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1、激光原理与技术原理部分,第11讲平行平面腔自再现模式,11.0 平行平面腔,平行平面腔优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得单横模振荡；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式；公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数值方法来求近似解；,11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法,Fox-Li数值迭代法Gardner Fox 和厉鼎毅在1961年发表文章Resonant Modes in a Maser Interferometer 首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程来研究平
2、平腔内模式的方法；优点理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；缺点收敛性不好，计算量大；对高阶模式的计算误差较大；,11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法,平行平面镜腔如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：两腔镜上两点之间距离为：将其作级数展开：,或者,11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法,当满足条件 时，积分核可以写成：则衍射积分公式改写为：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：,式(1)表示一个平平腔，其反射镜在x方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸的条状腔的自再现模；式(2)表示的是另一个方向的
3、条状腔的自再现模。,11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法,满足上述方程的函数E(x)和E(y)可以有很多个，用Em(x)和En(Y)分别表示其中的第m和第n个解，对应的复常数为m、n，则上述方程可以表示为：(1)式在数学上称为本征方程，只有在m和n为一系列分立的值，对应m、n取不同的正整数时，方程才成立，因此m和n又被称为方程的本征值；对不同的m和n，能够使方程成立的解Em(x)和En(y)被称为相应的本征函数；本征函数决定了镜面上的场分布；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；,此时的自再现模为：复常数为：,11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法,由此可得到数值
4、计算中的迭代公式为：要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u1(x)=1， 由于argu1(x)=0，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。,11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法,将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归一化。将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出u3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和uq之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；此时求出的uq是迭
5、代方程的稳定解，也就是本征函数；此时求出的与坐标无关的常数因子 是本征值；,11.2 平行平面腔自再现模式的特征,Fox-Li对 条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。1、镜面上的振幅分布右图是300次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：镜面中心处振幅最大；从中心到边缘振幅逐渐下降；振幅分布具有藕对称性；具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；,11.2 平行平面腔自再现模式的特征,在
