《数学史》分析时代课件.ppt

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1、,分析时代,第七章,第七章 分析时代,微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”（恩格斯）在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交炽在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期,英国早期作出重要贡献的数学家有：泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。 麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚,7.1 18世纪的数学家,7.1.1 泰勒和麦克劳林,英格兰数学家泰

2、勒(Brook Taylor,16851731)做过英国皇家学会秘书他在1715年出版的正的和反的增量方法一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理,泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性,泰勒公式在 时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”,麦克劳林(Colin Maclaurin, 16981746, 苏格兰)是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作流数论（1742），以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干

3、无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微积分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功,麦克劳林是一位数学上的奇才。他11岁就考上了格林斯哥大学。15岁取得硕士学位，并且为自己关于重力的功的论文作了杰出的公开答辩。19岁就主持阿伯丁的马里沙学院数学系，并于21岁发表其第一本重要著作构造几何。他27岁成为爱丁堡大学数学教授的代理或助理。,他关于流数的论文是在他44岁(只在死前4年)发表的，这是麦克劳林为了答复英国哲学家、牧师伯克莱对微积分学原理的攻击而写的，也是牛顿流数法的第一篇符合逻辑的、系统的解说。,麦克劳林级数：,7.1.2 伯努利家族,在数学和科学的历史上最著名的家族之一是瑞士伯努

4、利家族.从十七世纪末叶以来，这个非凡的瑞士家族在三代时间里生出了八个数学家(其中三个是杰出的)，他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代,这个家族的记录开始于雅各布伯努利(16541705)和约翰伯努利(16671748)兄弟。他们都是莱布尼茨忠实的学生与朋友他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容,雅各布伯努利对数学的主要贡献是：,发表过无穷级数的论文,研究过许多特殊曲线,推导出平面曲线的曲率半径公式,引入伯努利数,发明极坐标,提出概率论中的伯努利定理或大数定律,雅各布伯努利从小喜爱科学，但父亲执意要他学神学，于是一有机会他便尽早放弃了神学。他自学了牛顿和莱布尼兹的微积分，从168

5、7年起直到去世任巴塞耳(Basel)大学数学教授,雅格布伯努利(瑞，1654-1705),约翰的著作，内容很广泛，它包括：,与反射和折射有联系的光学问题,曲线族的正交轨线的确定,用级数求曲线的长和区域的面积,解析三角学,最速降线问题和等时线问题,比起哥哥来，弟弟约翰伯努利更是一位多产的数学家。他原来也错选了职业，起先学医，并在1694年获巴塞耳大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的受哥哥的影响，他也爱上了微积分，并很快就掌握了它，用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题1695年，他任荷兰格罗宁根(Groningen)大学数学物理学教授，而在他哥哥雅各布死后继任巴塞耳大学教授,约翰伯努利(

6、瑞，1667-1748),约翰之子丹尼尔伯努利(Daniel Bernoulli，1700一1782)，起初也像他父亲一样学医，写了一篇关于肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃原业而改攻他天生的专长，成为彼得堡的数学教授1733年他回巴塞耳，先后任植物学、解剖学与物理学的教授他获得法兰西科学院的10项奖,他在多年内发表了物理学、概率论、微积分和微分方程方面的许多著作：,提出伦理道德方面的数学期望的概念,写过关于潮汐的论文,建立了空气动力学理论，,提出流体动力学原理,研究了弦振动,许多人认为他是第一位真正的数学物理学家。,第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人:,7.1

7、.3 欧拉,18世纪微积分最重大的进步是由欧拉(Leonard Euler，瑞士,17071783)作出的,瑞士法郎上的欧拉,18世纪最伟大的数学家、分析的化身、“数学家之英雄”,圣彼得堡科学院(1727-1741, 1766-1783)柏林科学院(1741-1766)1748年无穷小分析引论、1755年微分学原理、1768-1770年积分学原理最多产的数学家、欧拉全集84卷李善兰译的代数学（1859）等著作记载了欧拉的学说“读读欧拉，他是我们大家的老师”“四杰”：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯,欧拉(瑞士, 1707-1783),微积分史上里程碑式的著作 :, 1748年出版的无限小分析引论,

