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1、第七章多自由度体系的动力响应分析Dynamic Analysis for Systems of Multiple Degree of Freedom,第七章 多自由度体系的动力响应分析,主要内容1两自由度无阻尼体系的动力响应2多自由度体系动力响应的振型分析法3振型响应贡献4特殊分析方法,1 两自由度无阻尼体系的动力响应 Dynamic Analysis of Systems of Two Degree of Freedom without Damping,第七章 多自由度体系的动力响应分析,考虑如图所示的两自由度无阻尼体系,体系中集中质量的受力为,于是，体系的运动控制方程为,第七章 多自由度体
2、系的动力响应分析,考虑此体系的稳态运动，即可设,将其代入控制方程，得到,即,于是,其中，det和adj分别表示 的行列式和伴随矩阵,第七章 多自由度体系的动力响应分析,由于,设其根分别为w1和w2（固有频率），则,同时,于是,第七章 多自由度体系的动力响应分析,即,取,则,并且,第七章 多自由度体系的动力响应分析,记体系的最大静力位移为,则,可见，体系的运动幅值与w/w1或w/w2有关当w=w1或w=w2时，体系发生共振，其稳态响应的幅值为无穷大当w=21/2w1时，体系的第一个质量的幅值为零，即u10=0,这就是吸振器（调谐质量阻尼器）的工作原理,第七章 多自由度体系的动力响应分析,体系幅值
3、与激励频率的响应,第七章 多自由度体系的动力响应分析,考虑如图所示的单自由度无阻尼体系，当激振频率 w 接近体系的固有频率w0时，质量m1（主系统）的运动幅值将变得很大,为减少主质量的运动幅值，在主质量m1上附加一个弹簧和质量（称为吸振器），构成两自由度体系,记,第七章 多自由度体系的动力响应分析,则根据前面的结果，有,可见，当 时，主质量m1的振幅为零。,为减少在主质量固有频率w1*附近的振动幅值，可令,即吸振器的固有频率被调谐到主系统的固有频率,2 多自由度体系动力响应的振型分析法 Modal Analysis for Dynamic Responses of Undamped Syste
4、ms,第七章 多自由度体系的动力响应分析,对于具有粘滞阻尼的多自由度体系，其方程为,设无阻尼体系的固有频率为wi，相应的振型为fi，令,代入运动方程可得,两边乘以振型fjT，可得,利用振型的正交性，并记 ，则有,第七章 多自由度体系的动力响应分析,对于具有经典阻尼的多自由度体系，方程化为,此方程亦可表示为,wj和zj分别称为第 j 阶振型的固有频率和阻尼比,Mj、 Cj 、 Kj和Pj分别称为第j阶振型fj的广义质量、广义阻尼、广义刚度和广义力,多自由度经典阻尼体系振型坐标的控制方程等价于单自由度体系的强迫振动方程。于是，可利用单自由度体系的相关结果研究多自由度体系的动力响应,第七章 多自由度
5、体系的动力响应分析,对于无阻尼的多自由度体系，振型坐标方程可进一步化为,或者,可得,利用振型的正交性，有,对于初始条件,第七章 多自由度体系的动力响应分析,这样，将节点位移矢量u的N个耦合微分方程初值问题,转化为N个非耦合的振型坐标qj(t)的微分方程初值问题,第七章 多自由度体系的动力响应分析,求得振型坐标qj(t)后，节点位移u为,其中， 为第i 阶振型对节点位移u的贡献,这种分析方法称为经典振型分析法，或经典振型叠加法,求得t时刻的位移u(t)后，可计算结构单元（梁、柱等）的内力，一般可采用两种方法进行内力分析,第一种方法中，首先根据振型位移ui(t)，利用单元刚度矩阵计算第i阶振型位移
6、对内力r(t)的贡献ri(t) ，而后，考虑所有振型位移，利用叠加原理得到总内力,第七章 多自由度体系的动力响应分析,第二种方法首先计算与振型位移ui(t)相关的等效静力,而后，将这些等效静力作用在结构上，利用结构静力分析计算内力ri(t),最后，利用利用叠加原理得到总内力,第七章 多自由度体系的动力响应分析,例 计算如图所示体系在激励力p0sinwt作用下稳态响应的层间剪力V(t)和位移幅值，设体系为经典阻尼，且振型阻尼比为zi。,其中，,解：体系的运动控制方程为,相应无阻尼体系自由振动的运动方程为,第七章 多自由度体系的动力响应分析,固有频率的特征方程为,相应的振型为,由此得固有频率,于是