6、平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。在平平腔迭代中如果选取初值条件为：可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以TEM1表示。腔中还存在着其他的高阶模式；,11.2 平行平面腔自再现模式的特征,2、镜面上的相位分布右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知TEM0模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；右下图是T
7、EM1模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。,11.2 平行平面腔自再现模式的特征,3、单程相移与谐振频率A、单程总相移计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；表达式：其中kL为几何相移， 为附加相移，与N有关，不同的横模有不同的附加相移；,11.2 平行平面腔自再现模式的特征,右图为不同横模的单程相移随N变化的曲线，从曲线中可以得出结论：N相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移较大；N较大时，在对数坐标中附加相移随N的变化曲线基本为直线；,11.2
8、 平行平面腔自再现模式的特征,B、谐振频率由自再现模稳定存在的条件可知：以mnq表示TEMmn模的谐振频率，则：与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由TEMmn模的附加相移引起的。,11.2 平行平面腔自再现模式的特征,4、单程功率损耗对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随N变化的曲线。基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；对确定的横模，单程损耗由N单值决定，N越大，损耗越小；低阶模，特别是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；,激光原理与技术原理部分,第12讲方形镜共焦腔自再现模式,12.1
9、衍射积分方程及其解析解,如右图所示的方形镜共焦腔，满足如 下条件：则两点之间的距离为：从平平腔推导可知：由球面镜几何关系：,12.1 衍射积分方程及其解析解,其自再现模mn满足的积分方程为：作如下变换：,12.1 衍射积分方程及其解析解,通过分离变量求得：寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：,12.1 衍射积分方程及其解析解,将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：长椭球函数满足关系：该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；(1)式同(2)式共同决定
10、了矩形腔中模式的相移与损耗；以TEMmn表示共焦腔自再现模；,12.2 镜面上场的振幅和相位分布,A、厄米-高斯近似在 时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：其中Cm、Cn为常系数，Hm(x)为m阶厄米多项式。 厄米多项式的最初几阶为：,12.2 镜面上场的振幅和相位分布,当c时，厄米-高斯函数 是分离变量后的本征方程的本征函数；c为有限值时，只要满足条件c=2N1，厄米-高斯函数仍能非常好的满足本征方程；若不满足该条件，在镜面的中心附近，仍然能够用厄米-高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；将长椭球函数的厄米-高斯近似带入本征方程的本征解，并且用
11、x，y替代X，Y可以得到自再现模的表达式：其中Cmn为常系数。,12.2 镜面上场的振幅和相位分布,B、厄米-高斯近似下的基模当m=n=0时，可以得到TEM00模的分布函数：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：处，振幅降为中心处振幅的1/e。其中L为共焦腔长度，为激光波长，通常用半径为r的圆来规定基模光斑的半径，并定义为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。光场并不局限于0S内，而是扩展到无穷远处，只是当r0S时，光强已经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只与腔长L，或共焦腔反射镜焦距f=L/2有关，但只在厄米-高斯函数近似下才成立。,12.2 镜面上
