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1、导数习题,2014. 12. 11,例 1.,设,求,若,因此，,解：,而,思考：,是否存在？,导函数的单侧极限与单侧导数不是同一概念。,则,例 2.,设,求,解：,上式两边同时求导得,例 3.,设,且在某,解：,内,单调，,求,例 4.,设,解：,求,在,可导，,练 1.,设,求,若,因此，,解：,而,则,若,则,设,设,可导, 求,解：,例 5.,例 6.,设,求,解：,记,而,故,例 7.,曲线,解：,求,由方程,确定，,在点,的切线方程。,方程两边对 x 求导得,令 x = 0 得,即,所求切线方程为,练 2.,函数,答：,求,由方程,确定，,设,求,解：,例 8.,设,求,解：,练
2、3.,练 4.,设,是,内具有任意阶导数的奇函数，,求,解：,其中,是奇函数，,因此,奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。,偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。,例 9.,函数,在,内零点的个,数为？,解：,令,得,而,因此零点个数为 2.,练 5.,设,则,解：,共有几,个零点？,根据罗尔定理，,至少有 4 个零点，,分别在区间,内。,是 4 次多项式，,零点不超过 4 个，,因此其零点共有 4 个。,例 10.,求,解：,而,故,练 6.,求,解：,故,而,例 11.,设,解：,存在，且有,求,设,则,另附若干基本计算与证明（答案后附）,练 1.,讨论,的单调性、极值、凹凸性、拐,点以及渐近线
3、，并根据这些讨论作其草图。,练 2.,求,在,上的最值。,练 3.,求数列,的最大项。,练 4.,取何值时,在,取得极值？,是极大值还是极小值？,练 5.,求下列极限,练 6.,设,可导，证明在,的两个零点之间必有,的零点。,练 7.,设,在,上具有三阶连续导数，且,证明存在,使得,练 8.,若,在开区间 I 内连续, 且有唯一的极值点，,则该极值点必是最值点。,练 1.,讨论,的单调性、极值、凹凸性、拐,点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。,练 2.,求,在,上的最值。,解:,练 3.,求数列,的最大项。,解:,练 4.,取何值时,在,取得极值？,是极大值还是极小值？,解:,练 5 答案.
4、,练 6.,提示：令,后证有 x 使得,练 7.,证：,练 8.,关于泰勒公式的说明：,带皮亚诺余项的泰勒公式,带拉格朗日余项的泰勒公式,一般用于误差分析或理论推导。,依赖于 x .,关于泰勒公式的说明：,则必然有,且经某些已知条件可得,例.,求,的带皮亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式。,解：,因此所求麦克劳林公式为：,考虑：,的带拉格朗日余项的 2 阶麦克劳林公式为,那么等式,成立吗？,它是 f (x) 的带拉格朗日余项的 3 阶麦克劳林公式吗？,（否）,（是）,上式才是 f (x) 的带拉格朗日余项的 3 阶麦克劳林公式。,关于泰勒公式的说明：,多项式的泰勒公式仍然是多项式。,例 .,解：,因此所求泰勒公式为,注意: 此时 皮亚诺余项 和 拉格朗日余项 都是 0 .,
