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1、,例 题,习 题 课,教学要求,第十章 曲面积分,场论初步,Gauss) 、,2.了解散度、旋度的概念及其计算,1. 了解两类曲面积分的概念及高斯,并会,计算两类曲面积分.,斯托克斯(Stokes)公式,方法.,3. 会用曲面积分求一些几何量与物理量.,一、教学要求,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,梯度,通量,旋度,环流量,散度,（三）场论初步,则,如果曲面方程为以下三种：,则,对面积的曲面积分的计算法,则,计算的关键是看所给曲面方程的形式！
2、,曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。,对坐标的曲面积分的计算法,解法有三种,1. 利用高斯公式,具有,则,外侧.,一阶连续偏导数,具有一阶连续偏导数,则,1. 利用高斯公式,2. 通过投影化为二重积分,注意,的确定!,3. 向量的点积法,规定,解,由点O到平面的距离公式,得,例,得,解：由于 关于变量 x, y 轮换对称性,例,例,解,利用向量的点积法,1,-1,例,解,法一：利用向量点积法,用高斯公式.,补面： 取下面，,取上面。,则 构成封闭曲面，且取外侧。,计算,由高斯公式,法2：,注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。,23,解,例
3、,外侧.,其中 ,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,记半球域为 ,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,为半球面,例,例 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分,且取下侧 ,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得,例,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,例 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,(曲面关于xoz面对称）,29,例 计算曲线积分,其中 为曲线,若从x轴正向看过去, 为取逆时针方向.,解,设为 所围的圆盘,所在的曲面方程为,取上侧,其单位法向量为,按斯托克斯公式,30,设为 所围的圆盘,选择题：,