12、场的振幅和相位分布,例 使用共焦腔的CO2激光器，若L=1m，输出波长为10.6um，则0S约为1.84mm；使用共焦腔的He-Ne激光器，L=0.3m，输出波长为0.6328um，则0S约为0.25mm；说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；除了1/e半径0S ，还有另一种光斑半径的定义方式，即强度最大值的1/2处（半功率点）的光斑尺寸为0S。,12.2 镜面上场的振幅和相位分布,C、高阶横模当m、n取不同时为0的一系列整数时，为高阶横模：TEMmn在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项
13、式的正负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。,12.2 镜面上场的振幅和相位分布,12.2 镜面上场的振幅和相位分布,D、相位分布镜面上等相位面由mn(x,y)的幅角决定。由于长椭球函数为实函数，则mn(x,y)也是实函数，其幅角为0，说明镜面上各点的相位相同，即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。共焦腔与平平腔的相位分布不同；,12.3 单程损耗,共焦腔自再现模的单程损耗：通过计算可以得到不同腔的损耗，如右图所示。均匀平面波在镜面边缘的夫琅和费衍射损耗大于平平腔自再现模的衍射损耗，而平平腔的损耗大于共焦腔的衍射损耗；基模的损耗是所有模式的损耗中最
14、少的；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；,12.3 单程损耗,共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地由菲涅尔数确定，TEM00模的损耗可近似按下述公式计算：He-Ne激光器采用共焦腔，L=30cm，放电管半径a=0.1cm，输出波长0.6328um，对应菲涅耳数为5.627，可以求出 而如果采用平平腔， 。以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，当N不太小时，衍射损耗可以忽略不计。当N相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍射损耗的差别来进行横模选择。,12.4 单程相移和谐振频率,单程相移由本征值决定：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移： 该相移与N无关，而是由横
15、模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；由谐振腔的谐振条件 可得：则谐振频率为：,12.4 单程相移和谐振频率,纵模间隔：当m、n不变时，由q变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当q、n不变时，由m变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当q、m不变时，由n变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：模式简并：不同的q、m、n所决定的横模处于同一个谐振频率mnq，即使得q+(m+n+1)/2相同的各种m、n、q搭配。,12.5 方形镜共焦腔的行波场,当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦腔中的行波场可以表示为：其中：,Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔内任一点的场强，E0为常数，Amn为归一化常数
16、；只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行波场的表达式还可推广到腔外整个空间。,12.5 方形镜共焦腔的行波场,1、振幅分布共焦腔行波场振幅为：对基模：振幅1/e处的基模光斑半径为：该公式表示腔中不同位置处的光斑大小各不相同：基模光斑的大小随z的变化规律：,即z=0处为束腰位置，0为束腰半径。,12.5 方形镜共焦腔的行波场,2、模体积某一模式的模体积描述的是该模式在腔内所能扩展的空间；模体积越大，该模式在激活介质中的体积就越大，对该模式提供的增益就越大，可能输出的功率就越大；对基模，其模体积为：对高阶模，其模体积为：,12.5 方形镜共焦腔的行波场,3、等相位面的分布腔内的相位分布由(x,
17、y,z)描述，与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为(0,0,z)，忽略由于z的微小变化引起的相位变化，在强的轴线附近有：上式描述的是柱坐标系中的抛物面方程式，抛物面的定点位于z=z0处，而抛物面的焦距为：在r2f的范围内，即腔轴线附近，可以将其近似为球面波，与腔的轴线在z0点相交的等相位面的曲率半径为：,注意与前面得到的高斯光束等相位面半径公式的比较,12.5 方形镜共焦腔的行波场,4、远场发散角远场发散角定义为光束半径分布的双曲线两渐近线的夹角：半功率点定义的远场发散角为：共焦腔的基模光束具有毫弧度级的发散角；如果产生多模震荡，由于高阶模的发散角随模的阶次增大而增大，因而会使光束的方向性
