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1、,因式分解,-单元复习,第三章,把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。,（一）因式分解的定义：,基本概念,即：一个多项式 几个整式的积,练习题： 一个多项式分解因式的结果为（x+3)(x+4),则这个多项式为（ ）,x2 7 x 12,（二）因式分解的方法：,1、提取公因式法,2、运用公式法,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。,练习题： 分解因式：p（yx）q（yx）,即： ma + mb + mc = m（a+b+c）,1、提公因式法：,1.公因式确定（1）系数：取各系数的最大公约数；（2
2、）字母：取各项相同的字母；（3）相同字母的指数：取最低指数。2.变形规律： (1) x-y= - (y-x) (2) -x-y= - (x+y) (3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)33.一般步骤:（1）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。,1、提公因式法：,分类解析一：提公因式法,(1)把 8m3+12m2+4m 分解因式,结果是_,(2)把多项式 m2(a2)+m(2a)分解因式_,(3) 2x2 4xy 2x = _(x 2y 1),(4) 4a3b2 10a2b3 = 2a2b2(
3、_),(5) m(m n)2 (n m)2 = _,将下列各式分解因式 a2x2y axy2,(2) 14abc 7ab + 49ab2c,(3) x(x y) y(y x),（1）用平方差公式分解因式的关键：多项式是否能看成两个数的平方的差；（2）用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项式是否为一个完全平方式；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2,2、运用公式法：,分类解析二：套公式法-“平方差公式”,(1) x2 _2 = (x + 5y)(x 5y),(2) 把多项式 y4 81 分解因式,结果
4、是_,(3) 分解因式：9（a-b)2-16(a+b)2=_,分类解析三：套公式法-“完全平方公式”,(1) 如果 9x2 + kx + 25 是一个完全平方式,那么 k 的值是_,(2) 9(ab)2+12(ab)(a+b)+4(a+b)2因式分解的结果是_,(3) x2 _+16y2 = (_)2,(4)若多项式x2-3x+k是一个完全平方式,求 k 的值是_,(5) 25m210mnn2,(6) 25(y-x)2+10(y-x)1,(3)分解因式： x211x24 = _,分类解析四：十字交叉相乘法,(1) x2 + 3x 54 分解因式为_,(2) 分解因式：x2 + 3x + 2 =
5、_,(4) 如果 x2 + px + 12 能分解为两个关于x的一次因式，则 p = _,2 y43y328y2,3.已知 , , 求 的值;,分类解析五：综合“一提、二套、三交叉”,1 3x312yx212y2,因式分解的一般步骤：,一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式；,二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用全平方公式；,四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。,一般步骤,三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形， 使之能“提”或能“套”。如(x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1）,例1
6、.分解因式:m2 n2 + 2m - 2n,=( m + n )( m n )+2( m n ),=( m - n )( m + n +2),例2.分解因式: x3 xy2,解:,原式= x ( x2 y2 ),= x ( x + y )( x y ),例3：（ x y） （ x y）,（ x y）3 （ x y） = （ x y） （ x y 1） （ x y 1）,例4：分解因式: x x = _,原式= x( x 1) = x (x+1)(x-1),解:,x(x+1)(x-1),解:,例6：分解因式:(4x2+1)2 16x2,(4x2+1)2 16x2,=(4x2+1+4x)(4x2+
7、1-4x),=(2x+1)2(2x-1)2,=(4x2+4x+1)(4x2-4x+1),例5：将 x xy2 分解因式_,x xy2=x(1-y2) =x(1+y)(1-y),x(1+y)(1-y),解:,解:,解:,例7：因式分解,1、简化计算,(1)562+5644 (2)1012 - 992,变式练习：若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_；,2、解方程：,变式练习：,解方程：(3x- 4) - (3x+ 4) =48,3、多项式的除法 (2mp-3mq+4mr) (2p-3q+4r),变式练习：20052+2005能被2006整除吗？,第三步,1、求证：对于自然数n，2n+4-
8、2n能被30整除.,解：2n+4-2n=2n(2-1) =2n(16-1) =152n =1522n-1 =302n-1.n为自然数时，2n-1为整数，2n+4-2n能被30整除.,典型例题解析：,典型例题解析：,分析：,已知x-y和xy的值，如何求x+y的值？,3、已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2 -c2 2bc 的正负性。（提示： a2-b2 -c2 2bc = a2-（b2+c2 +2bc ）,典型例题解析：,4、将4x2+1加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法?,典型例题解析：,5、若5 x2 4 xy y2 2x 1=0，求x、y的值。,典型例题解析：,分析：,在已知条件无法直接应用时，可以考虑对已知条件进行适当地变形处理,6、一个矩形的面积为a3 -2ab+a ,宽 为 a ,则矩形的长为_,矩形的长=(a3-2ab+a)a,=a2 2b+1,a2 2b+1,典型例题解析：,课堂小结：,在掌握基本的因式分解方法的同时，在计算过程中需要利用整式乘法与因式分解互为逆运算的性质来进行检验。,
