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1、2020/4/21,数学建模,用,MATLAB,优化工具箱解线性规划,min,z=cX,b,AX,t,s,?,.,.,1,、模型：,命令：,x=linprog,（,c,，,A,，,b,）,2,、模型,：,min,z=cX,b,AX,t,s,?,.,.,beq,X,Aeq,?,?,命令：,x=linprog,（,c,，,A,，,b,，,Aeq,beq,）,注意：若没有不等式：,存在，则令,A= ,，,b= .,b,AX,?,2020/4/21,数学建模,3,、模型,：,min,z=cX,b,AX,t,s,?,.,.,beq,X,Aeq,?,?,VLBXVUB,命令：,1,x=linprog,（,
2、c,，,A,，,b,，,Aeq,beq, VLB,，,VUB,）,2,x=linprog,（,c,，,A,，,b,，,Aeq,beq, VLB,，,VUB, X,0,）,注意：,1,若没有等式约束,: ,则令,Aeq= ,beq= .,2,其中,X,0,表示初始点,beq,X,Aeq,?,?,4,、命令：,x,fval=linprog(),返回最优解及处的目标函数值,fval.,2020/4/21,数学建模,解,编写,M,文件,xxgh1.m,如下：,c=-0.4,-0.28,-0.32,-0.72,-0.64,-0.6;,A=0.01,0.01,0.01,0.03,0.03,0.03;0.0
3、2,0,0,0.05,0,0;0,0.02,0,0,0.05,0;0,0,0.03,0,0,0.08;,b=850;700;100;900;,Aeq=;,beq=;,vlb=0;0;0;0;0;0;,vub=;,x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),例,1,max,6,5,4,3,2,1,6,.,0,64,.,0,72,.,0,32,.,0,28,.,0,4,.,0,x,x,x,x,x,x,z,?,?,?,?,?,?,850,03,.,0,03,.,0,03,.,0,01,.,0,01,.,0,01,.,0,.,.,6,5,4,3,2,1,?,?,?,?,
4、?,?,x,x,x,x,x,x,t,s,700,05,.,0,02,.,0,4,1,?,?,x,x,100,05,.,0,02,.,0,5,2,?,?,x,x,900,08,.,0,03,.,0,6,3,?,?,x,x,6,2,1,0,?,?,?,j,x,j,2020/4/21,数学建模,例,2,3,2,1,4,3,6,m,in,x,x,x,z,?,?,?,120,.,.,3,2,1,?,?,?,x,x,x,t,s,30,1,?,x,50,0,2,?,?,x,20,3,?,x,解,:,编写,M,文件,xxgh2.m,如下：,c=6 3 4;,A=0 1 0;,b=50;,Aeq=1 1 1;,
5、beq=120;,vlb=30,0,20;,vub=;,x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,2,1,),4,3,6,(,min,x,x,x,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,2,1,20,0,30,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,50,120,0,1,0,1,1,1,.,.,3,2,1,x,x,x,t,s,2020/4/21,数学建模,一、问题提出,市场上有,n,种资产,i,s,（,i=
6、1,2,n,）可以选择，现用,数额为,M,的相当大的资金作一个时期的投资。,这,n,种资产,在这一时期内购买,i,s,的平均收益率为,i,r,，风险损失率为,i,q,，,投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的,i,s,中最,大的一个风险来度量。,购买,i,s,时要付交易费，,(,费率,i,p,),，当购买额不超过给定值,i,u,时，交易费按购买,i,u,计算。另外，假定同期银行存款利率,是,0,r,，既无交易费又无风险。,（,0,r,=5%,）,投资的收益和风险,2020/4/21,数学建模,已知,n=4,时相关数据如下：,i,s,i,r,（,%,）,i,q,（,%,）,i,p,（,%,
7、）,i,u,（元）,S,1,28,2.5,1,103,S,2,21,1.5,2,198,S,3,23,5.5,4.5,52,S,4,25,2.6,6.5,40,试给该公司设计一种投资组合方案，,即用给定达到资金,M,，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益,尽可能大，使总体风险尽可能小。,2020/4/21,数学建模,基本假设：,1.,投资数额,M,相当大,为了便于计算，假设,M=1,；,2,投资越分散，总的风险越小；,3,总体风险用投资项目,i,s,中最大的一个风险来度量；,4,n,种资产,S,i,之间是相互独立的；,5,在投资的这一时期内, r,i,p,i,q,i,，,r,0,为定值
8、，不受意外因素,影响；,6,净收益和总体风险只受,r,i,p,i,q,i,影响，不受其他因素干扰。,二、基本假设和符号规定,符号规定：,S,i,第,i,种投资项目，如股票，债券,r,i,p,i,q,i,-,分别为,S,i,的平均收益率,风险损失率，交易费率,u,i,-S,i,的交易定额,0,r,-,同期银行利率,x,i -,投资项目,S,i,的资金,a -,投资风险度,Q -,总体收益,Q -,总体收益的增量,2020/4/21,数学建模,三、模型的建立与分析,1.,总体风险用所投资的,S,i,中最大的一个风险来衡量,即,max q,i,x,i,|i=1,，,2,n,2,购买,S,i,所付交易
9、费是一个分段函数,即,p,i,x,i,x,i,u,i,交易费,=,p,i,u,i,x,i,u,i,而题目所给定的定值,u,i,(,单位,:,元,),相对总投资,M,很小, p,i,u,i,更小,可以忽略不计,这样购买,S,i,的净收益为,(r,i,-p,i,)x,i,3,要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型,:,目标函数,MAX,?,?,?,n,i,i,i,i,x,p,r,0,),(,MINmax q,i,x,i,约束条件,?,?,?,n,i,i,i,x,p,0,),1,(,=M,x,i,0,i=0,1,n,2020/4/21,数学建模,a,在,实际投资中，投资者承受风