18、变差。,激光原理与技术原理部分,第13讲圆形镜共焦腔、一般稳定球面腔,13.1 圆形镜共焦腔的模式,1、积分方程的解精确解：超椭球函数；数值解：Fox-Li利用迭代法得到数值解；近似解：透镜孔径足够大时可以得到近似解；2、数值解的结论A、振幅分布：圆形镜共焦腔中的场更集中在反射镜中心附近，在镜的边缘部分下降得更低；振幅分布曲线更光滑；N越大，镜边缘处的场振幅越小；,13.1 圆形镜共焦腔的模式,B、等相位面分布：圆形镜共焦腔反射镜面本身为场的等相位面，即模的等相位面为球面；C、单程相移模的单程相移与N无关；不同横模之间单程相移之差为/2的整数倍；n相同而m相差1的各个模相移差为/2，而m相同n
19、相差1的各个模相移差为；,13.1 圆形镜共焦腔的模式,D、单程功率损耗圆形镜共焦腔不同横模的衍射损耗各不相同；衍射损耗最低的模式是TEM00模，随着横模级次的增高，损耗迅速增加；所有模式的损耗随N的增大而迅速下降；相应横模的损耗在数量级上要比平平腔模低得多，但比方形镜共焦腔的损耗大。,13.1 圆形镜共焦腔的模式,3、拉盖尔-高斯近似解当N时，积分方程可以求得近似解，即圆形镜共焦腔的自再现模，为拉盖尔-高斯函数。N的物理意义？,13.1 圆形镜共焦腔的模式,振幅分布基模的振幅分布也是高斯分布，其1/e光束半径为 ，与方形镜共焦腔一致；对高阶模式，m代表了方位角 上的极小值数目，n代表了径向r
20、上的极小值数目；相位分布由于mn也是实函数，与方形镜类似，圆形镜共焦腔自再现模的等相位面与其腔镜重合。,13.1 圆形镜共焦腔的模式,单程相移附加相位超前mn与数值计算结果一致。谐振频率 在腔内，频率是高度简并的。单程衍射损耗这个结论是必然的，因为近似解是在N的假设下近似得到的，因此该分布不能用来研究传输损耗。,13.1 圆形镜共焦腔的模式,4、圆形镜共焦腔的行波场由镜面上的场通过衍射积分方程求出空间场,13.2 一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,1、任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价等价指两种腔具有相同的自再现模。这种等价性是以共焦腔模式的空间分布，尤其是等相位面的分布为依据的，共
21、焦腔中与腔的轴线相交于任意一点的等相位面的曲率半径为：如果在共焦腔的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率半径的球面反射镜，则自再现模的行波场不会受到扰动。,13.2 一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,满足以下条件的无穷多个球面反射镜腔都等价于图中的共焦腔：可以证明这无穷多个腔都是稳定腔，即满足条件：任意共焦腔，等价于无穷多个稳定球面腔。,13.2 一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,2、任一满足稳定条件的球面腔唯一地等价于某个共焦腔以双凹腔为例给定满足0g1g21的R1、R2、L的值，可以求出f，f必须为实数，而且z1、z2必须合理，使共焦腔的中心位置可以求出。,13.2 一般稳定球面腔与
22、对称共焦腔的等价性,有确定的等价共焦腔存在,13.2 一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,以上的证明都是在共焦腔的模式能够用厄米-高斯或者拉盖尔-高斯函数描述时才是正确的，因为其行波场的等相位面曲率半径：是在N足够大时的近似，即本节所有的讨论都是在N足够大的前提下进行的。,13.3 一般稳定球面腔的模式,通过共焦腔与一般稳定球面腔的等价性，将共焦腔模式理论引入到一般稳定球面腔中，研究其模式特征。1、镜面上的光斑尺寸从上一节导出的与一般稳定球面腔等价的共焦腔的f表达式可得到其行波场束腰：,13.3 一般稳定球面腔的模式,镜面上的光斑尺寸：当g1=g2=0，L一定时，S1、S2有最小值，此时对应对
23、称共焦腔；当0g1g21时，表达式成立；如果不满足， S1与S2为复数；当g1g21或g1g20，即稳定球面腔趋于稳定条件边界， S1与S2 ，此时高斯近似不再成立。,13.3 一般稳定球面腔的模式,2、模体积行波场模体积定义为则一般稳定球面腔模体积为：其中 为腔长L的共焦腔的基模体积； 为其镜面上的光斑尺寸。一般稳定腔中的高阶模体积：,13.3 一般稳定球面腔的模式,3、谐振频率从反射镜M1到反射镜M2的总相移为：由前述方形镜行波场的相位部分：可以得到：,方形镜稳定腔的谐振频率：,同理可得圆形镜稳定腔的谐振频率：,13.3 一般稳定球面腔的模式,模式简并的讨论当q的变化与(m+n)的变化可以