8、1755年发表的微分学, 17681770 发表积分学，共3卷,它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：,一 函数符号 一 求和号 一 自然对数底 一 虚数号,欧拉出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭，13岁就进入巴塞尔大学，数学老师是约翰伯努利,伯努利后来在给欧拉的一封信中这样赞许自己这位学生在分析方面的青出于兰： “我介绍高等分析时，它还是个孩子，而您正在将它带大成人”,欧拉主要的科学生涯是在俄国圣彼得堡科学院(1727-1741；1766-1783)和德国柏林科学院(1741-1766)度过的,欧拉是历史上最多产

9、的数学家他生前发表的著作与论文有560余种，死后留下了大量手稿欧拉自己说他未发表的论文足够彼得堡科学院用上20年，结果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作 1911年瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集，现已出版70多卷，计划出齐84卷，都是大四开本欧拉从18岁开始创作，到76岁逝世，因此单是收进全集的这些文稿，欧拉平均每天就要写约1.5页大四开纸的东西，而欧拉还有不少手稿在1771年的彼得堡大火中化为灰烬,欧拉28岁左眼失明，56岁双目失明，他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究与写作,1783年9月的一天，欧拉在与同事讨论了天王星轨道计算以后疾病发作，喃喃自

10、语道：“我要死了!”如巴黎科学院秘书孔多塞(MCondorcet)形容的那样，他“停止了计算，也停止了生命”,7.1.4 克莱洛和达朗贝尔,克莱洛(Claude Alexis Clairaut,l713-1765)是数学上的神童，11岁就写了一篇关于三次曲线的论文。这篇早年的论文和以后的一篇关于空间挠曲线的微分几何的奇妙论文，使他未到法定的年龄(18岁)就获得法国科学院的席位。,达朗贝尔(法, 1717-1783),自学成才，进入巴黎科学院：院士、终身秘书1751-1757年与狄德罗(1713-1784)共同主编百科全书“科学处于17世纪的数学时代到18世纪的力学时代，力学应该是数学家的主要兴

11、趣。”动力学、数学手册 数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔伯努利,伯乐,达朗贝尔对青年科学家十分热情，他非常支持青年科学家研究工作，也愿意在事业上帮助他们。 他曾推荐著名科学家拉格朗日到普鲁士科学院工作，推荐著名科学家拉普拉斯到巴黎科学院工作。达朗贝尔自己也经常与青年科学家进行学术讨论，从中发现并引导他们的科学思想发展。在十八世纪的法国，达朗贝尔不仅灿烂了科学事业的今天，也照亮了科学事业的明天。,晚年,达朗贝尔的日常生活非常简单，白天工作，晚上去沙龙活动。他终生未婚，但有一位患难与共、生死相依的情人沙龙女主人勒皮纳斯。达朗贝尔与养父母感情一直很好，直到176

12、5年他47岁时才因病离开养父母，住到了勒皮纳斯家里，病愈后他一直居住在她的家里。可是在以后的日子里他在事业上进展缓慢，更使他悲痛欲绝的是勒皮纳斯小姐于1776年去世了。在绝望中达朗贝尔度过了自己的晚年，1783年10月29日卒于巴黎。 由于达朗贝尔生前反对宗教，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。所以当这位科学巨匠离开这个世界的时候，既没有隆重的葬礼、也没有缅怀的追悼，只有他一个人被安静的埋葬在巴黎市郊的墓地里。,达朗贝尔(Jean-le-Rond dAlembert，17171783)和克莱洛一样，出生于巴黎，死于巴黎。但两人却是常不友好的、科学上的对手。达朗贝尔原是某贵妇的私生子，出生后被抛弃在巴

13、黎一教堂旁，被一对穷苦的玻璃匠夫妇收养并接受教育。达朗贝尔24岁被接纳到法国科学院，后竟成为巴黎科学院院士和终身秘书, 1743年发表了他的动力学论著, 1744年写了一篇关于流体的平衡和运动的论文, 1746年写了一篇关于风的起因的论文, 1747年写了一篇关于振动弦的论文,在这些文章中，达朗贝尔导出了偏微分方程，这使他成为研究这种方程的先驱。,拉格朗日(法, 1736-1813),数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，论著超过500篇1754年(18岁)发现莱布尼茨公式1755年任数学教授(都灵时期: 1754-1766)1788年分析力学(柏林时期: 1

