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1、第九章 振动学基础,内容,谐振动的特征和谐振动方程,谐振动的振幅 周期 频率 相位,谐振动的旋转矢量表示法,谐振动的能量,谐振动的合成,阻尼振动 受迫振动 共振,学时,作业 :习 题 99，911 ，917 。,讲课学时 3学时,要求,1. 理解谐振动的相位概念、谐振动的能 量以及谐振动的合成；,3. 了解阻尼振动、受迫振动、共振。,2. 掌握谐振动的旋转矢量法;,一 简谐振动,振动 ： 物体在某一位置附近的往返运动 称为 振动。,什么样的振动是 简谐振动,( simple harmonic vibration ),9 -1 谐振动的特征和谐振动方程,？,物体受力,F = k x,物体受到的力
2、与位移的一次方成正比且反向，具有这种特征的振动称为简谐振动，简称谐振动,二 谐振动的运动方程,令,F = k x,F = ma,2 =,动力学方程,9 -1 谐振动的特征和谐振动方程,方程的解为,欧拉公式 cos + i sin= ei,在经典物理学中用实数表示物理量,运动方程,9 -1 谐振动的特征和谐振动方程,速度,加速度,9 -1 谐振动的特征和谐振动方程,讨论：,1. 位移和加速度 反 向，当 x = 0 时， a = 0 ； x 最大， a 最大,2. 速度 落后 位移 2 ，当 x = 0 时，v 最大 ；x 为最大时，v = 0,3. v 为零时，a 最大；v 最大时，a 为零,
3、位移、速度、加速度的时间曲线,中各量的物理意义：,振幅 ( amplitude ) A,意义：因cos 1 ，故x A ， 振幅 A 就是振动物体离开平衡位置最大位移的数值,周期 ( period ) T,振幅 A 的大小反映了振动的强弱,振动物体完成一个完全振动 ( 来回一次 ) 所需的时间，称为振动的周期。,9 - 2 谐振动的振幅 周期 频率 相位,T = 2,T = 2,频率 ( frequency ) f,在单位时间内物体作全振动的次数，称为振动物体的频率。,周期,单位： 次秒 ，用赫芝 ( Hz ) 表示,f = 1T = 2, = 2 f,( circular frequency
4、 ),弹簧振子 2 = km,圆频率角频率,( angular frequency ),固有周期,固有频率,( natural period ),( natural frequency ),相位 ( phase ),称为相位 ( 振动物体在时刻 t 的相位 ),决定物体在开始计时时刻的运动状态,决定某一时刻振动物体的运动状态,相位是决定某一时刻振动物体运动状态的物理量,初相位,初始条件(initial condition) :,t = 0，,x = x0，,v = v0,x0 = A cos,v0 = Asin,( initial phase ),振幅和初相位确实 由初始条件确定,例 1 一劲
5、度系数为 k 的弹簧，下端固定在地面上，上端压一个质量为 m 的重物，重物使弹簧缩短 b = 9.8 cm 。如果给物体一向下的瞬时冲击力，使它以 1 m s -1 的向下速度启动，并上下振动起来。试分析物体的运动规律，并求振动的频率和振幅。,解： 以弹簧原长为坐标原点，向下为 y 轴正方向,m g = k b,令 y= y b,y = y + b,= k ( y b),可见，物体作谐振动,振动系统除受弹性力之外，还受有象重力 这样的恒力作用时，并不改变系统的振动 情况，只会改变振动的平衡位置。,= 0.1 m,振幅矢量表示法,振幅矢量的端点在 x 轴上的投影点 P来回运动,经过 t 后，A
6、与x 轴的夹角变为,振幅矢量 A 在 x 轴上的投影,O,P,x,x,A,9 - 3 谐振动的旋转矢量表示法,A 转动的角速度为，转一圈所扫过的角度为 2，所用时间为 2,夹角,反映出振动物体瞬时运动,的状态，它就是相位,初相位,例 2 物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为12 cm，周期为 2 s，在 x = 6 cm处，且向 x 轴负方向 运动，求物体的运动方程和从这一位置回到平衡位置所需的最短时间。,解：,A = 1210-2 m, = 2T = 22 =s-1,t = 0 时 ， x0 = 6 cm ， v0 0 ，,或,运动方程形式,v0 0 ，,运动方程为,回到平衡位置所需最短时间，令