24、相互抵消时，不同的横模具有相同的谐振频率，即发生模式简并；以方形镜腔为例：解出：其中K和K是正整数。由稳定腔条件：0g1g21得到q1q2必须满足 能够表示为两个正整数之比，且比之小于1/2，才能发生模式简并。由于上述限制，一般稳定球面腔的频率简并程度比共焦腔大大下降。,13.3 一般稳定球面腔的模式,4、衍射损耗共焦腔模式理论证明：每个横模的单程损耗单值地由腔的菲涅尔数 决定。而共焦腔镜面上的光斑尺寸为：稳定腔自再现模与对应的共焦腔的自再现模有相同的行波场，并且反射镜都构成场的等相位面，因此衍射损耗遵循相同的规律。设ai、a0分别表示稳定腔与对应共焦腔的镜面尺寸，Si、0S分别表示镜面上的光
25、斑半径，则当满足时，两腔的单程损耗相同。,比值越大，衍射损耗越小,定义为稳定球面腔的有效菲涅尔数,13.3 一般稳定球面腔的模式,在镜面1上：镜面2上：当a1=a2=a时：其中 表示腔长为L，镜面尺寸为a的共焦腔的菲涅尔数。,13.3 一般稳定球面腔的模式,如果一个稳定球面腔的有效菲涅尔数Nef等于一个对称共焦腔的N值，那么，他们具有相同的衍射损耗，这个结论可以推广到高阶模；每个反射镜有自己的Nef，即使镜面尺寸相等，反射镜的有效菲涅尔数也不相等，则每个反射镜对应的单程损耗mn不同，平均单程损耗为mn=(mn1+mn2)/2。,13.3 一般稳定球面腔的模式,4、基模远场发散角将一般稳定球面腔
26、行波场的瑞利长度f表达式带入发散角表达式可以得到：,激光原理与技术原理部分,第14讲非稳定腔：几何光学分析方法,14.0 非稳定腔,高功率激光器设计中的主要问题如何获得较大的模体积和较好的横模鉴别能力？如何得到较高的光束质量？稳定腔的固有缺陷：模体积较小：稳定腔的基模处在激活介质的轴线附近，其模体积仅占整个激活介质的很小一部分，大部分激活能量得不到有效利用；当N较大时，低阶横模的衍射损耗都很小，不同的横模之间的相差很小，很难分辨，导致了多横模振荡，从而降低了光束质量。,14.1 非稳定腔的一般特点与种类,1、非稳定腔的特点大的可控模体积；可控的衍射耦合输出；容易鉴别和控制横模；易于得到单端输出
27、和准直的平行光束；2、非稳腔的种类非稳腔指的是满足条件g1g21或g1g20的光腔，“非稳”指的是按照几何光学观点的损耗较大，而不是不能形成稳定的激光输出。,14.1 非稳定腔的一般特点与种类,双凸腔R11,g2=1-2/R21g1g21，所有双凸腔都是非稳腔。平凸腔R1，R21g1g21，所有平凸腔都是非稳腔。,14.1 非稳定腔的一般特点与种类,平凹腔R1，g1=1;R20，要满足g1g20，即R2L时，平凹腔才是非稳腔；双凹腔双凹腔构成的非稳腔中有一种特殊的腔，两个反射镜实焦点在腔内重合，满足条件：,构成望远镜系统，称为负支望远镜腔,14.1 非稳定腔的一般特点与种类,凹凸腔凹凸腔构成的
28、非稳腔中有一种特殊的腔，凹面镜的实焦点和凸面镜的虚焦点重合，它满足条件g1g21。被称为正支望远镜腔；,14.2 非稳腔的几何自再现波型,1、双凸腔轴线上的共轭像点对非稳腔成像性质的深入分析表明，任何非稳腔的轴线上都存在着一对共轭像点P1和P2。所谓共轭，指的是P1点通过M2反射成像在P2点，而P2点通过M1的反射又成像在P1点，P1P2两点互为两个镜面的共轭像点。此时称P1P2满足成像的自洽条件，对P1点，光线往返一次仍可回到P1点，P2点亦然。当满足自洽条件时，从P1或P2发出的均匀球面波在腔内往返一次，波阵面及其分布保持不变，即能够实现自再现。,14.2 非稳腔的几何自再现波型,非稳腔轴
29、上一对共轭像点存在性和唯一性，证明方法是先假设存在这样一对像点，然后再推导出他们存在的条件，并验证非稳腔能满足这样的条件。球面波在透镜上的变换规律：则从P1发出的球面波经过M2成像在P2点应满足关系：同理对M1镜有：其中l1和l2分别是像点P1、P2到M1和M2的距离。凸面镜情况下，R1R2应取负值R1=-|R1|，R2=-|R2|，得到：,14.2 非稳腔的几何自再现波型,共轭像点P1和P2必须同时满足上述方程，如果上述二元联立方程有合理的实数解，则证明共轭像点的存在性。规定l1为正值时，表明P1点在M1的腔外方向；为负值时，表示P1点在M1的腔内方向。l2的方向性规定与l1相同；上述方程可
30、以化为：其中：,14.2 非稳腔的几何自再现波型,从双凸腔的稳定性条件g1g21可以证明B2-4C0，则l1、l2有实数解：同理可得：其中的l1+和l2+为一组解，l1-和l2-为另一组解；是否意味着存在两对共轭像点呢？l1-和l2-表示的像点在镜前，但由于|l1-|L和|l2-|L，这两个像点都在另一侧腔外；进一步可以证明:,表明P1-和P2+重合，P1+和P2-重合，即仅有一对共轭像点,14.2 非稳腔的几何自再现波型,2、光学开腔中存在共轭像点的条件轴上存在共轭像点是双凸腔的特点，还是非稳腔的共性？其他的腔有没有共轭像点？考虑任何一个共轴球面开腔，设其中存在一对共轭像点P1、P2，从P1
31、发出的球面波在某处曲率半径为R1，往返一周后的曲率半径为R2，由球面波传输规律：几何光学自再现的条件为：存在共轭像点的条件为：这个条件就是共轴球面反射镜腔为非稳腔的条件。,14.2 非稳腔的几何自再现波型,当上式取等号，表明为临界腔，此时两个共轭像点蜕化为一个；任何非稳腔，不论其结构如何，都存在一对共轭像点；这一对共轭像点发出的球面波满足在腔内往返一次成像的自再现条件；按照激光振荡模的概念，将这样一对发自共轭像点的几何自再现波型定义为非稳腔的共振模式。,14.2 非稳腔的几何自再现波型,3、不同非稳腔的共轭像点和自再现波型A、双凸腔前面求得：可以证明：l10，l20，说明一对共轭像点在腔外，是
