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1、23.2一元二次方程的解法,共同回顾:一元二次方程,1、定义：,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,2、一元二次方程通常可写成如下的一般形式：,ax2+bx+c=0,a0,3、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把握三点：,：方程是整式方程；：只含有一个未知数：可化为ax2+bx+c=0（ a0 ）的形式,1. 判断下列方程是否一元二次方程？,2m何值时，方程 是关于的一元二次方程?,下列各数有平方根吗?若有,你能求出它的平方根吗? 25 ; 0 ; ; 2 ; - 3 ;,合作学习共同回顾,一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什么？,即（a0）则x叫
2、做a的平方根，表示为：,例1 解方程,先移项，得,所以,以上解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。,例题解析：,初试锋芒,用直接开平方法解下列方程：,(3),将方程化成(b0）的形式,再求解,再显身手,例2 解方程: (1) (2),将方程化成(b0）的形式,再求解,解下列方程：,1、用直接开方法解方程：,2、用直接开方法解方程：,你会变吗？,提问：下列方程有解吗？,方程 一定有解吗?,用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：,根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，当b0时，原方程无解。,学会自我总结,归纳 小结,23.2一元二次方程的解法,华东师大版九年级,（第2课时
3、）,第23章 一元二次方程,用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：,根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以当b0时，原方程无解。,知识回顾,大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？,AB=0A=0或,知识回顾,解:,(直接开平方法):,例2：解方程x2- 4=0.,另解：原方程可变形为,(x+2)(x2)=0,x+2=0 或 x2=0, x1=-2 ,x2=2,以上解某些一元二次方程的方法叫做因式分解法。,x24=（x2）（x2）,初试锋芒,解下列方程：,（2）,（1）,例3 解下列方程：,x+2=0或3x5=0, x1=-2 , x2=,解：原方程可变形为,归纳：用因式分解法
4、解一元二次方程的步骤,1 . 方程右边不为零的化为 。2 . 将方程左边分解成两个 的乘积。3 . 至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程。4 . 两个 就是原方程的解。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,例 (x+3)(x1)=5,解：原方程可变形为,(x2)(x+4)=0,x2=0或x+4=0, x1=2 ,x2=-4,解题步骤演示,方程右边化为零,x2+2x8 =0,左边分解成两个一次因式 的乘积,至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程,两个一元一次方程的解就是原方程的解,这样解是否正确呢？,方程的两边同时除以同一个不等于零的数，所得的方程与原方程 同解。,拓展练习1：辨析,
5、2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？,( ),解下列方程：,y2=3y,(2) (2a3)2=(a2)(3a4),(3),(1) (x1)(x+2)=2,拓展练习2：解方程,(4) (4x3)2=(x+3)2,用因式分解法解一元二次方程的步骤,1. 方程右边不为零的化为 。2 .将方程左边分解成两个 的乘积。3 .至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程。4 .两个 就是原方程的解。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,小结,23.2一元二次方程的解法,华东师大版九年级,（第3课时）,第23章一元二次方程,1、选择合理的方法解下列方程,(1)(2)(3),复习练习：,、请说出完全平
6、方公式,、根据完全平方公式填空(格式如题(1),(1)(2)(3),42,4,52,5,（10）,x5,参照第（1）题，推想一下第（2）题及第（3）题的解法,(1)(2)(3),上面，我们把方程变形为它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.,解下列方程：,例1 解下列方程：,(1),(2),解：,(1),(1)(2),解下列方程：,想想怎样解？,2、把常数项移到方程右边；,3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方；,4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是
7、个负数，则指出原方程无实根。,1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；,请归纳配方法解一元二次方程的步骤,拓展练习,用配方法证明：代数式的值是正数,小结：,配方法也是一元二次方程常见的解法,2. 配方法的运用,23.2一元二次方程的解法,华东师大版九年级,（第4课时）,第23章 一元二次方程,配方法的步骤：1.化 12.移项3.配方4.求解配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。,知识回顾,用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。2.移项整理 得 x2+px=
8、-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。,x2+px+( )2 = -q+( )2,4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2= -q,知识回顾,用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0,解得x= - ,当b2-4ac0时, x + =,4a20,即 ( x + )2 =,配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2,即x=,用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。,移项，得x2 + x=-,例 用公式法解方程2x2+x-6=0。解：这里a=2，b=1，c=-6，所以b2-4a