10、险的程度不一样，若给定,风险一个界限,a,，,使最大的一个风险,q,i,x,i,/M,a,，,可找到相,应的投资方案。,这样把多目标规划变成一个目标的线性规,划。,模型,1,固定风险水平，优化收益,目标函数：,Q=MAX,?,?,?,?,1,1,),(,n,i,i,i,i,x,p,r,约束条件：,M,x,q,i,i,a,?,?,?,M,x,p,i,i,),1,(,，,x,i,0,i=0,，,1,，,n,4.,模型简化：,2020/4/21,数学建模,b,若投资者希望总盈利至少达到水平,k,以上，在风险最小的,情况下寻找相应的投资组合。,模型,2,固定盈利水平，极小化风险,目标函数：,R= mi
11、nmax q,i,x,i,约束条件：,?,?,?,n,i,i,i,i,x,p,r,0,),(,k,，,?,?,?,M,x,p,i,i,),1,(,，,x,i,0,i=0,，,1,，,n,2020/4/21,数学建模,c,投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择,一个令自己满意的投资组合。,因此对风险、收益赋予权重,s,（,0,s,1),，,s,称为投资偏好,系数,.,模型,3,目标函数：,min smaxq,i,x,i, -,（,1-s,）,?,?,?,n,i,i,i,i,x,p,r,0,),(,约束条件,?,?,?,n,i,i,i,x,p,0,),1,(,=M,，,x,i,0,i=0
12、,1,2,n,2020/4/21,数学建模,四、模型,1,的求解,模型,1,为,:,minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185,-0.185) (x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,),T,x,0,+ 1.01x,1,+ 1.02x,2,+1.045x,3,+1.065x,4,=1,s.t.,0.025x,1,a,0.015x,2,a,0.055x,3,a,0.026x,4,a,x,i,0,(i = 0,1,.4),由于,a,是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，,不同的投资者有不同的风险度。我们从,a=0,开始，以步长,a=0.001,进行循环搜索，编
13、制程序如下：,2020/4/21,数学建模,max,Q = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,),T,x,0,+ 1.01x,1,+ 1.02x,2,+1.045x,3,+1.065x,4,=1,s.t.,0.025x,1,a,0.015x,2,a,0.055x,3,a,0.026x,4,a,x,i,0,(i = 0,1,.4),从,a=0,开始，以步长,a=0.001,对下列组合投资模型求解,并绘图表示,a,与目标函数最优值,Q,的对应关系,:,2020/4/21,数学建模,a=0;,while(1.1-a)
14、1,c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;,Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1;,A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;,b=a;a;a;a;,vlb=0,0,0,0,0;vub=;,x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);,a,x=x,Q=-val,plot(a,Q,.),，,axis(0 0.1 0 0.5),，,hold on,a=a+0.001;,end,xlabel(a),ylabel(Q),2020/4/21
15、,数学建模,a = 0.0030,x = 0.4949,0.1200,0.2000,0.0545,0.1154,Q = 0.1266,a = 0.0060,x = 0,0.2400,0.4000,0.1091,0.2212,Q = 0.2019,a = 0.0080,x = 0.0000,0.3200,0.5333,0.1271,0.0000,Q = 0.2112,a = 0.0100,x = 0,0.4000,0.5843,0,0,Q =0.2190,a = 0.0200,x = 0,0.8000,0.1882,0,0,Q =0.2518,a = 0.0400,x = 0.0000,0.99
16、01,0.0000,0,0,Q =0.2673,计算结果：,2020/4/21,数学建模,五、,结果分析,4,.,在,a=0.006,附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长,很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和,收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，,大约是,a,*,=0.6%,，,Q,*,=20%,，所对应投资方案为,:,风险度,收益,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212,3.,曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收
17、益要求的最,小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。,2,.,当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即,:,冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。,1.,风险大，收益也大。,2020/4/21,数学建模,实验作业,某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料,6,千克,工人,10,名,可获利,10,万元,;,每百箱乙饮料需用原料,5,千克,工人,20,名,可获利,9,万元,.,今工厂共有原料,60,千克,工人,150,名,又由于其,他条件所限甲饮料产量不超过,8,百箱,.,问如何安排生产计划,即,两种饮料各生产多少使获利最大,.,进一步讨论,:,1),若投资,0.8,万元可增加原料,1,千克,问应否作这项投资,.,2),若每百箱甲饮料获利可增加,1,万元,问应否改变生产计划,.,