32、虚焦点；同时可以得到l1|R1|，l2|R2|，表明着一对共轭像点在镜面曲率中心和镜面之间；腔内存在的自再现波型是从P1和P2点发出的发散球面波；在对称双凸腔情况下(R1=R2=R)，则：,14.2 非稳腔的几何自再现波型,B、平凸腔在共轭像点表达式中令R1，可以得到：,14.2 非稳腔的几何自再现波型,C、双凹非稳腔R1+R2L；这时有 ，表示P1、P2都在腔内，是实焦点；在腔内的几何自再现波型是一对会聚发散交替进行的球面波；R1/2+R2/2=L，即负支望远镜腔，此时可以得到：即一个共轭像点P1在无穷远处，另一个在公共焦点上，其几何自再现波型一个为平面波，另一个为球面波。该腔可以获得一个平
33、面波输出；非稳定双凹腔至少有一个像点在腔内。,14.2 非稳腔的几何自再现波型,D、凹凸非稳腔R1L，一个共轭像点在腔内，另一个在腔外；P1对应一个发散和会聚交替进行的球面波；P2对应一个发散的球面波；R1/2+R2/2=L，构成正支望远镜腔，此时有l1,l2=|R2|/2;一个共轭像点P1在无穷远，另一个在公共虚焦点P2；对应的自再现波型为一个平面波和发散球面波；,激光原理与技术原理部分,第14.5讲非稳定腔：几何放大率与能量损耗,14.3 非稳腔的几何放大率与能量损耗,1、非稳腔的几何放大率如果从P2点发出的球面波到达M1时，恰好能够完全覆盖镜面，即其线度为a1，经M1反射到M2，其限度扩
34、展为a1，则：m1描述了腔内单程度越时，镜M1对几何自再现波型薄面尺寸的放大倍率，称为反射镜M1的单程放大率。同样，M2的单程放大率为：用M=m1m2表示非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率。以双凸腔为例，可以得到：,14.3 非稳腔的几何放大率与能量损耗,将l1、l2的表达式带入可得：,14.3 非稳腔的几何放大率与能量损耗,对望远镜腔，可以求出：上式对实、虚共焦腔都成立其中M的表达式与几何光学中望远镜系统的放大率公式一致；非稳腔的几何放大率只与腔长L和R1R2有关，而与反射镜的横向尺寸a1、a2无关。,14.3 非稳腔的几何放大率与能量损耗,2、非稳腔的能量损耗率在非稳腔中，超过镜
35、面的实际尺寸的光会溢出腔外，造成能量损耗，由于假设自再现膜是均匀平面波，因此能量的损耗率等于溢出部分波面与整个波面的比值，这一比值与几何放大率直接相联系。考虑二维情况，被M2反射返回的能量份额为：则逸出的份额为：这里的1表示单次度越时从M2端逸出的能量份额。同理：,14.3 非稳腔的几何放大率与能量损耗,考虑到三维情况时：可以得到任何一个共轭像点发出的球面波往返一次其损耗为：式中M为几何放大率：,14.3 非稳腔的几何放大率与能量损耗,非稳腔内几何自再现波型往返一周的能量损耗份额与腔镜的横向尺寸无关，仅与反射镜的曲率半径R1、R2和L有关；往返损耗不等于单程损耗之和；这与稳定腔和临界腔不同，这
36、些腔中的损耗与腔的结构无关,而且这些损耗无法加以利用；非稳腔中从端面由衍射损耗溢出的能量可以作为激光器的输出来加以利用。,14.3 非稳腔的几何放大率与能量损耗,非稳腔激光输出方式：,激光原理与技术原理部分,第15讲,15.1 光场与物质的相互作用,1 光场与物质相互作用的理论体系经典理论光场：Maxwell方程；原子体系：经典电偶极子；半经典理论光场：Maxwell方程；原子体系：量子理论描述；量子理论光场：量子理论；原子体系：量子理论；速率方程理论简化的量子理论；,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,0、电介质的极化电磁场观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化
37、的微观电磁场；当考虑电介质时，电磁场中主要起作用的是电场分量；电介质由原子组成，原子所包含的电荷可堪称该区域中某点各级多集资的叠加单极子、偶极子、四级子等。原子与电磁场的作用表现为电磁场与多极子系统的作用。,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,激光与原子系统的作用：激光光场与电偶极子相互作用。用感应偶极矩表征极化的大小：其中e为电子电荷绝对值，|l|的大小为正负电荷间的距离，电偶极矩为矢量，方向由负电荷指向正电荷；显然，场强越强，电荷受到场的作用力越大，电偶极矩也越大；宏观上用电极化强度来描述介质的极化程度：表示的是单位体积内电偶极矩的矢量和。,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,A、