14、766-1787)1797年解析函数论(巴黎时期: 1787-1813)分析力学的创立者、天体力学的奠基者1799年伯爵，1813年帝国大十字勋章,7.1.5 拉格朗日,拉格朗日(Joseph Louis Lagrange，17361813)出生于意大利的都灵。19岁就被任命为都灵炮兵学校数学教授。欧拉和达朗贝尔力荐他到柏林科学院任职。1766年当欧拉离开柏林时，弗雷德里克大帝在写给拉格朗日的信中说：“欧洲最伟大的国王”希望有“欧洲最伟大的数学家”在他宫里。拉格朗日接受了这个邀请，担任欧拉辞去的职位达二十年。,在离开柏林几年之后，拉格朗日接受了新建立的高等师范学院的教授职位，后来又到高等工艺学

15、院任教授。第一个学校是短命的，而第二个学校在数学史上是著名的，因为现代法兰西的大数学家们中有许多在这里受过教育，而且有许多在这里当过教授。,拉格朗日,拉格朗日的著作对后来的数学研究有很深的影响，因为他是认识到分析的基础处于完全不能令人满意的状态，从而试图使微积分严谨化的最早的第一流数学家。今天用得很普遍的记号 ,就起源于拉格朗日。,拉格朗日嗜好数论，在这个领域中也写了几篇重要的论文。他在方程论方面的早期工作，使伽罗瓦后来有可能提出他的群论。,欧拉写得过于细并且随便凭借直观，而拉格朗日写得简明并且谋求严格。他在风格上是“现代的”，堪称第一个真正的分析家。拿破仑与他那个时代的许多法国大数学家很亲近

16、，他对拉格朗日总的评价是：,“拉格朗日是数学科学方面的高耸的金字塔。”,7.1.6 拉普拉斯和勒让德,拉普拉斯和勒让德是拉格朗日的同时代的人，虽然他们的主要著作发表于十九世纪。,拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749-1827) 1749年出生于法国诺曼底地区的一个贫穷的家庭。他的数学才能使他较早获得好的教学职位。他在天体力学、概率论、微分方程和测地学领域内，都做了杰出的工作。他写了两部不朽的著作：, 天体力学（5卷，1799-1825）, 概率的解析理论（1812）,五卷天体力学使他赢得了“法兰西的牛顿”的称号。,拉普拉斯,拉普拉斯对数学物理的影响是巨大的通常认为他偏爱

17、应用而对纯粹数学不感兴趣美国天文学家鲍迪奇，在他把拉普拉斯的论著译成英文时指出：,“每当我遇到拉普拉斯在书中说显然可知时，我就知道该花好多小时的冥思苦想去补充其脱节之处并确实证明它是多么显然可知。”,但拉普拉斯有自己的想法他在概率的解析理论“绪论”中曾这样写道：,“分析和自然哲学中最重大的发现都应归功于这种丰富多产的方法，也就是所谓的归纳方法牛顿二项式定理和万有引力原理就是归纳法的成果”,与18世纪的其他数学家相比，拉普拉斯更醉心于发现结果而淡出证明。不过无论如何，数学在他心目中有特殊的地位，因为他说过：“一切自然现象都是少数不变定律的数学推论”,拉普拉斯的名字是与宇宙起源的星云学说、势论的所

18、谓拉普拉斯方程分不开的，虽然这两项贡献没有项是起源于拉普拉斯的。他的名字与拉普拉斯变换和行列式的拉普拉斯展开式，也是分不开的。,拉普拉斯曾得到达朗贝尔的帮助当上了巴黎军事学校数学教授，后来与拉格朗日(Lagrange)和勒让德(Legendre)并称“巴黎三L”拉普拉斯是一个政治上的机会主义者，在法国革命动荡不定的日子里，无论哪个党偶然得势，他都去逢迎。1827年逝世，正好是牛顿死后100年。据说留下的遗言是：,“我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的”,勒让德(Adrien-Marie Legendre，17521833)以其很通俗的几何学基本原理在初等数学史上为人们熟知。在其中他试

