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1、第一章 实变函数初步,第一节 直线上点集的勒贝格测度与可测函数,勒贝格测度与勒贝格可测集,可测函数,测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广,可测函数列的极限问题,一、点集的勒贝格测度与可测集,1. 几个特殊点集的测度,设E为直线R上的有限区间a,b(或(a,b)或a,b)或(a,b), 则其测度定义为：m(E)=m(a,b)=b-a.,(2) 设E为平面上有界闭区域D, 则其测度定义为: m(E)=SD,(4) 若E =，则定义m(E)=m()= 0,(3) 设E为空间上有界闭区域, 则其测度定义为:m(E)=V,(6) 若E为一随机事件，则定义m(E)=P(E) (古典概率）,(5) 若
2、E=x是单点集，则定义m(E)=0,2.直线上非空有界开集与有界闭集的测度,定义1 设E R非空点集，a R.,(1) 设 0, 称开区间(a , a + )=O(a, )为a 的邻域。,直线上包含a的任一开区间(, )均可称为点a的邻域,(2) 设aE, 若存在a的一个邻域(,),使得(,) E，则称a是E的内点；,定义2 设E R非空点集. 如果E中的所有点都是内点，则称E是开集；,定义3 设G是直线R上的一个有界开集。如果开区间(, ) 满足条件:,1) (, )G 2) G, G,则称(, )为开集G 的一个构成区间,定义4 设G为直线R上的有界开集(即(a,b)G), (ai,bi)
3、(iI)为G的构成区间，则定义 m(G)=(biai) (0m(G)b-a),定义5 设F(a,b)R为有界闭集，G=(a,b) F, 则定义：,m(F)=(b-a) m(G),注: m(F)0, 且m(F)的值与区间(a,b)的选取无关.,定理1（开集的构造定理）设GR为有界开集.,(1) 对aG，必有G的一个构成区间(,)，使得a(,)；,(2) G可以表示为至多可数个互不相交的构成区间的并，,即G= (k,k). (其中(k,k) (i,i)=)， (k,k)为G的构成区间.,现在我们可以定义开集和闭集的测度.,定义6（确界）设AR使非空数集。 （1）如果存在一个实数，满足： 1）xA
4、，有x ； 2） 0, x0 则称 为A的上确界, 记作：,（2）如果存在一个实数 ，满足： 1） xA ，有x ； （2） 0, x0 + ,则称 为A的下确界, 记作：,定理2（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界。,3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度,3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度,定义7 设ER为任一有界集.,称一切包含E的有界开集的测度的下确界为E的L外测度，记为m*(E), 即,m*(E)=inf m(G)| G为有界开集, EG ,(2) 称一切包含于E的有界集的测度的上确界为E的L内测度，记为m(E), 即,m(E)=
5、 supm(F)| F为有界闭集, FE,(3) 如果m(E)=m(E), 则称E的内测度与外测度的共同值为E的L测度，记为m(E), 即,这时, 也称E是勒贝格可测集(简称L可测集),m(E)=m*(E)=m(E),注:,1)对于有界开集G, 有m(G)=m*(G),2)对于有界闭集F, 有m(F)=m(F),3)对于任一非空有界集E, 有m(E)m*(E) (根据定义),定理3 设X=(a,b)是基本集(有界), E, EiX (i=1,2,)均为有界可测集, 则有EC=X-E、E1E2、E1E2、E1-E2、Ei、Ei均可测，且,1) m(E)0, 且E=时, m(E)=0 (非负性),
