高数总复习课件.pptx

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1、,定义域对应法则,2. 函数的特性,有界性, 单调性,奇偶性, 周期性.,3. 基本初等函数的性质,1. 函数的定义及函数的二要素,4. 初等函数的结构,一.函数,1. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,（1） 函数极限的六种定义,（2） 函数极限的性质:,局部保号性,与左右极限等价定理,唯一性定理,局部有界性,2. 函数极限,二.极限,3. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,有限个无穷小的和还是无穷小 .,有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,常数与无穷小的乘积是无穷小 .,有限个无穷小的乘积是无穷小

2、.,(1) 数列极限存在的夹逼准则,函数极限存在的夹逼准则,(2) 单调有界数列必有极限,两个重要极限,或,4.极限存在准则,5. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,常用等价无穷小:,注,上述11个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握,6. 求极限方法,1、代数方法（去零因子、通分、根有理化、恒等,变形、分子分母同除x的最高次等）。,2、两个重要极限公式的灵活运用 = 1,3、洛必达法则（7种未定式的求法） 、,（通用代数变形） 、 、 、 、,4、等价

3、无穷小替换的灵活运用（通过代数变形）。,5、幂指函数型 ， ， 求极限对数法！,6、无穷小乘有界函数=无穷小。,7、利用函数连续性求极限。,8、变限函数在求极限中 （变限函数求导）,结论：,2.已知分式函数,若,则,若,求,去公因子再求,1.已知多项式,则,为非负常数 ),注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。,型,洛必达法则,（1） 若,则有,（2）,幂指函数型 ， ， 求极限对数法！,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点:,跳跃间断点: 左右极限不相等,第二类间断点,无穷间断点:,振荡间断点: 函数值在 的去心邻域,(左右极限至少有

4、一个不存在),在点,间断的类型,(左右极限都存在),内变动无限多次,左右极限相等,但不等于,函数值或无定义,3.连续与可导,注：函数符号f 和极限号 可以交换次序。,3.初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,连续,可积,可导,可微,结论：,1. 导数的实质:,2.,增量比的极限;,4. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,3. 导数的几何意义:,切线的斜率;,切线方程:,法线方程:,微分：,记,可导,可微,5.初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数

5、(P95),2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,5. 求导数(微分),1. 熟悉导数定义的极限表达式运算,2. 复合函数可导(注意:抽象复合函数可导),3. 隐函数求,4. 参数方程求,5. 变限积分在上面n种情况下求导,6. 分段函数求导(注意:分段点处的求法),1、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导( 注意 y =

6、 y(x) ),(含导数 的方程),（隐函数的显化）,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导,对数求导法,2.若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,导数应用,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,关键:

7、 利用逆向思维设辅助函数,费马引理,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,一、 微分中值定理及其应用,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,闭区间上连续函数的性质,二、 导数应用,1. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 ,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用 :,求不定式极限 ;,几何应用 ;,证明不等式 ;,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界

8、点,(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,如果f(x)在x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x)的极值点.,3.极值,(极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,欲求连续函数f(x)的极值点，需,(1) 求出f(x)的定义域.,(4) 如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.,(2) 求出 .在f(x)的定义域内求出f(x)的全部驻点及导数不存在的点.,(3) 判定在上述点两侧 的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点.,4.最值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方

9、法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,（驻点或导数不存在的点）,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点,是否为最大 值点或最小值点 .,(小),5. 渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有铅直渐近线,斜渐近线,若,求积分,1. 凑微分法,2. 换元法,3. 分步积分法,4. 奇偶函数在对称区间上的积分,5. 换元法与分步积分法的结合,6. 一些小技巧,不定积分,一、不定积分的基本概念与性质,1原函数与不定积分的概念,(

10、1)原函数的定义：,(2)不定积分的定义：,在区间 上，若,2不定积分的性质,(1) 线性性质：,(2) 微分与积分运算：,二、基本计算方法,1直接积分法,首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,2第一类换元法（凑微分法）：,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,（适合求形如,的积分）,（P197例12）,的积分）,（适合求形如,的积分）,（适合求形如,的积分）,（适合求形如,9）,（P199例17）,10),(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公

11、式 , 如,常用简化技巧:,3第二类换元法（变量置换法）：,第二类换元法：,三角代换,倒代换,简单无理函数代换,第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,令,8),4分部积分法：,或,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,5有理函数的积分法：,积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使,使之变为一次分式和二次分式的代数和。,之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，,其中部分分式的形式为,(1

12、) 用拼凑法,(2) 用赋值法,分解方法：,定积分,1定积分的定义：,定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限,2定积分的几何意义：,用图表示:,一、定积分的概念与性质,曲边梯形的面积,3可积的充分条件, 若 在区间 上连续，则 在 上可积., 若 在区间 上有界，且只有限个间断点， 则 在 上可积.,4定积分的性质,反号性：,与积分变量无关性：,线性性质：,区间可加性:,区间长：,保号性：如果在区间 上, ，则,单调性：如果在区间 上, 则,估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值，则,奇偶对称性：若 在 上连续，则,二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹公式,1积分上限函数：

13、,是奇函数,是偶函数,0，,设函数 在区间 上连续，则称,定积分中值定理：如果函数 在闭区间 上连续, 则至少存在一点 ,使下式成立：,为积分上限函数.,(1),(2),(3),3牛顿莱布尼兹公式：若函数 为连续函数 在区间 上的一个原函数，则,2积分上限函数的导数,三、定积分的计算方法,求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数 ,然后利用牛顿莱布尼兹公式计算，即,1换元积分法,（1）凑微分法：,（2）变量置换法：函数 满足条件：,换元必换限,2分部积分法：,四、反常积分,1无穷限的反常积分,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式 :,2无界函数的反常积分,设 为 的瑕点, 则,设 为 的

14、瑕点,则,设 为 的瑕点，则有,注意: 若瑕点,计算表达式 :,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,一、定积分应用的类型,1几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,定积分应用,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1. 构造微元的基本思想,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部 上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分 ,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：,选取适当的坐标系；,确定积分变量和变化范围；,在 上求出微元解析式（积分式）。,把所求的量表示成定积分,3、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,