19、图以精心排列和简化许多命题来对欧几里得原本作教学方法上的改进。勒让德在高等数学方面的主要工作集中在数论，椭圆函数、最小二乘法和积分上 。,勒让德的名字，今天是与二阶微分方程,联系在一起的，这在应用数学上是相当重要的。满足此微分方程的函数被称作勒让德函数。这种方程，当 为非负整数时，有特别有趣的所谓勒让德多项式的多项式解。,7.1.7 蒙日,蒙日(Gaspard Monge，17461818)是一位几何学者，16岁就在里昂学院任物理学讲师。1768年，蒙日在梅齐埃尔担任数学教授，1771年还在那里担任物理学教授；1780年被任命为巴黎利瑟姆动力学讲座教授；1795年高等工艺学校建立，他首任校长，

20、还在那里担任数学教授。他在那里开设的画法几何课，听课人数每次多达400余人。,除了创造射影几何之外，蒙日还被认为是微分几何之父。他写的分析在几何学上的应用出了五版，是曲面微分几何最重要的早期论著之一。,蒙日不象三个L(Lagrange，Laplace和Legendre)那样避开法国革命，蒙日是支持法国革命的。他担任过革命政府的海军部长，并且参加了为军队制造武器和火药的工作。曾签署了处决路易十六的报告书。王政复辟后，蒙日被剥夺了一切职务，不久谢世。,他与拿破仑有亲密的友谊，是拿破仑军营中最有威信的科学参谋。他与数学家傅立叶(Joseph Fourier，17681831)一道随拿破仑进行倒霉的1

21、798年的埃及远征。回到法国后，蒙日继续担任他在高等工艺学院的职位，在那里他被证明是一位非凡的、天才的教师。他的演讲启发了许多后来有才能的几何学者.,7.2 微积分的发展,18世纪这些数学家虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没，假如没有他们的奋力开发与仔细耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样春色满园，相反也许会变得荒芜凋零以下概要论述这一时期微积分深入发展的几个主要方面,(一)积分技术与椭圆积分,18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现在这方面，积分技

22、术的推进尤为明显,约翰伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法,当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示例如雅各布伯努利在求双纽线（ ）弧长时，得到弧长积分,在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分,欧拉在1744年处理弹性问题时也得到积分,所有这些积分都属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数(如三角函数、对数函数等)表示出来椭圆积分的一般形式是,(其中 是 的有理函数，

23、则是一般的四次多项式),勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式对椭圆函数的一般研究在19世纪20年代被阿贝尔和雅可比(C.G.Jacobi，18041851)分别独立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数理论,(二)微积分向多元函数的推广,虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家,1720年，尼古劳斯伯努利(Nicolaus Bernoulli)证明了函数 在一定条件下，对 求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有,欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了

24、偏导数理论,达朗贝尔在1743年的著作动力学和1747年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算不过当时一般都用同一个记号d表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号,多重积分实际上已包含在牛顿关于万有引力的计算中，但牛顿使用了几何论述在18世纪，牛顿的工作被人以分析的形式推广1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为 的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：,到19世纪40年代才由雅可比在其行列式理论中正式创用并逐渐普及 。,到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序而拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究,(三)无穷级数理论,微积

25、分的发展与无穷级数的研究密不可分牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数，他凭藉二项式定理得到了 和 等许多函数的级数泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具,雅各布伯努利在16891704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，使他成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用这些构成了雅各布伯努利对微积分算法的重要贡献,就级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数,的和是无穷的证明伯努利首先指出了,故有,这意味着可

26、将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量,它相当于,其中的 叫做“伯努利数”。利用它可以作 的近似计算。当 很大时，,调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式例如，斯特林在1730年得到一个发散的级数表示：,除了调和级数，当时引起热烈辩论的另一类发散级数是,雅各布伯努利在1696年的论文中作如下推理：,当 时得到：,但另一方面,伯努利称这些互相矛盾的结果为“有趣的悖论”,1703年，意大利数学家格兰弟(G.Grandi)通过 的级数展开又重新发现这一悖论：在级数,

