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1、,（一）曲线积分与曲面积分,（二）各种积分之间的联系,（三）场论初步,一、主要内容,曲线积分,曲面积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各种积分之间的联系,计算上的联系,其中,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,梯度,通量,旋度,环流量,散度,（三）
2、场论初步,二、典型例题,思路,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,对坐标的曲线积分,的计算法,解,(如下图),曲面面积的计算法,曲顶柱体的表面积,如图曲顶柱体，,解,由对称性,对坐标的曲面积分的计算法,1. 利用高斯公式,具有,则,外侧.,一阶连续偏导数,2. 通过投影化为二重积分,注意,的确定!,3.向量点积法(化为同一组坐标积分）,被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.,?,如直接计算,分析,用高斯公式.,例,是锥面,所围立体的表面,计算设f(u)是有连续的导数,计算,和球面,及,外侧.,解,由于,故由高斯公式,=,例,解,利用两类曲面积分之间的关系,例. 计算曲面积分,其中,解:,
3、引申: 1.本题 改为椭球面,时,应如何计算 ?,应如何计算 ?,2.若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，,计算：,其中：,引申: 1,然后用高斯公式 .,引申: 2,分两种情形,情形1： 不包围原点的任意闭曲面。,情形2： 包围原点的任意闭曲面。,问题转化为与引申1类似的情形。,例. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得,例.计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,(曲面关于xoz面对称）,例.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,选择题：,B,C,C,
