个总体只能分为具有某一标志值的单位和不具有某标志值得单位两组。这种用“是”“否”“有”“无”来
14、表示的标志称是非标志。是非标志表现：用“1”表示是用“0”表示非用p表示是出现的次数占总次数的比重用q表示非出现的次数占总次数的比重,总体按所研究标志不同,变量总体,（研究数量标志）,属性总体,（研究品质标志）,在属性总体中，当所研究的标志，其表现只有两种属性，即“是”或“非”时，将该属性总体称为是非标志总体。,例如：,学生按性别分组,男生,女生,（是）,（非）,企业按经济类型分组,国有企业,集体企业,（是）,个体企业,其它企业,（非）,（一）什么是是非标志总体,（二）是非标志(属性)总体的成数,在是非标志（属性）总体中，设总体有N个单位，其中有N1个单位具有某种性质或属性（是的属性），有N0
15、个单位不具有某种性质或属性（非的属性），即N1+ N0= N 则，,即总体中具有某一属性的单位数占总体单位数的比重,即总体中不具有某一属性的单位数占总体单位数的比重,（三）是非标志(属性)总体的平均数,由于品质标志（是非标志）的表现不能用数值表示，为了研究问题方便，我们可以将品质标志（是非标志）数量化。即用1表示单位标志为“是”的标志值（即具有某种性质的单位的标志值）；用0表示单位标志为“非”的标志值（即不具有某种性质的单位的标志值）。,表4-36,属性（是非标志）总体的平均数：,（四）是非标志(属性)总体的标准差,属性（是非标志）总体的标准差：,表4-37,注意：当 P = 0.5时，,（最大）,【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件，不合格品20件。求产品质量分布的集中趋势与离中趋势。,解：,是非标志的算术平均数： = p是非标志的标准差： = =,