9、c=12-42(-6) =49.,1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。,用公式法的一般步骤：,求根公式: x=,4、写出方程的解： x1=?, x2=?,3、代入求根公式 x= (a0, b2-4ac0),(a0, b2-4ac0),即 x1=-2，x2=,（口答）填空：用公式法解方程5x2-4x-12=0。,解：a= ，b= ，c = . b2-4ac= = . x= = = .即 x1= , x2= .,5,-4,-12,(-4)2-45(-12),256,2,求根公式 : x=,(a0, b2-4ac0),解:将方程化为一般式，得x24x20, x,原
10、方程的解是 x1 ，x2=,用公式法解下列方程：x24x2,用公式法解方程： x2 x - =0,解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25.,x=,即 x1=2, x2= -,用公式法解方程： x2 +3 = 2 x,解：移项，得x2 -2 x+3 = 0,a=1，b=-2 ，c=3,b2-4ac=(-2 )2-413=0,x1 = x2 =,=,=,求根公式 : x=,(a0, b2-4ac0),求根公式 : x=,由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 若 b2-4ac0，得,
11、1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式 :,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,小结,4、写出方程的解： x1=?, x2=?,(a0, b2-4ac0),x=,思考题:1、用公式法解下列方程： （m为已知常数）,2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？,一元二次方程的解法,习题课,（第5课时）,华东师大版九年级,第23章 一元二次方程,(1)直接开平方法,(2)因式分解法,提公因式法公式法：平方差公式，完全平方公式,(3) 配方法,(4)公式法,当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方
12、,ax2=b(a0),一 直接开平方法,依据：平方根的意义，即,如果 x2=a , 那么x =,这种方法称为直接开平方法。,解题步骤：,4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?,例1（3x -2）-49=0 例2（3x -4）=（4x -3）,解：移项，得：（3x-2）=49 两边开平方，得：3x -2=7,解：两边开平方，得： 3x-4=（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1,例题讲解,所以x=,所以x1=3，x2= -,二 因式分解法,1 提公因式法,=0,解：提公因式得：,2 平方差公式与完全平方公式,例题讲解,（1）,解：原
13、方程变形为,直接开平方，得,解：原方程变形为,所以 ， 。,所以 。,三 配方法,我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法,平方根的意义:,完全平方式:式子 a22ab+b2 叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.,如果x2=a, 那么x=,用配方法解一元二次方程的方法的助手:,用配方法解一元二次方程 2x2-9x+8=0.,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;,5.开方:两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.
14、移项:把常数项移到方程的右边;,例题讲解,例6 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0,例题讲解,例7 用配方法解下列方程2x2+8x-5=0,四 公式法,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法,提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一元二次方程。2.b2-4ac0.,例8 用公式法解方程2x2+8=9x.,1.变形:化已知方程为一般形式;,3.计算: b2-4ac的值;,4.代入:把有关数值代入公式计算;,5.定解:写出原方程的根.,2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;,例题讲解,
15、例9 用公式法解方程2x2+5x-3=0解: a=2 b=5 c= -3 b2-4ac=52-42(-3)=49,例题讲解,例 3 ：,解：化简为一般式：,这里 a=1, b= , c= 3.,b2 - 4ac=( )2 - 413=0,即：x1= x2=,例题讲解,1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值，将其与0比较。3、代入求根公式 :,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,4、写出方程的解： x1=?, x2=?,(a0, b2-4ac0),X=,请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程1、3x -1=0 2、x（2x +3）=5（2x +3）3、x -4x-2=0 4、2 x -5x+1=0,1. 形如（x-k）=h的方程可以用直接开平方法求解；2. 千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用因式分解法求解；3. 当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；4. 当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。,练一练,点评,
