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1、第二讲工程仿真和有限元法简介,课 程 背 景,大多数实际工程系统地分析可分类为： 固体（结构）的强度、刚度和稳定性分析（位移、应力和应变场）静态分析； 结构的振动特性分析动态分析； 流体力学中的流场分析； 传热学中的温度场分析； 电磁学中的电磁场分析。最终归结为：在给定边界条件下，求解控制方程（常微分或偏微分方程）求解边值问题。,解析解的困难,1 工程系统的构成较复杂板、壳、梁、实体多场耦合2 非线性材料非线性；几何非线性；边界条件非线性接触问题3 外载的形式复杂静态、动态温度载荷,计算力学的主要方法,弹性力学边值问题,计算机仿真一门新兴的边缘学科,仿真技术在新产品研发中的应用,有限元法的分析
2、过程,有限元分析的六个基本步骤是：结构离散化；选择位移模式；分析单元力学特性；集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程；求解未知节点位移；计算单元应变和应力。,平面问题有限元方法介绍,以平面三角形为例：,1、设定位移函数,写成矩阵：,单元内的位移通过节点的位移插值得到。对于三角形单元，可假定单元内的位移为 的线性函数。,既然是单元内某点的位移表达式，当然三个节点上的位移也满足同样的表达式。,可以得到：,这里: 是广义坐标。,式中：,为不使A 为负值，图1中的i，j，k必须按逆时针方向标注,将上述式子代入 有：,或写成：,可简写为：,上式为单元内某点的节点位移插值表示的多项式，称N为形状函
3、数，其中：,选取单元位移函数的一般原则：,广义坐标 是由节点场变量确定，因此，其个数必须与节点自由度个数相等；选取多项式时，常数项（反映刚体位移）和坐标的一次项（反映常应变）必须完备；当单元数目趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变为常应变；多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元精度。,2、由位移函数求应变,由弹性力学的知识：,可得：,或写成：,3、由应变求应力,对于平面问题：,对于平面应力：,4、由虚功原理求单元刚度矩阵,给单元节点以任意虚位移：,虚位移、虚应变分别可表示为：,虚功原理：当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给定的虚位移下，外力 及内力 所做的虚功之和为
4、零。,单元节点的虚功：,单元内力的虚功：,即,由虚功方程：,是任意的，可消去：,或：,其中,把 B 和 D 代入上式，得平面应力问题的三角形单元刚度矩阵：,t 是单元厚度,单元刚度矩阵任意元素 的物理意义,当单元的第j 个节点位移为单位位移而其它节点位移为零时，须在单元第i 个节点位移方向上施加的节点力大小。显然，单元刚性越大，则使节点产生单位位移所需施加的节点力就越大。,单元刚度矩阵的特点,对称性奇异性 物理解释：单元处于平衡时，节点力相互不是独立的，它们必须满足平衡方程，因此，它们是线性相关的。另一方面，即使给定满足平衡的节点力 f，也不能确定单元节点位移 ，因为单元还有任意的刚体位移。主
5、元恒正 物理解释：要使节点位移 ，施加在 方向的节点力 必须与位移 同向。,有限单元法的解题步骤,1、单元剖分和插值函数的确定,根据构件的几何特性、载荷情况及所要求的变形，建立由各种单元组成的计算模型。然后再按单元的性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数。,利用节点，可以写出以 表示的节点位移,求 及 ，并代入,它是用节点位移表示单元内任意点位移的插值函数式。,2、单元特性分析,根据位移插值函数，由弹性力学给出的应力应变关系，计算应变为：,B 是应变矩阵。相应的变分为：,由物理关系（本构关系）,由虚功原理：,得节点力与位移间的关系为：,其中：,3、单元组集,把各单元按节点组集成与原结构
6、相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移的关系，即整体平衡方程：,对于结构静力分析，载荷列阵 f 可包括：,其中：体积力,表面力：,集中力：,4、解有限元方程,解题前，需对结构平衡方程组进行边界条件处理（直接代入法；置大数法；对角元素置1 法） ； 采用不同的方法解有限元方程，得出节点位移。,对角元素置 1 法,5、计算应力,计算得到节点位移 后，由 和 即可求出相应节点应力。,置大数法,有限元分析的流程,CAD几何模型,输入离散模型数据,按选择的单元计算单元刚度矩阵,按总刚存储模式集成总刚,按单元循环,计算单元等效节点载荷,集成结构节点载荷列阵,引入位移边界条件,按选定解法解线性方程,
7、消除K的奇异性,求解Kq=f,辅助计算,根据 计算,结果输出,结 束,有限元分析软件的构成,前处理（Preprocessing）：形成有限元模型所需要的单元、节点数据；材料特性、边界条件和载荷条件。,求解程序（Solution）：计算刚度矩阵、载荷列阵，求解平衡方程，计算应力、应变。,后处理（Postprocessing）：将计算结果（位移、应力、应变等）通过图形、表格等不同方式形象化地表现出来。,热分析例子,铸造过程二维瞬态传热材料性能随温度变化考虑对流，忽略辐射考虑相变潜热利用对称性,导入模型,设置优选项为Thermal通过input文件导入模型,定义材料属性,砂型：导热系数“KXX” =
8、 0.025比热“C” = 0.28密度“DENS” = 0.54铸件材料导热系数和焓随温度变化,铸件材料属性随温度变化曲线,导热系数,焓,定义单元类型,Thermal Solid Quad 4node 55（保存数据库）,划分网格,砂型：材料1铸件：材料2,施加载荷,在砂型周边施加对流边界条件,定义分析类型,瞬态,完全积分,指定初始条件,铸件节点2875F,铸件节点2875F,Select everything,设置时间步,总时间4时间增量0.01载荷类型：阶跃最小时间增量0.001最大时间增量0.25,设置结果输出选项,输出每一子步的结果,保存数据库求解求解过程图示,查看结果,进入时间历程后处理器,查看某一点的温度变化曲线,查看某一时刻的温度场,查看温度场变化动画,退出程序,