7、，,第七章 多自由度体系的动力响应分析,于是，经典阻尼体系的振型坐标的方程为,根据粘滞阻尼单自由度体系的解答，方程的稳态解为,其中，第j阶振型的阻尼为,其中，,第七章 多自由度体系的动力响应分析,振型位移为,从而,层间单元剪力,第七章 多自由度体系的动力响应分析,于是，层间剪力为,节点位移为,体系的位移为,第七章 多自由度体系的动力响应分析,从而，位移幅值为,3 振型响应贡献 Modal Response Contributions,上述展式本质是将矢量s按照与振型相关的惯性力基矢量展开，因为，第i阶振型fi的惯性力为,第七章 多自由度体系的动力响应分析,考虑一种特殊的激励力各作用力pj(t)
8、随时间的变化是相同的，均为p(t)，其空间分布由矢量s确定，即,将矢量s展开为,称si为第i阶振型对s的贡献，si与振型的正则化无关,其中，,可见，力向量sj只影响第j阶振型的响应第j阶振型的响应完全由力向量sj确定,第七章 多自由度体系的动力响应分析,粘滞阻尼体系的运动控制方程为,将位移u按振型展开,可得振型方程,即,与此对应的等效静力为,第七章 多自由度体系的动力响应分析,记粘滞阻尼单自由度体系的运动方程,的解为Dj(t),记静力sj引起的结构内力为rjst，则等效静力sj产生的内力可表示为,从而，第j阶振型的振型位移为,则第j阶振型的坐标解为,振型贡献系数满足贡献系数为无量纲的贡献系数与
9、振型正则化方式无关贡献系数之和为1，即,第七章 多自由度体系的动力响应分析,总内力为,从而，总内力为,记静力s引起的结构内力为rst，则第j阶振型贡献系数定义为,则,第七章 多自由度体系的动力响应分析,记粘滞阻尼单自由度体系的运动方程,解Dj(t)的峰值为Dj0(t)，即,引入第j阶振型的动力响应系数,则第j阶振型位移对响应贡献的峰值为,第七章 多自由度体系的动力响应分析,可见，第j阶振型位移对响应贡献的峰值由四项组成第j阶振型单自由度体系的动力响应系数Rdj第j阶振型的贡献系数 s引起的静力响应rst激励力p(t)的幅值p0,动力响应系数Rdj和幅值p0取决于作用力的时间变化规律，与空间分布
10、无关,静力响应rst和贡献系数 仅取决于作用力的空间分布s，与时间t无关,在动力分析中，贡献系数 和动力响应系数Rdj影响各振型对响应的贡献，而rst和p0与振型无关,第七章 多自由度体系的动力响应分析,在分析某一具体体系（结构）的动力响应时，如果体系的自由度数目N不是很大，一般可包括所有的振型进行分析如果体系的自由度数目N很大，包括所有的振型进行分析将导致巨大的计算量。为此，一般只考虑有限的前几阶振型，如前J 阶振型进行计算，这些前几阶振型数目的确定需要综合考虑振型贡献系数和动力响应系数,4 特殊分析方法 Special Methods for Analysis,考虑N自由度体系，将所有N个
11、振型分为两部分固有周期为Ti的前Nd阶振型，其动力效应显著， Rdn远大于1固有周期为Ti的Nd1到N阶振型，其响应基本上是静力的， Rdn接近于1,第七章 多自由度体系的动力响应分析,我们已经知道，对给定的激励，结构某些高阶振型的动力响应系数 Rdn可能只略大于1，即这些高阶振型的响应基本上是静力的，因此，可通过静力分析确定，这就是静力校正法的本质,于是，总响应为,第七章 多自由度体系的动力响应分析,于是，振型对响应的贡献可表为,其中，一般情况下，第i阶振型的响应为,对于Nd1到N阶振型的响应，由于几乎为静力响应，因此，满足,Di(t)为第i阶振型单自由度体系的响应，即满足,于是，只需计算前
12、Nd阶固有频率和振型第二个等式中方括号内的第二项是Nd1到N阶高阶振型的静力响应第二项是对第一项动力响应解答的静力修正。因此，称为静力校正法,第七章 多自由度体系的动力响应分析,由于 ，则,由于涉及加速度和速度的叠加，而不是振型的叠加，因此，这种方法称为振型加速度叠加法,第七章 多自由度体系的动力响应分析,另外，由于,对于Nd1到N阶高阶振型，如果其响应几乎为静力的，则,则总响应亦可表示为,第七章 多自由度体系的动力响应分析,可以证明：静力校正法和振型加速度叠加法是等效的两种方法的选择主要依赖计算程序执行的难易程度决定，除两者数值运算过程中的微小舍入误差外，两种方法给出相同的计算结果一般情况下，静力校正法较为方便当分析中必须包含许多高阶振型以圆满的表示作用力s的空间分布，同时，激励力p(t) 对于前几个低阶振型的动力响应系数远大于 1 时，静力校正法和振型加速度叠加法才是有效的此时，几个低阶振型的动力响应叠加与上述修正法的联合将给出比较精确的结果,
