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1、第三章 协方差传播律及权,概 述3.1 协方差传播律3.2 协方差传播律的应用3.3 权与定权的常用方法3.4 协因数阵与权阵3.5 协因数传播律3.6 由真误差计算中误差及其实际应用3.7 系统误差的传播,结束,概 述,一、为什么要学习协方差传播律 以及什么是协方差传播律二、学习协方差传播律需要的基础知识,返回,一、为什么要学习协方差传播律以及什么是协方差传播律,在右图中，A、B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长S和角度。,则P点坐标为：,式中：,1.问题的提出：在已知观测边长S和角度的方差和协方差的前提下，如何计算P点坐标的方差和协方差？,2.协方差传播律：是研究函数与自变量之间协
2、方差的运算 规律。或者说： 是描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。,返回,二、学习协方差传播律需要的基础知识,方差：,1、方差与协方差,设有随机变量 X 和 Y ，则定义：,协方差：,相关与不相关、独立与不独立,因为在测量中的观测值和观测误差均为服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立”等价，故称不相关观测值为独立观测值，称相关观测值为不独立观测值。,二、学习协方差传播律需要的基础知识,就是观测值向量 的方差-协方差阵 简称为协方差阵。,2、方差协方差阵与互协方差阵,假定有 个不同精度的相关观测值 ，数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为:,方差协方差阵
3、,学习协方差传播率需要的基础知识,设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。令： ，则 的协方差阵为：,式中： 是X关于Y的互协方差阵。,互协方差阵,返回,3.1 协方差传播律,一、观测值线性函数的方差,设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即 又设有的线性函数为：如何求Z的方差呢？,3.1 协方差传播律,Z的方差为：,令：,则：,对 两边取数学期望，得：,即：,3.1 协方差传播律,的纯量形式为：,当向量中的各分量,两两独立时：,（中误差传播律）,线性函数的协方差传播律概括如下：,设有线性函数：,则有：,3.1 协方差传播律,例3-1 在1：500的地图上，量得某两点间的距
4、离 =23.4mm 的量测中误差 =0.2mm， 求该两点实地距离 及中误差 。解：,最后写成:,3.1 协方差传播律,二、多个观测值线性函数的协方差阵,设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即：,3.1 协方差传播律,设有t个 的线性函数：,设有t个 的线性函数：,令：,则：,如何求Z的协方差阵呢？,3.1 协方差传播律,证明：方法同一个线性函数，均根据方差定义推导。,3.1 协方差传播律,设另有r个 的线性函数：,设有t个 的线性函数：,令：,则：,则Y的协方差阵为：,3.1 协方差传播律,下面导出互协方差阵的公式：,若：,则：,即：,3.1 协方差传播律,例3-4 在一个三角形
5、中，同精度独立观测得到 三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将 闭合差平均分配后各角的协方差阵。,3.1 协方差传播律,上节课小结：,一个线性函数：,中误差传播律：,多个线性函数：,若：,互协方差阵：,无协方差！,3.1 协方差传播律,三、非线性函数的情况,1.一个非线性函数,若有：,取台劳级数至一次项：,3.1 协方差传播律,若令：,则：,同样可得：,为什么？,3.1 协方差传播律,2多个非线性函数 设有观测值 的多个非线性函数 将函数求全微分得 两组非线性函数时怎样做？,3.1 协方差传播律,应用协方差传播律的具体步骤为：1.按要求写出函数式，如： 或：2.如果为非线性函数，则对函数式
6、求全微分，得： 3.写成矩阵形式： 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵：,返回,3.2 协方差传播律的应用,一、水准测量的精度,经个N测站测定两水准点A、B间的高差，,站的观测高差为 ，,其中第i(i=1,2N),则A、B两水准点间的高差为：,（3-2-1）,设各测站观测高差是等精度的独立观测值，其中误差均为,则由中误差传播律可得：,（3-2-2）,若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：,（3-2-5）,设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值 ，它们的中误差均等于 。则N个观测值的算术平均值为：由中误差传播律得： 即
7、：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。,3.2 协方差传播律的应用,二、同精度独立观测值的算术平均值的精度,设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值 ，它们的中误差均等于 。则N个观测值的算术平均值为：由中误差传播律得： 即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。,3.2 协方差传播律的应用,三、若干独立误差的联合影响,一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（1-5-12）并顾及 得出它们之间的方差关系
8、式 即观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方差之和。,五、GIS线元要素的方差,四、交会定点的精度,返回,3.3 权与定权的常用方法,一、权的定义,称为观测值Li的权。权与方差成反比：,表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。,权是表征精度的相对的数字指标。,（3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，同一平差问题只能选选定一个0。,（4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。,3.3 权与定权的常用方法,关于权的几点重要解释：,二、单位权中误差,三、常用的定权方法,1、水准测量的权,3.3 权与定权的常用方法,3、观测量中既有边又有角时的定权,3.3 权与定权的常用方
9、法,返回,2、同精度观测值的算术平均值的权,3.4 协因数阵与权阵,一、协因数与协因数阵,注意：协因数与权互为 倒数关系！,不难得出：,为协因数阵,3.4 协因数阵与权阵,特点：对称，对角元素为权倒数； 正定； 各观测量互不相关时，为对角矩阵。 当为等精度观测，则为单位阵。,3.4 协因数阵与权阵,二、权阵,返回,3.4 协因数阵与权阵,注意：当P为非对角阵时， Pii不是观测量Li的权，因为：,例3-10,3.5 协因数传播律,设有观测值X的线性函数：,由协方差传播律得：,根据协因数阵的定义得：,代入上式得：,这就是协因数传播律！,一、观测值线性函数的情况,3.5 协因数传播律,设有观测值X的非线性函数：,将其线性化后，得：,二、观测值非线性函数的情况,3.5 协因数传播律,三、权倒数传播律,对于非线性函数：,先将其线性化：,同样由协因数传播律可得：,这就是权倒数传播律！,返回,