38、电场强度较弱时此时电场：介质极化是线性极化其中的PL为电极化强度，与电场强度E成正比；L为线性电极化率；0为真空中的介电常数，在各向同性介质中是标量，各项异性介质中是二阶张量；,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,B、电场为强场物质为非线性极化，此时的极化系数：(1)是线性极化率，为二阶张量(2)是二次非线性极化率，为三阶张量(3)是三次非线性极化率，为四阶张量上式中：其中的(i)仅与物质的特性有关，与场强无关。本课程考虑光频电磁场与物质的相互作用时，只考虑介质的共振线性极化。,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,1、光与物质相互作用的经典理论经典理论中的四个基本假设：a、原子核和核外
39、运动电子所构成的原子简化为一个经典简谐振子；b、原子中的电子与原子核构成一个电偶极子；c、忽略电磁场中磁场分量的影响；d、被极化的介质会对入射光场产生反作用，影响其频率、振幅和相位等，只考虑线性极化效应；,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,2、原子的自发电偶极辐射A、简谐振子模型简谐振子模型就是用经典力学中的简谐振动来描述原子内部电子运动的模型。该模型认为原子中的电子被与位移成正比的弹性恢复力束缚在某一平衡位置(x=0)附近振动，若偏移位置为x，则其会受到一个f=-kx的恢复力。,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,假设没有其它力作用在电子上，则电子运动方程为： k为简谐振子的弹性系
40、数，m为电子质量，这个齐次二阶常系数微分方程为一维线性谐振子方程。其解为简单的无阻尼振荡：其中 为谐振频率,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,B、原子经典简谐振子模型运动电荷能够激发电磁场，另一方面电磁场对电荷有反作用力，要完全求解电荷与电磁场系统的电动力学问题，需要对两者同时考虑。当电子在电磁场中运动时，会辐射电磁场，其一部分能量被电磁场带走，因而电子的运动必然受到阻尼，这种由辐射电磁场造成的能量损失被称为辐射阻尼。当考虑自发辐射辐射阻尼时，电子的运动方程表示为：FS为电子辐射出的电磁场对其自身的反作用力。,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,电动力学中给出的结论，自发辐射的总功率
41、为：其中v为电子运动加速度；电子在单位时间内损失的能量等于辐射对电子的反作用力（即自发辐射阻尼力）在单位时间内作的负功：在t1-t2时间间隔内的辐射损失为：当取t2-t1为一个振荡周期时，上式右边为零，则可以得到：,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,当存在辐射阻尼时，电子的运动方程改写为：由于阻尼力远小于恢复力，因此仍然可以用简谐振动解来描述该运动：其中为经典辐射阻尼系数：可以求出方程的解为：,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,此时电偶极矩为：谐振子的电磁辐射对应于自发辐射；可以证明谐振子的自发辐射衰减时间为：则自发辐射的电场强度可以表示为：,15.2 光场与物质相互作用的精典理论
42、,3、受激吸收和色散现象的经典理论物质与电磁场相互作用时，电磁场引起原子极化，表现出感应极化强度；原子极化引起介质的介电常数的变化；介电常数变化引起介质折射率的变化；折射率的变化会引起波矢k的变化；这种由原子极化造成的折射率和波矢变化会表现为介质对电磁波的吸收和色散；,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,原子在电磁场中的感应偶极矩沿z轴传播的平面电磁波：其中 为介质相对介电常数； 为介质相对磁导率，一般的非磁性介质中=1；如果介质原子只包含单个电子可，则电场作用在电子上的力为：-eE(z,t)，则简谐运动方程变成：,由于存在电场而多出的感应项,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,取自由
43、振荡时的特解：电偶极子的简谐运动方程的解应该包含两部分，一个是无光场时的自由阻尼振荡项；另一个是方程的特解，代表了在光场作用下振子发生的偏离自由振荡的位移；将特解带入方程，可以求出x0:则一个原子的感应极矩：,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,当忽略原子间相互作用的前提下，可以认为所有的原子在外加电磁场作用下产生同样的极化，此时介质的感应电极化强度：其中的n是介质的原子密度，即单位体积的介质中含有的原子数。,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,电极化系数由于 ，其中为线性电极化系数，可以求出：令 得到：,表示=0(发生共振)时线性极化系数的大小，即”的极值,15.2 光场与物质相互作
