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1、轴承内部的弹性接触理论,1 物体的相互接触2 假设3 接触面的尺寸和接触应力4 弹性趋近量,1,物体的相互接触,滚动轴承依靠滚道和滚动体的相互接触来支承载荷，所以了解接触应力分布和接触变形是轴承受力和运动解析的基础。左图给出球与平面这一最简单接触形态。如果载荷为零,形成点接触，接触区为几何的点。如果接触载荷不为零,由于几何点没有面积其应力和应变将成为无穷大。但能承受无穷大应力的材料是不存在，因此,接触区由点变成面,接触区将产生一定的变形。但仍称为点接触。,(a) (b)钢球与平面的接触,2,基于钢球与滚道的形状，承载时将形成下图所示的椭圆形接触面。 钢球与滚道之接触 一般情况下，滚动轴承的接触
2、在弹性极限内进行，其接触理论也将在弹性极限内展开。1985年赫兹（H.Hertz)确立的弹性接触理论一直沿用至今。,3,假设 Hertz 接触理论作了如下假设。(1)材料是均质; (2)接触区的尺寸远远小于物体的尺寸; (3)作用力与接触面垂直（即接触区内不存在磨擦）;(4)变形在弹性极限范围内。 对于滚动轴承内部的接触问题,这些假设基本上是成立的,假设,4,下图给出如何使用赫接触理论计算接触面的尺寸和应力。帕姆格林(A. Palmgren)曾对球轴承的赫兹接触问题进行了简化,也作简单介绍。赫兹计算 赫兹计算不仅繁琐,而且难于理解.这里仅介绍其结果。球与滚道接触区是椭圆，如下图所示。长半轴为a
3、，短半轴为b可通过以下计算求得。 椭圆的长半轴 和短半轴,接触面的尺寸和接触应力,5,如下图,假设物体1和物体2相互接触,图中的四个主平面1，1与2，2分别为物体1、物体2的主曲率之平面。,几何关系,(a)一般接触 (b) =0之接触 接触物体的主曲率平面,6,各平面与物体相交所形成的曲线可用二次函数表达。对其接触问题进行计算时，需要计算辅助变量cos： (1)式中 （2） 是接触物体的主曲率，分别是半径 的倒数，凸面取正号，凹面取负号 。 下标1、2分别表示两接触物体，、分别表示主曲率所在的平面，式(1)中表示物体1的主平面与物体2的主平面的夹角,7,一般滚动轴承的接触如前图(b)，故式(1
4、)可减化为 （3） 钢球与滚道接触时，以内圈为例（见下图),各自的主曲率（1/mm)可以表示如下。 钢球： （1/mm） 内圈： （1/mm) cos由接触区的形状和尺寸而定，其值确定后，根据赫兹接触理论，接触椭圆的长半轴a（mm)和短半轴b（mm)可通过下式求得：,钢球与滚道之接触,8,（4） 式中， 为载荷（N)。另外， （5） 式中，E1、E2分别是材料的弹性模量（MPa），1/m1、1/m2为泊松比。 、 是两物体的接触区尺寸系数，由cos决定，通过图表查出。 由椭圆方程可得： （6）,接触面积,9,载荷除以接触面积可得到平均接触应力（Mpa),即 （7） 最大接触应力： （8） 接触
5、区内应力分布如下图中实线所示的半椭球体。任意位置（x,y)的应力z由下式求得 （9）,图 赫兹接触应力分布,接触应力,10,两个物体从形成点接触到承载后形成接触面，其趋近量由下式给出 （10） k: 第一类完全椭圆积分，其积分值由决定。 :接触载荷（N） 将式(10)改写为 ，并将式(4)中的a代入式(10)，经整理后得,弹性趋近量,11,(11) 的值，常常以cos为变量，示于图表,12,在计算弹性趋近量的式（11）中，每次计算都需要代入1/E0，显得繁琐。为此，Palmgren 以钢对钢为接触对象，对计算式作了简化。 首先，式（11）可改写为 （12） 材料为钢时,计算简化,13,于是，式
6、(12)可表达为： 因此 （13）,14,这个关系式还可以整理为 （14） 式中钢对钢接触时， 只要知道了就不难计算出 了。作为F( )(cos)的函数，列于表中。 钢对钢接触时，上述关系可进一步简化为 （15）,15,赫兹接触椭圆爬越挡肩的条件,接触椭圆是否爬越档边的条件由轴承的接触角、赫兹接触椭圆的尺寸以及沟道的深度决定,例：最大轴向载荷,16,轴向载荷外圈的计算,以单个钢球为对象讨论,为了使接触椭圆不越过滚道边缘，爬上档边，必须满足：,由图几何关系可得到：,与球径相比，接触面的弹性变形量非常小。如果将接触面的沟道曲率半径看成与钢球曲率半径相同，同时，为使问题简化， 则关于 ，可得,即,（
7、1）,（2）,（3）,17,接触椭圆长半轴 a根据式(12)可得（设 ）：,（4）,将式（1）（4）相结合，接触椭圆不爬越档边的载荷为：,（5）,18,以整个轴承为对象讨论,当轴承承受纯轴向载荷Fa时，轴承内一颗钢球所承受的载荷为钢球所受平均载荷Fa/Z(Z为钢球数）沿承载接触角 方向上的分力，,（6）,（7）,19,由式（5）（6）（7）得出：,将经过迭代计算的 带入下式便可求得极限轴向载荷FaL：,（8）,20,通过赫兹接触理论，可以得到接触面的尺寸和应力，但每次计算都需要代入材料的弹性模量和泊松比，滚动轴承材料一般为钢，Palmgren给出了其简化计算公式。 式(4)给出了接触椭圆的尺寸
8、，以其长半轴a的表达式为例 (10),赫兹接触计算简化（Palmgren ）,21,上式中 的值仅由材料的特性决定，假设两接触物体均为钢，则E=207GPa,1/m=0.3,以mm为长度单位，并使用等式1Pa=106 N/mm2,将这些数据代入（10）可得： （mm2/N） 因此可得到： 式（10）可改写为：,22,（20） （21）,23,上式中，使用钢的 E和1/m，则 =1。因此， (N)和式(2) 确定后，通过式(21)可以求得接触椭圆的长半轴a。另外， 值根据求得，其计算结果可查表。 如将上述关系式作进一步的简化，钢与钢接触时，可得到 同理，接触椭圆短半轴的计算式可表达为： （22）,24,值列于表，考虑钢与钢的接触，式(22) 可以进一步简化为： （23） F( )（cos)越接近1,椭圆的偏心率越趋近0，当F( )=1时，a=无穷大时即为线接触。赫兹接触理论不适用这种情况，需要借助其它理论。 根据以上推导，最大赫兹接触应力Pmax(MPa): (24) 平均接触应力Pm(MPa): (25),25,曲率和及曲率差的计算-球轴承,26,曲率和及曲率差的计算-调心滚子轴承,27,曲率和及曲率差的计算-圆柱滚子轴承,28,曲率和及曲率差的计算-圆锥滚子轴承,29,