27、中令 ，得,格兰弟称之为“无中生有”,这类发散级数悖论刺激了人们对无穷级数收敛性的思考。18世纪先后出现了一些级数收敛判别法则如莱布尼茨变号级数收敛定理(1713)；麦克劳林积分判别法(1742)；达朗贝尔级数绝对收敛判别法(1754)，等等,(四)函数概念的深化,18世纪微积分发展的一个历史性转析，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象这一转折首先也应归功于欧拉，欧拉在无限小分析引论中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。,函数概念在17世纪已经引入，牛顿原理中提出的“生成量”就是雏形的函数概念莱布尼茨首先使用了“函数

28、”(function)这一术语他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”最先将函数概念公式化的是约翰伯努利欧拉则将伯努利的思想进一步解析化，他在无限小分析引论中将函数定义为：,“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”,在这一定义的基础上，函数概念本身大大丰富了欧拉在引论中明确区分了代数函数与超越函数，将超越函数看成是以无限多次算术运算而得到的表达式，也就是说可用无穷级数表示的函数欧拉还区分了显函数与隐函数、单值函数与多值函数等通过一些积分问题的求解，一系列新的超越函数被纳入了函数的范畴,除了上面已提到的椭圆积分外，18世纪

29、得到的最重要的超越函数还有-函数、B-函数：,这两个函数在欧拉无限小分析引论中都有论述，但欧拉早在1730年给哥德巴赫的一封信中已经发现它们,-函数是欧拉用插值法将阶乘 概念推广到非整数情形时得到的积分表达式，“-函数”的名称及记号 是勒让德后来(1811)给出的欧拉在1771年进一步建立了这两个函数之间的关系：,-函数，B-函数与椭圆积分等一起，是18世纪新发现的超越函数的重要例子，对于函数概念的拓广多有影响,在18世纪，已有的初等函数包括三角函数、指数函数和对数函数则被推广到了复数领域，这也是受到了积分计算的激发因为例如当人们用部分分式法则来求积分,时，会导致形式为,的积分，其中被积式的系

30、数有可能是复数由于这种积分在形式上可看作是对数函数，这就引起了关于什么是复数的对数和负数的对数的探讨,1714年英国人柯茨(RCotes)得到了关系：,这一结果后又被欧拉独立得到并写进了无限小分析引论，引论中还发表了著名的公式：,这公式现在也叫“棣莫弗公式”，棣莫弗在17071730年曾逐步得到了相当于这一公式的结果 。这些公式不仅使人们能正确回答什么是复数的对数，更重要的是揭示了三角函数、指数函数和对数 函数之间的深刻联系而形成了初等函数的统一理论,(五)微积分严格化的尝试,牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱,这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评,1695

31、年，荷兰物理学家纽汶蒂(B.Nieuwentyt)在其著作无限小分析中指责,牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”,最令人震憾的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱，伯克莱(G.Berkeley，16851753).1734年担任克罗因(在今爱尔兰境内)主教的伯克莱，发表了一本小册子分析学家，或致一位不信神的数学家，副题中“不信神的数学家”是指曾帮助牛顿出版原理的哈雷(E.Haley)伯克莱在书中认为当时的数学家们,以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明,他集中攻击牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂 的流数，牛顿假设 有一个增量o，并以它

32、去除 增量得,o +,然后又让o“消失”，得到 的流数 。伯克莱指出这里关于增量o的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”他讥讽地问道：,“这些消失的增量究竟是什么呢?它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗?”,分析学家的主要矛头是牛顿的流数术，但对莱布尼茨的微积分也同样竭力非难，认为其中的正确结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得,伯克莱主教（爱尔兰，1985）,伯克莱对微积分学说的攻击主要是出于宗教的动机，目的是要证明：,流数原理并不比基督教义“构思更清楚”、“推理更明白”,但他的许多批评是切中要害的，在客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家

33、们为建立微积分的严格基础而努力,为了回答伯克莱的攻击，在英国本土产生了许多为牛顿流数论辩护的著述，其中以前面已提到的麦克劳林流数论最为典型，但所有这些辩护都因坚持几何论证而显得软弱无力欧洲大陆的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难在18世纪，这方面的代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日,达朗贝尔在他为科学，艺术和工艺百科全书撰写的“微分”(Differentiel，1754)等条目中，讨论他所谓的“微分演算的形而上学”，即微分学的基础。他在这里发展了牛顿的首末比方法，但用极限概念代替了含糊的“最初比”与“最终比”。,达朗贝尔定义量 的极限为 ，如果“量 可任意逼近 ，这就是说， 与