7、 x = 0 就可求得,用振幅矢量求更方便 !,回到平衡位置所需最短时间为 56 秒,故,应取,x,O,系统振动时，振动能量包括动能和势能,动能,势能,振动能量,9 - 4 谐振动的能量,在运动过程中机械能是守恒的， 动能和势能互相转化,x = 0 ，vmax ， Ekmax ， Ep = 0 ；,x= A ，v = 0 ， Ek = 0 ， Epmax ；,其它位置两者都有,平均动能,平均势能,平均动能与平均势能相等，均为总能量的一半,一 同方向同频率简谐振动的合成,x1 = A1cos (t +,x2 = A2cos (t +,用振幅矢量法来求合成,设,x = x1 + x2,9 - 5
8、谐振动的合成,x,O,A1,A2,A,x2,x1,x2,x,A1 和 A2 间的夹角,x = x1 + x2,讨论：,1. 相位差,2. 相位差,=A1 A2,合振动振幅取值为,A,( A1+ A2 ) ,A1 A2,二 同方向不同频率简谐振动的合成 拍,x = x1 + x2,假定分振动的振幅和初相位都相等 ，分别为 A,上式为,和,9 - 5 谐振动的合成,合振动不再是简谐振动。振幅为,是周期性变化的,讨论：,1 和 2 都较大 ，但相差甚微 2 1 2 + 1 ，,随时间的变化比,随时间的变化来要,慢得多 。 可把合振动看作是振幅为,圆频率为,的谐振。振幅缓慢周期性变化，发生振幅时大时小
9、，即振幅时强时弱的现象，把这种现象叫作 “ 拍 ” 。,拍振幅的周期,拍频,拍频为两分振动频率之差,拍的图示,三 垂直方向同频率简谐振动的合成,振动位移方程,合振动的轨迹方程,1.,椭圆方程,9 - 5 谐振动的合成,t 时刻，质点离开平衡位置的位移,x,y,O,s,x,y,振幅,结论 : 合振动仍是简谐振动，频率与分振动 的频率相同,2.,合振动仍是同频 率的简谐振动,3.,x,y,O,质点运动的轨迹是一个正椭圆, 振动点是 顺时针方向运动的,4.,轨迹不变，其运动方向为逆时针方向,若 A1 = A2,两个频率相同的互相垂直的简谐振动合 成后合振动在一直线、椭圆或圆上进行,x2 + y2 =
10、 A12,李萨茹图形（ Lissajous，figures ）,频率的比与切点数的比成反比,傅里叶分解(Fourier analysis),任何一个周期 性的振动, 都 可以分解成频 率等于基频整 数倍的一些列 谐振动的和， 这就是傅里叶 分解,矩形周期振动的傅里叶分解,一 阻尼振动,振幅随时间而减小的振动称为 阻尼振动。阻尼振动也就是能量不断减少的振动。,阻力 F 与速度 v 成正比，方向与速度的方向相反,F = Cv,运动方程为,( damped vibration ),9 - 6 阻尼振动 受迫振动 共振,令,由系统本身性质决定,与系统本身的性质以及介质的性质都有关系,固有频率,阻尼因数
11、,x = Ae -tcos (t +,周期,当阻尼系数较小，即2 02 时,受迫振动： 在外来周期性力的持续作用下, 振动系统所发生的振动称为受迫 振动。周期性的力称为强迫力。,强迫力,令,二 受迫振动 ( forced vibration ),共振 ( resonance ),F cospt,9 - 6 阻尼振动 受迫振动 共振,根据微分方程理论，解为,振动系统在强迫力作用下，经过一段时间后 即达到稳定的振动状态。,阻尼振动,简谐振动,当强迫力的圆频率 p 接近振动系统的固有,圆频率0 时，振幅要急剧增大。,当p=,时，振幅达到极大值,这种在外来周期力作用下达到极大的现象称为共振。共振时的圆频率称为共振圆频率。阻尼因数越小，共振时的圆频率越接近于固有圆频率 ，振幅也越大 。,在 0 ，共振时的振幅应趋近于无限大，而共振时的 圆频率 则趋近于 固有圆频率 0 。,共振时的振幅,共振,共振的应用,共振的危害,1940年7月1日著名的美国塔科马 (Tocama)海峡斜拉大桥因阵阵大风引起桥的共振而坍塌。,电磁共振，乐器(利用共振提高音响效果)，核磁共振（用来进行物质结构分析以及医疗诊断等）,振 动,简谐振动,运动方程,振幅矢量表示法,振动的合成,同方向同频率,用振幅矢量求合成 ！,能量,