44、用的精典理论,4、物质的相对介电系数、折射率与吸收（增益）系数由得到则平面波电场表达式改写为：,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,比较上式和平面波的表达式：比较可以得到即为折射率；从光强的表达式：以及吸收介质中光强的传输方程：可以得到：,15.2 光场与物质相互作用的精典理论,当0（即发生共振）时，G有最大值，有最小值。由于自发辐射的存在，物质的吸收谱线(G)具有洛仑兹线型，而H为其谱线宽度；同时，在0处呈现强烈的色散；,激光原理与技术原理部分,第16讲谱线加宽、均匀加宽,16.1 光场与物质相互作用的精典理论,前面通过光场与物质相互作用的经典理论求出自发辐射电磁场对物质原子的电偶极矩为
45、：谐振子的电磁辐射对应于自发辐射；可以证明谐振子的自发辐射衰减时间为：则自发辐射的电场强度可以表示为：,16.2 谱线加宽与线型函数,16.2 谱线加宽与线型函数,光谱线的频率分布前面讨论原子自发辐射时，认为原子的能级是无限窄的，此时的自发辐射光是单色光，即全部的光强都集中在频率=(E2-E1)/h上；实际上原子的自发辐射并不是单色光，而是分布在中心频率附近的一个很小频率范围内-这就是谱线加宽。,16.2 谱线加宽与线型函数,原子自发辐射的总功率为：引入谱线的线型函数g(,0)：其量纲为sec，其中的0是线型函数的中心频率；根据线型函数的定义：得出结论：线型函数是归一化的；当=0时线型函数有最
46、大值g(0,0)，如果在处其值下降到最大值的一半，则把此时的 称为谱线宽度。,16.3 均匀加宽,1、自然加宽现象：自发辐射谱线具有一定的宽度H。成因：由于每个原子所固有的自发辐射跃迁引起原子在能级上的有限寿命而造成的。量子解释：由测不准原理不可能同时测准微观粒子的时间和能量： ；由此可知，当原子能级寿命时，能级的宽度0，原子的有限寿命会引起能级的展宽，从而使得发出的光子的频率不再是单一频率，而是有一定的频率间隔。,16.3 均匀加宽,由阻尼谐振子模型可以得到其辐射场表达式：其辐射光功率：为了得到频率域分布，对E作傅立叶变换，并取t从0到的范围，才会有光辐射产生，则：,16.3 均匀加宽,则功
47、率随频率的变化：根据线型函数的定义：,16.3 均匀加宽,洛仑兹线型由洛仑兹在研究电子谐振时最先得到的受迫振动的运动微分方程的解，其形式如下：如果将其视为概率密度函数，则它在统计学中被称为柯西分布。,Hendrik Antoon Lorentz,Augustin Louis Cauchy,16.3 均匀加宽,前面曾经证明对二能级系统，自发辐射引起的上能级粒子数变化满足公式：其中=1/A21为高能级粒子平均寿命。则跃迁辐射功率为：由阻尼谐振子公式得到的自发辐射功率为：比较两式得到=1/。,16.3 均匀加宽,自发辐射线宽等于自然加宽线宽，即线型函数半宽度；当=0时，线型函数有最大值当=时， 此时
48、可以解出：,16.3 均匀加宽,自然加宽线型函数的线宽：这个线宽唯一地由原子高能级的平均寿命决定，则用自然加宽的线宽表示的线型函数为：,16.3 均匀加宽,2、碰撞加宽加宽机制：大量原子、分子之间的无规则碰撞；气体：气体分子或原子作无规则热运动，当两原子或分子相遇而处于足够接近的位置，其间的相互作用会使其改变原来的运动状态。晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子晶格热驰豫无辐射跃迁或者晶格热运动，使运动状态发生改变。,16.3 均匀加宽,碰撞指的是激发态的原子之间、激发态与基态原子之间相互作用而改变原来的运动状态；激发态原子与基态原子碰撞时，激发态原子跃迁到基态，而基态原子会跃迁到激发态，这
49、种过程称为横向驰豫，会导致高能级粒子寿命缩短；激发态原子与其它原子之间碰撞时，会使激发态自发辐射波列的相位发生突变，从而使波列时间缩短，等效于原子寿命缩短；,16.3 均匀加宽,由于碰撞的随机性，原子激发态上的有限寿命只能用统计的方法来研究，它等价于发生碰撞的平均时间间隔；由于任何原子都是以相同的机率发生碰撞，因此由碰撞引发的高能级原子寿命减少与自然加宽中的机制是相同的，可以将碰撞加宽与自然加宽相类比；,16.3 均匀加宽,碰撞加宽的线型函数为：其中的L为碰撞加宽线型函数的线宽，等于单位时间内碰撞次数的倒数，因此与压强、温度、原子碰撞截面有关。如果存在a、b两种气体，则：其中Nb为单位体积内b
50、类原子数；ab为a、b原子的碰撞截面；ma与mb为两种原子的质量；,16.3 均匀加宽,当只有一种原子时，其碰撞寿命为：气体激光器一般由工作气体a、辅助气体b、c等等组成，则其碰撞寿命为：线宽的计算，通常采用经验公式：其中P为气体压强；为实验测得的系数；,16.3 均匀加宽,3、均匀加宽均匀加宽具有以下的特点：引起加宽的因素对每个原子都相同；每个原子发光时，发出整个线型，即对整个分布都有贡献，每个原子在形成谱线时的作用与地位都是相同的；均匀加宽的线型函数：,16.3 均匀加宽,对于一般气体：对于低压气体：在固体中，原子-晶格热驰豫过程产生的无辐射跃迁会导致高能级原子寿命缩短，若激发态自发辐射寿