34、 之间的差可任意小”他指出微分演算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限”，并认为“这也许是关于微分学的最精确、最简洁的定义”。,欧拉在微分学中提出了关于无限小的不同阶零的理论，欧拉认为无限小就是零，但却存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算只不过是不同无限小量的几何比的研究”他断言如果采取了这种观点，“在这门崇高的科学中，我们就完全能保持最高度的数学严格性” 。,拉格朗日则在解析函数论(1797)一书中，主张用泰勒级数来定义导数，以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“纯粹的代数分析艺术”,我们可以说，欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点

35、，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核19世纪的分析严格化，正是这些不同方向融会发展的结果,7.3 微积分的应用与新分支的形成,18世纪数学家们一方面努力探索使微积分严格化的途径；一方面又往往不顾基础问题的困难而大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围，尤其是,与力学的有机结合，已成为18世纪数学的鲜明特征之一。,这种结合的紧密程度是数学史上任何时期不能比拟的,当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家欧拉的名字同刚体运动与流体力学的基本方程相联系；拉格朗日最享盛名的著作是分析力学(1788)，它将力学变成分析的一个分支;拉普拉斯许多最重要的数学成果是包含在他的五大卷天体力学(

36、17991825)中.,这种广泛的应用成为新思想的源泉而使数学本身大大受惠，一系列新数学分支在18世纪成长起来,(一)常微分方程,常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的，牛顿和莱布尼茨的著作中都处理过与常微分方程有关的问题从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程，这些问题在当时往往以挑战的形式被提出而在数学家之间引起热烈的讨论有名的如悬链线问题：,求一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点而形成的曲线,这问题于1690年由雅各布伯努利提出，第二年莱布尼茨、惠更斯(C.Huygens，16291695)和约翰伯努利均发表了自己的解答，其中约翰伯努利通

37、过建立悬链线方程,解出了曲线,类似的还有与钟摆运动有关的“等时曲线”方程(1690，雅各布伯努利),以及与光线路径问题有关的“正交轨线”方程(1715，莱布尼茨、牛顿)等,数学家们起初是采用特殊的技巧来对付特殊的方程，但逐渐开始寻找带普遍性的方法,莱布尼茨在1691年已用分离变量法解出了形如,的方程1696年他又用变量替换 将现在所称的“伯努利方程”(雅各布伯努利，1695),化成了关于 的线性微分方程伯努利兄弟也推进了分离变量法与变量代换法,解一阶常微分方程 的所谓“积分因子法”，先后由欧拉(17341735年间)和克莱洛(17391740年间)独立地提出他们的方法是将方程乘以一个叫“积分因

38、子”的量而使它化为“恰当方程”,恰当方程是指方程左端 恰好是某个函数 的全微分,欧拉和克莱洛都给出方程是恰当的条件：,并指出了如果方程是恰当的，它就可以积分,到1740年左右，几乎所有求解阶方程的初等方法都已知道,在常微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程是“黎卡提方程”,最先由意大利学者黎卡提(J.F.Ricatti)导出(1724)这个方程本身是一阶方程，但黎卡提是通过变量替换从一个二阶方程“降阶”得到它的，这种降阶法后来成为处理高阶方程的主要手段,1728年，欧拉在一篇题为将二阶微分方程化为一阶微分方程的新方法的论文中，引进了著名的指数代换将三类相当广泛的二阶常微分方程化为一阶方程

39、，这是二阶常微分方程系统研究的开始,高阶常微分方程求解的重要突破，是欧拉1743年关于 阶常系数线性齐次方程的完整解法,对于 阶常系数方程,欧拉利用指数代换 ( 为常数)得到所谓特征方程,当 是该方程的一个实单根时，则 是原微分方程的一个特解当 是特征方程的是重根时，欧拉用代换 求得,为包含 个任意常数的解欧拉指出： 阶方程的通解是其个特解的线性组合他是最早明确区分“通解”与“特解”的数学家,18世纪常微分方程求解的最高成就是拉格朗日17741775年间用参数变易法解出了一般 阶变系数非齐次常微分方程。简单情形的参数变易法可追溯到牛顿和约翰伯努利。欧拉在1739年则用此法解出了二阶方程,拉格朗

