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1、第六章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程,第三节 可降阶的高阶微分方程,第四节 二阶线性微分方程解的结构,第五节 二阶常系数线性齐次微分方程,第二节 一阶微分方程,本节主要内容:,一、可分离变量的一阶微分方程,二、齐次方程,三、一阶线性微分方程,一、 可分离变量的一阶微分方程,下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解法,一阶微分方程的一般形式为,(1),的形式，称(1)式为可分离变量的微分方程其中f(x)只是x的函数,g(y)只是y的函数.,(2),如果一阶微分方程 (1)式可以化为形如,或,这类方程的特点是：,经过适当整理，可使方程的一边只含有一个变量和其微
2、分.,这个通解是以隐函数形式给出的，也可以显化为,得方程的通解,两边积分,解 将方程分离变量，得,例1 求微分方程 y- ey sinx = 0 的通解,例2 求微分方程,的通解,解 将方程分离变量，有,两边积分得,故通解为,例3 求微分方程,解 将方程分离变量，有,两边积分得,的通解,(3),因为 是不为零的任意常数，把它记作C，便得到方程的通解,可以验证C = 0时 ， , 它们也是原方程的解，因此（3）式中的C可设为任意常数,解方程中，如果积分后出现对数，理应都需作类似上述的讨论为方便起见，例2可作如下简化处理：,两边积分得,分离变量后得,故通解为,其中C为任意常数,两边积分得方程通解,
3、解 方程变形后分离变量得,，得,由初始条件,故所求特解为,1.定义,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,令,代入原式,可分离变量的方程,二、 齐次方程,分离变量，得,解 将方程变形为齐次方程的形式,例5,求微分方程 的通解,令, 则方程化为,分离变量后，得,两边积分，得,即,以,代回，得通解,例 6 求解微分方程,解,微分方程的通解为,即,例7 求解微分方程,解,微分方程的通解为,解,令,则,代入化简,并分离变量,两边积分,换回原变量,或,例8,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,三、 一阶线性微分方程,(5),的方程（其中,称为一阶线性微分方程，,是x的已
4、知函数），,称为自由项,Q(x),1.Q(x) 0，方程(5)变为,(6),形如,方程(6)称为一阶线性齐次微分方程；,(7),方程(7)称为一阶线性非齐次微分方程；,例如,线性的;,非线性的.,1.一阶线性齐次微分方程的解法,齐次方程的通解为,是可分离变量的方程，,一阶线性齐次微分方程：,分离变量得,两边积分得,(8),为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函数的一个原函数，如符号 是P(x)的一个原函数.,说明：,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,2.一阶线性非齐次微分方程的解法,的形式，其中C(x)是待定的函数,积分得,一
5、阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,非齐次线性方程的通解,相应齐方程的通解,=,非齐次方程的一个特解,即,非齐通解=齐通解+非齐特解,线性微分方程解的结构，是很优良的性质。,+,原方程即,解,两边积分，得,解法一 用常数变易法：,的通解分离变量得,先求,故,例10,求微分方程 的通解。,变换常数C1，令,，则,整理得,把y , y代入原方程，得,于是,代入,得到该非齐次方程的通解.,把,解法二 利用通解公式求解，这时必须把方程化成(5)的形式有,故,例11,解,求解微分方程,例12 求微分方程,满足初始条件,的特解.,将原方程变形为,解,所以原方程的通解为,把初始条件,代入上式，得,故所求方程的特解为,例13 求解微分方程,解,将方程变形为,这是一个一阶线性微分方程，其中,36,内容小结,可分离变量一阶微方程解法:,第一步:分离变量;,第二步:两端积分-隐式通解.,一阶线性微分方程解法:,第一种方法:常数变易法,第二种方法:公式法,齐次方程:先变量代换化为可分离变量方程,