6、3) m(E1E2)m(E1)+m(E2) (次可加性),若E1E2, 则 m(E1) m(E2) (单调性),m(E2E1)=m(E2)-m(E1),4.可测集的性质,4) 若E1E2=, 则m(E1E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性),5) 若Ei Ej= (ij, i,j=1,2,), 则m(Ei)=m(Ei),(可列可加性),1) 若E1 E2 Ek, 则E=Ek可测, m(E)=lim m(Ek),定理4 设X=(a,b)是基本集, Ek是X上的可测集列。,2) 若E1 E2 Ek, 则E=Ek可测, m(E)=lim m(Ek),定理5 设ER有界, 则E 可测存在开集G
7、和闭集F,使 FEG, 且m(G-F),证:,“” E可测 m(E)= m*(E)=m(E),“” 0, 开集G和闭集F,使FEG, 且m(G-F),0, 开集G E 和闭集FE,使, m(E)-m(E)m(G)-m(F), m(E)m(E) (由的任意性）,例1 有限集是有界闭集, 其测度为零.,例2 任何有界的可数点集是L可测集，且其测度为零.,注: (1) 有理点集合无力点集都是非开非闭集。,证：应用“可列可加性”.,（3）0, 1中的无理点集虽然是不可列集, 但它是L可测集，且其测度为1.,证：应用“有限可加性”或“闭记的定义”,(2) 0, 1中的有理点集是可列集，因而是L可测集，且
8、其测度为零.,5.几个值得注意的问题,1）关于无界集的测度问题,定义4 设ER为任一无界点集，如果对x0, 有界集(-x, x)E可测, 则称E是可测的. 并记,注:,1)无界点集的测度可能是有限值, 也可能是无穷大. 例如, 有理数集Q是无界的零测集, E=(0,+)是测度为+的可测集.,2)对于无界集, 上述定理3的结论也成立.,2）L可测集类与波赖尔(Borel)集,定义5 (1) R中所有L可测集构成的集合称为L可测集类.,(2) 对R中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到的集合称为波赖尔(Borel)集. 所有波赖尔(Borel)集都是L可测集.,注：大多数集合都是L可测
9、集，但L不可测集确实存在.,二、点集上的勒贝格可测函数,1.可测函数的定义,定义6 设ER为任一可测集（有界或无界）, f(x)为定义在E上的实值函数.若R, E的子集 E(f )=x|f(x), xE都是L有限可测集, 则称f (x)是E上的L可测函数,E(f )=x1,x2x3,bE(f )=x4,x5,2. 函数可测的充分必要条件,定理4 f(x)在可测集E上的可测函数，即E(f )可测, R, E(f)=x|f(x) , xE可测,R, E(f=)=x|f(x)=, xE可测,R, E(f)=x|f(x), xE可测,R, E(f)=x|f(x), xE可测,R, E(f)=x|f(x
10、), xE可测,证:,(1) E(f)=E(f)-E(f)可测 E(f)= E(f+n),(5) E(f=)=E(f )-E(f ),(4) E(f)=E-E(f),(3) E(f)=E-E(f)=f+1/n,(2) E(f)=E(f+1/n), E(f)=E(f1/n),例5 定义在R上连续函数都是L可测函数.,f(x)连续x0E(f)R, f(x)f(x0) (xx0),O(x0,), 使xO(x0,), 有f(x)，即x E(f) (极限保号性）,证：x0E(f)f(x0),(只要证明R, 集E(f)是开集, 则它一定是可测集),f(x)是可测函数,O(x0, )E(f)x0 是E(f)
11、的内点， E(f)是开集,E(f)是可测集,例6 区间0,1上的狄里克来函数D(x)是L可测函数.,证:,当1时, E(D)=是可测集,当0时, E(D)=0,1是可测集. 因此, D(x)是L可测函数,当0)=x| x为0,1中的有理数是可测集,例7 定义在零测集E上的任何函数f(x)都是L可测函数.,证: R, E(f)=x|f(x), xEE, f(x)是可测函数,m(E(f)=0,m(E(f)m(E)=0,E(f)也是零测集,例8 集E的特征函数E(x)是R上的可测函数.,证:,定理6 f(x)、g(x)是E上的可测函数,kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x