40、日研究一般方程,其中P、Q、R、V、X皆为x的函数已知相应齐次方程的通解为,此处 为积分常数,而 是齐次方程的特解拉格朗日将 看作 的函数并利用 的各阶微商表达式及原方程求出 和 ，从而得到非齐次方程解,参数变易法来源于天体力学中的三体问题三体问题为常微分方程理论提供了持久的刺激在此问题中扮演中心角色的是组二阶方程：,分别表示三个球形物体的质量，,表示第 个物体质量中心 的变动坐标， 为从 到 的距离由于三体问题方程不可能精确地解出，其研究中一个重要的方向就是寻求近似解，即所谓“摄动理论”,参数变易法是摄动理论的有力工具拉普拉斯天体力学对三体问题及摄动理论也有重大贡献,常微分方程,包含一个自变

41、量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式,形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的,初等解法,分离变量法 变量代换法 积分因子法 黎卡提方程 降阶法 常系数线性方程,2001年9月6日哈勃拍到的星体爆发星系,微积分对弦振动等力学问题的应用则引导到另一门新的数学分支偏微分方程，一般将达朗贝尔1747年发表的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究看作为偏微分方程论的发端虽然在达朗贝尔之前，泰勒和约翰伯努利等也曾对弦振动进行过数学描述，但他们均未采用偏导数概念,(二)偏微分方程,拉格朗日(法国, 1958),包含未知函数以及偏导数的等式,偏微分方程理论研究一个方程(

42、组)是否有满足某些补充条件的解, 有多少个解, 解的各种性质与求解方法, 及其应用,达朗贝尔在上述论文中则明确推导出了弦的振动所满足的偏微分方程：,并给出了形如,的通解达朗贝尔还讨论了初始条件 ，他坚持18世纪标准的函数概念(即某种解析表达式)而要求初始函数和方程的解都是解析的,在达朗贝尔发表他的弦振动研究后不久，欧拉也做了这方面的工作并写成一篇论文论弦的振动(1749年发表)，欧拉沿用了达朗贝尔的方法，但引进了初始形状为正弦级数,的特解,与达朗贝尔不同的是，欧拉允许任意种类的初始曲线，这方面的研究促使他对函数概念进行新的思考,几年之后，约翰伯努利之子丹尼尔伯努利(Daniel Bernoul

43、li，17001782)也发表了他的弦振动问题新思考(1753)，他假定了所有可能的初始曲线均可表为正弦级数，从而弦振动问题所有可能的解都能是正弦周期模式的迭加：,丹尼尔的做法受到了达朗贝尔与欧拉的激烈反对，后二者都认为并非每一个函数均能表示成无穷三角级数这场围绕着用三角级数表示任意函数的旷日持久的争论，将许多数学家卷了进来，直到19世纪傅里叶级数的工作出现以后才告平息,18世纪获得的另一类重要的偏微分方程是位势方程，这与当时另一类热门的力学问题计算两个物体之间的引力相关,拉普拉斯在1785年发表的论文球状物体的引力理论与行星形状中，引进了标量函数y，它与引力分量 之间有关系：,稍后(1787

44、)他又给出了这方程直角坐标形式,这就是所谓“位势方程”，现在通常就称“拉普拉斯方程”,欧拉1752年在研究流体内部任一点速度问题时也曾得出同样的方程，但他不知道怎样求解，拉普拉斯首先用球调和函数解出了位势方程位势理论主要是经拉普拉斯的工作才引起普遍关注，并由格林、高斯等发展为数学物理的重要部分,(三)变分法,在18世纪出现的数学新分支中，变分法的诞生最富有戏剧性,变分法起源于“最速降线”和其它一些类似的问题所谓最速降线问题，就是,求出两点之间一条曲线，使质点在重力作用下沿着它由一点至另一点降落最快(即所需时间最短),这问题最早由约翰伯努利提出来向其他数学家挑战，刊登在1696年6月教师学报上问

