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1、一、连续型随机变量及其概率密度,二、常见连续型随机变量的分布,三、小结,第2.3节一维连续型随机变量 及其概率密度,性质,证明 (2),一、概率密度的概念与性质,1.定义,1,证明,x,x,p,0,),(,同时得以下计算公式,(5)PX=a=0.,由于PX=a=F(a)-F(a-0),而F(x)在R上连续,所以PX=a=0.,证:,由此可得,连续型随机变量的概率与区间的开闭无关,不可能事件的概率一定为0,而概率为0的事件不一定是不可能事件.,注意,若X是连续性随机变量,则,是 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.,事实上:,解,例1,当 时 ,当 时 ,当 时 ,当 时 ,二、常见连续型
2、随机变量的分布,1. 均匀分布,分布函数,均匀分布分布函数图形演示,例3 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,解,即 A= X 3 .,因而有,设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,2. 指数分布,指数分布密度函数图形演示,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,分布函数,指数分布分布函数图形演示,例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为=1/2000的指
3、数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,X 的分布函数为,解,指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,3. 正态分布(或高斯分布),高斯资料,图形演示,正态概率密度函数的几何特征,正态分布密度函数图形演示,正态分布的分布函数,正态分布分布函数图形演示,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布下的概率计算,原函数不是初等函
4、数,方法一:利用MATLAB软件包计算(演示),方法二:转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,解,例6,证,证明,解:,例,(其中 ),故有,解,(1) 因为 X 是连续型随机变量,解,则有实根的概率为,例3,三、小结,2. 常见连续型随机变量的分布,正态分布是概率论中最重要的分布,Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany),Carl Friedrich Gauss,Gauss,