12、)(g(x)0)、,及f(x)都E上的可测函数,当1时, E(E)=是可测集,当0时, E(E)=R是可测集,当01时, E(E )=E是可测集,(x)是L可测函数,三、函数列的收敛性问题,1 函数列的处处收敛性与一致收敛性概念,定义7 设fn(x)是定义在点集上的一个函数列，f(x)是定义 在上的一个函数.,fn(x)在点集E上处处收敛于f(x),(2) fn(x)在点集E上一致收敛于f(x),0, xE, N=N(), 当nN时, 有fn(x)-f(x)。,记作 fn(x)f(x) (n),0, xE, N=N(x, ),当nN时, 有fn(x)-f(x)。,1) 在处处收敛的定义中, N
13、=N(x, )不但与有关, 而且与x点有关，即便对于同一个, 当x不同时, 求出的N也不相同.,注:,2) 在一致收敛的定义中, N=N()只与有关, 而与x点位置无关. 一致收敛的几何意义如下：,在几何上表示: 当nN时, 曲线列fn(x)的图形都在曲线 f(x)的带形邻域内.,x(0,1)时, fn(x)=xn0 (n),N既与有关,又与x有关,要使曲线fn(x)=xn上的对应点落到极限函数f(x)=0的带形邻域内,在x1处,只要 n2即可,而在x2处,则要n10才行,3) fn(x)一致收敛于f(x)fn(x)一处处敛于f(x), 反之不然。例如,在点集E上, 函数列fn(x)一致收敛于
14、f(x),证:,定理6 (柯西定理), xE, fn(x)是基本列 。,0, xE, N=N(), 当m, nN时, 有fm(x)-fn(x),定理7 (连续性) 设fn(x)是E上的连续函数列. 如果fn(x)在E上一致收敛于f(x),则极限函数f(x)也在E上连续.,2 函数列一致收敛的性质,定理8（可积性）设fn(x)是区间a,b上的连续函数列. 如果fn(x)在a,b上一致收敛于f(x), 则极限函数f(x)在E上区间a,b上可积, 且,推论 设fn(x)是区间a,b上的可积函数列. 如果fn(x)在a,b上一致收敛于f(x), 则极限函数f(x)在区间a,b上可积. 且,3）求极限与
15、求微分（求导）可以交换次序,注: 函数序列一致收敛时, 有,1）函数序列的连续性、可积性都 可以传递给极限函数,2）求极限与求积分可以交换次序,3 可测函数列的几乎处处收敛、依测度收敛及近一致收敛,定义8 设fn(x)是可测集E上的可测函数列，f(x)是定义 在E上的函数. 则,fn(x)在集E上几乎处处收敛于f(x),定理9 设fn(x)是可测集E上的可测函数列, 且 lim fn(x)=f(x) (a.e.), 则f(x)也是E上的可测函数.,记作：fn(x)f(x) (a.e.)(n),E0E，m(E0)=0, 且当xEE0时, fn(x)f(x) (n),m(xlimfn(x)f(x)
16、, xE)=0,0, lim m(Exfn(x)-f(x)=0,fn(x)在集E上依测度收敛于f(x),0, 0, N, 当nN时, 有m(E(fn(x)-f(x),定义9 设fn(x)是可测集E上的可测函数列，f(x)是定义 在E上的可测函数. 则,定义10 设fn(x)是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列, 如果0, 可测子集E E, 使m(E-E), 且fn(x)在E 上一致收敛于f(x), 则称fn(x)在E上近一致收敛于f(x) .,定理10 设fn(x)是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列, f(x)是定义在E上的几乎处处有限的可测函数, 且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 则,定理11 (Riesz定理) 设m(E), 则 fn(x)在E上依测度收敛于f(x) 子列fnk(x)fn(x), 使fnk(x)f(x) (a.e.) (k),(2) fn(x)在E上依测度收敛于f(x). (勒贝格定理),fn(x)在E上近一致收敛于f(x). (叶果洛夫定理),fn(x)几乎处处收敛于f(x),fn(x)近一致收敛于f(x),fn(x)依测度收敛于f(x),fn(x)中存在几乎处处收敛于f(x)的子列fnk(x),fn(x)处处收敛于f(x),fn(x)一致收敛于f(x),4 函数列的各种收敛之间的关系,