45、题提出后半年未有回音，他遂于1697年发表著名的元旦公告，再次向“全世界最有才能的数学家”挑战公告中有一段话说：,“能够解决这一非凡问题的人寥寥无几，即使是那些对自己的方法自视甚高的人也不例外”,这段话被认为是隐射牛顿的牛顿于1月29日从造币局回到住所，从一封法国来信中看到了伯努利的挑战，他利用晚饭后的时间一举给出了正确的解答摆线(或称旋轮线)牛顿将结果写成短文匿名发表在哲学汇刊上，伯努利看到后拍案惊呼：,“从这锋利的爪我认出了雄狮!”,差不多同时，莱布尼茨、洛必达(G.F.A.LHospital，16611704)、雅各布伯努利以及约翰伯努利本人也都得到了正确的解答，他们的解答都刊登在同年5

46、月的教师学报上,用现代符号表示，最速降线问题是相当于求函数 ，使表示质点从 到 下降时间的积分,取最小值，其中g是重力加速度，是与初始坐标及速度有关的常数.,伽利略曾解过这个问题，但误认为答案是一段圆弧牛顿和雅各布伯努利等人的研究意义不仅是在于给出了正确的答案摆线，更重要的是揭示了这一问题区别于普通极值问题的特征因此这些工作与同时期出现的等周问题(求具有给定弧长的曲线，使其所围面积最大，属带附加条件的变分问题)，测地线问题(求曲面上两点之间的最短路径)等一道标志着一门新数学分支变分法的诞生,变分法处理的是一个全新的课题：求变量,的极大或极小值，这个变量(积分)与通常函数有本质区别，即它的值依赖

47、于未知函数而不是未知实数也就是说，如果将 看作是“函数”，那么可以说它是“函数的函数”欧拉对于变分问题给出了一般的处理他在1744年发表的求某种具有极大或极小性质的曲线的技巧一书中，将上述积分取极值的问题看作是求函数,的通常极值当 时的极限情形，从而导出了使积分 达到极值的函数所必须满足的必要条件，即,欧拉(瑞士, 1957),这个二阶常微分方程后来就叫“欧拉方程”，至今仍为变分法的基本方程欧拉的工作奠定了变分法的这门新学科的独立基础他的变分法在许多地方还依赖于几何论证,变分法的另一位奠基人拉格朗日则在纯分析的基础上建立变分法拉格朗日在1760年发表的论确定不定积分式的极大和极小值的一个新方法

48、中，首创了函数 的“变分”(variation)概念，并用记号表示他考虑由 变化而来的，通过端 点 与 的新曲线 (这与欧拉等改变极值化曲线的个别坐标的做法不同)，然后运用整个分析工具导出了使取极值的必要条件：,这与欧拉的方程一致,拉格朗日还第一次成功地处理了端点变动的极值曲线问题及重积分情形，1770年以后又研究了被积函数中含有高阶导数的变分问题，这些后来都成为变分法的标准内容拉格朗日的工作使由最速降线等特殊问题发展起来的变分法名符其实地成为分析的一个独立分支,1786年起勒让德(法, 1752-1833)讨论了变分的充分条件,1759年拉格朗日(法, 1736-1813)引入变分的概念,7

49、.4 18世纪的几何与代数,分析的光芒使18世纪综合几何的发展暗然失色，但分析方法的应用却开拓出了一个崭新的几何分支微分几何，从而改变了18世纪几何学的面貌“代数”在18世纪数学家心目中则是“分析”的同义语，他们将分析看作是代数的延伸，代数本身的研究有时便服从于分析的需要在这样的情况下，18世纪代数学仍然为下一世纪的革命性发展作了必要的准备,(一)微分几何的形成,微积分的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪,1731年，十八岁的法国青年数学家克莱洛发表关于双重曲率曲线的研究，开创了空间曲线理论，

50、是建立微分几何的重要一步克莱洛通过在两个垂直平面上的投影来研究空间曲线，首先提出空间曲线有两个曲率的想法他认识到一条空间曲线在一个垂直于切线的平面上可以有无穷多条法线，同时给出了空间曲线的弧长公式与某些曲面的面积求法,欧拉是微分几何的重要奠基人他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标在无限小分析引论第2卷中则引进了曲线的参数表示：,欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方向的交角相对于弧长的变化率，并推导了空间曲线任一点曲率半径的解析表达式,欧拉的曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两个曲率之一的标准化(另一个曲率，现在叫“挠率”，其解析表示到19世纪初才得