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1、等差数列的证明和最值,等差数列证明等差数列最值规律总结结束,1,考查等差数列的定义，多以证明题的形式出现，要证明一个数列是等差数列的基本方法是证明an1and(nN*，d为常数)或2an1anan2成立对于实际问题，要结合题目的具体特点，灵活选取解答方法,2,3,4,5,得2(n1)an(n1)an1(n1)an1，n2，n10.2anan1an1.数列an为等差数列点评：(1)是利用等差数列的定义进行证明；(2)是通过等差中项进行证明体会两种方法各自的特点,6,由下列各表达式给出的数列anSna1a2ann2；Sna1a2ann21；a2n+1anan2；2an1anan2(nN*)其中表示
2、等差数列的是()A B C D答案：A,7,规律总结：1.判断或证明数列an为等差数列，常见的方法有以下几种：(1)利用定义：an1and(nN*)或anan1d(nN*，n2)，其中d为常数；(2)利用等差中项：2an1anan2；(3)利用通项公式：若数列an的通项公式为andnc(d、c为常数)，则数列an为等差数列(当d0时，数列的通项公式是关于n的一次函数，该数列an为等差数列；当d0时，数列an为常数列，也是等差数列)；,8,(4)利用前n项和公式：若数列an的前n项和公式为Snan2bn(a、b为常数)，则数列an为等差数列但要注意，证明数列为等差数列必须用定义或等差中项去证明；
3、在选择题和填空题中，可用其他方法判断2若要证数列an不是等差数列，可证明2a2a1a3.,9,此题型常见有两类，一类是求数列中某项的最值问题；一类是求数列前n项和Sn的最值问题需要结合不等式、函数等知识综合解答【例4】在等差数列an中，a125，S9S17，问此数列前几项的和最大？分析一：本题以数列为核心知识，在考查等差数列基本知识的同时，考查了数列求最值的方法由已知列方程，得出d，从而将Sn转化为关于n的二次函数求最值,10,11,12,解法三：由a125，S9S17，知此数列必递减，且a10a11a12a170，又由等差数列性质有a10a17a11a16a12a15a13a14，4(a13
4、a14)0，数列递减，a13a14，a130a14，故此数列前13项和S13最大分析四：先求出d，然后利用an0，an10解n.解法四：同解法一求得d2，由an0且 an10得13n14，n13.故此数列前13项和S13最大,13,总结评述：(1)数列是特殊的函数，上述解法中解法一、解法二两种思路均是转化为函数中求最值的方法，即利用单调性、配凑法转化为二次函数以及数形结合等；(2)对于等差数列当a10且为递减数列时，前n项和Sn有最大值；当a10且为递增数列时，前n项和Sn有最小值,14,(2010江西南昌调研)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示数列an的前n
5、项和，则使得Sn取得最大值的n是()A21 B20 C19 D18解析：设数列an的公差是d，则a2a4a6(a1a3a5)3d991056，即d2.又3a3105，所以a335.所以ana3(n3)d412n.,15,令an0得n20.5，即数列an的前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此使得Sn达到最大值的n为20，故选B.答案：B,16,若把题目条件改为“在等差数列an中，前n项和为Sn，且a312，S120，S130”(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，S3，S12中哪个值最大，并说明理由 跳过解答,17,18,19,方法三：S120，a1a2a120，即a12a
6、11a10.以上两式相加得(a1a12)(a2a11)(a12a1)0，由等差数列性质知，12(a1a12)0，即a6a70.同理，由S130，a70，S130，,20,A0，如图所示，设抛物线与x轴交于x0，则x0(12,13)，其对称轴为x(6,6.5)因此，当n(6,6.5)时取最大值，又nN*，n6时，Sn最大,21,22,1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq.必须是两项相加，当然可以是aptapt2ap.2等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d0.3等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列,23,24,
