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1、第七章 静态、动态测试数据处理,本章的主要内容有静态测试数据处理方法、回归分析、曲线拟合，动态试验数据的时域分析和频域分析。,第一节 静态测试数据处理,一、试验数据处理方法 1.表格法用表格来表示函数的方法。 特点：简单方便，但不能给出所有的函数关系，不易看出函数的变化规律。 2.图示法根据试验结果作出的尽可能反映真实情况的曲线。 特点：直观看出函数变化规律，但图示仅有函数变化关系而不能进行数学分析。 3.经验公式法用回归分析的方法确定经验公式的函数类型及其参数的方法。 特点：可对公式进行数学分析。,二、回归分析与曲线拟合 为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之间的规律，在静态测量数据处理
2、中，寻求用简便的经验公式表达各变量之间的关系是很重要的。根据最小二乘法原理确定经验公式的数理统计方法称为回归分析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。,1.一元线性回归分析,如果对两个变量x 和y 分别进行了n次测定，得到n对测定值（ ， ），(i1，2，n)，将其描在直角坐标图上，就得到n个坐标点。若各点都分布在一条直线附近，则可用一条直线来代表变量x与之间的关系。 式中： 回归直线上的理论计算值； a,b 线性回归系数。,用实例介绍一元线性回归分析的方法和步骤,例：某车辆在水平道路上行驶，测得车辆行驶的距离和时间的数值如表7-1所示。求距离与时间的函数关系。 表7-1 解：1）回归方程
3、的确定 将表7-1中的数据画在坐标纸上, 如图7-1所示。 图7-1 某车行驶时时间距离关系,从图7-1看出，这些点近似于一条直线，于是可以利用一条直线来代表变量之间的关系 式中： 公式中算出的值； x 距离L的值； a,b 线性回归系数。 2）确定函数中的各参数 用这条直线算出的 值，代表测定数据的平均值，实测值与平均值之差代表残差，残差值越小说明回归直线越接近理想直线。因此确定回归直线的原则是找出一条直线使其与实测数据之间的误差比任何其他直线与实测数据之间的误差都小，即残差的平方和最小，这就是最小二乘法的基本思想。记,回归方程的确定就是确定系数a、b，据数学分析知，使Q取最小的a、b必须满
4、足如下方程组： 即,解得： 或 式中：,3）对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验,尽管最小二乘法反映的是误差最小原则，但所求得的经验公式的精度并非一定可以满足要求。因为，由前面的分析过程不难看出，前面计算中的误差最小只是测试结果与我们所选定曲线类型之间的误差最小，或许实测结果的规律原本就与选定曲线的类型不符。我们需对曲线拟合的精度进行检验。关于“精度”检验，人们提出过多种方法，在此仅介绍一种在工程上最常用的方法，即相对误差法。 所谓“精度”，事实上就是相对误差的大小。若能将经验公式的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围内，显然是符合工程上的要求的，即： 式中： 允许的相对误差。,2.
5、 一元非线性回归 一元线性回归是工程实际中最简单的一种形式，但更多的是一些非线性的问题。下面介绍如何利用线性回归方法解决非线性问题。 1）确定经验公式类型 将测试结果描在坐标图上，并用光滑曲线将其连起来。江实验曲线与数学手册上的典型曲线进行比较，选取与试验曲线最接近的曲线方程作为经验公式的类型。 2）将曲线进行直线化变换 如：双曲线方程 令 则： 变为：,对数曲线 令： 则： 指数曲线 对上式两边取对数得： 令： ， 则： 3）按照前面所介绍的直线（一元线性）拟合的方法进行计算。 4）检验其曲线拟合的精度，若达不到所需精度的要求，则应重新选择曲线类型进行拟合，直至满足精度要求为止。 5）再将直
6、线方程变换为原曲线方程。,a) 双曲线 b) 指数曲线 c) 幂函数曲线 d) 对数曲线 e) 指数曲线 f) S型曲线 图7-2 几种常见的典型函数曲线,3.将试验结果拟合成多项式,前面所讲的典型曲线往往是有限的，当试验结果与任何一条典型曲线都不相符时，就要寻找新的曲线，显然那就是多项式。 1）多项式次数的确定 多项式次数的确定一般采用差分法。设自变量的取值是等间距的，即： 计算出因变量 的相邻值之间的差值，即一阶差值 ， ， ， 二阶差值 为 ， ， 三阶差值 为 ， ，,n阶差值 为 ， ，,当某阶差值满足下列关系式时， 式中： y y 的测量误差。 2）确定多项式的系数 同样用最小二乘
7、法，即： 令 ， ， ， ，即可求出 a0，a1 ，am的数值,3）经验公式精度的检验 多项式的曲线拟合，其拟合精度的检验方法与一元线性回归相同。,第二节 动态测试数据处理,一、动态测试数据处理概述,1）动态测试与静态测试,静态测试：被测量静止不变 测量误差基本相互独立,动态测试：被测量随时间或空间而变化 测量系统处于动态情况下 测量误差具有相关性,2）动态测量误差特点,时空性；随机性；相关性；动态性,1.动态测试,2.动态测试数据的分类,确定性数据,动态测试数据,随机过程数据,周期数据,非周期数据,非平稳过程,平稳过程,正弦周期,复杂周期,准周期,各态历经,瞬态数据,非各态历经,确定性数据：
8、能够用明确的数学关系式表达,）周期数据, 正弦周期数据, 复杂周期数据,）非周期数据, 准周期数据,0,（不全为有理数）, 瞬态数据,0,二、时域内研究随机变量之间的关系,1.两随机变量的相关系数,两变量x, y之间的相关程度：相关系数,分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系,表示一变量随另一变量的增加而增或减。,2.信号的自相关函数,对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数,自相关函数性质：,1）,2） 自相关函数在,时为最大值：,3）当,4）自相关函数为偶函数,5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数,其幅值 与原周期信号的幅值有关,而丢失了原信号的相位信息.,例7-1 求正
9、弦函数,的自相关函数.,为一随机变量.,解: 在一个周期内来研究,可见: 正弦函数的自相关函数是一个余弦函数,在,时具有最大值,但它不随,的增加而而衰减至零. 它保留,了原正弦信号的幅值和频率信息,而丢失了初始相位信息.,自相关函数的应用: 1) 信号类型的判别,2) 实际分析中的应用,3.信号的互相关函数,两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的互相关函数：,的性质：,1）,2） 同频相关，不同频不相关,3） 互相关函数不是偶函数；,x(t)和y(t)之间的滞后时间,当时移,足够大或,时, x(t) 和y(t) 互不相关,为非偶函数的证明：,解：因为是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值 代替其整个历程的平均值， 故：,可见:两个均值为零且具有相同频率的周期信号, 其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率, 对应的幅值以及相位差值的信息.,解：因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，,可见，两个非同频的周期信号是不相关的,根据正余弦函数的正交性，可知,三、试验数据的频域分析与处理1.自功率谱密度函数,定义及其物理意义：,前提：x(t) 是零均值的随机过程，即,又假定x(t) 中没有周期分量，则当,应用,2.互功率谱密度函数,应用,1）获得系统的频率响应函数:,2）排除噪声的影响,输出:,
