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1、将（5.5.2）（5.5.4）、（5.5.5）代入，有,(5.5.6）,一个二阶常数系数齐次微分方程，它有eit这种形式的 解。令,（5.5.4）（5.5.6）以及上式代入（5.5.2），得到,其解为：,将（5.5.4）（5.5.5）、（5.5.6）代入（5.5.3），有,其解为,(5.5.7）,(5.5.8）,可将Ca0(t)与Cbo(t)的通解表示为：,假定初始时刻原子处于b态,得到,(5.5.9）,A与B的 解为：,(5.5.10）,其中：,(5.5.11）,(5.5.12）,初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用下，t时刻已跃迁到上能态a能态的几率为：,(5.5.13）,这就是拉比
2、强信号解的结果,(5.5.13）,跃迁几率的变化将包括在exp(-t)指数衰减曲线包络内。如图（5-4）,无阻尼的情况,在强信号作用下，初始时刻处于b态的原子，跃迁到b能态的几率是等幅周期性变化的。如图（5-3）,拉比频率,强信号下的线性函数,线宽,功率加宽,(5.5.15）,(5.5.13）,(5.5.16）,3.7 单模强信号理论,激光器常工作在高强度区（功率加宽和碰撞加宽降低了多普勒效应），是原子均匀加宽可用速率方程近似来分析。一种更精确的理论由Lax建议，后由stenholm和Lamb及Feld和Feldman所完成。引入复极化强度,引入粒子布居差,（3.5.20）,得,集居数矩阵运动
3、方程(3.5.1)(3.5.4)得Cn(z,v,t)、Sn(z,v,t)和粒子布居差微分方程，,假设Sn可以表示成位置坐标z的傅里叶级数,(3.7.2),振幅方程,可得,(3.7.2),自洽方程,(3.7.10),In隐含在其中，用数值计算来确定光强,图3.17 对相对激发度的几个不同值,无量纲强度对失谐量的曲线图。,参数如下：a=0.6ab，b=1.4ab，ku=40ab(极端多普勒极限情况)。从图中看出，所有的曲线都呈现了兰姆凹陷。,实线是使用连分式作出的精确计算,虚线给出三级近似理论结果；十字叉给出速率方程近似下(连分式中的一项)的几个值。,我们看到，当相对激发度为1.1，且三级近似结果
4、与精确计算数值有显著差别时，速率方程近似与精确值符合得还相当好。,图3.18 在中心调谐时，激光输出强度作为相对激发度的函数图形。,图3.19 在相对激发度很大时，激光输出强度作为相对激发度的函数图象,虚线表示速率方程近似的结果。对于谐振激光器，只在强度In大于10 ( 大于3.5)才与精确结果有明显的偏差；而对失谐激光器，速率方程近似甚至对所考虑的最大强度值也给出了很好的近似。,第8章瞬态相干光学效应,讨论强短激光脉冲与共振介质(其吸收跃迁频率与入射激光频率相同或十分相近)瞬态相干作用过程中产生的几种新效应。即介质的自感应透明效应、光子回波效应、光学章动效应以及自感应衰减等效应。瞬态相干作用
5、要求激光的脉冲时间 足够短,满足,的条件。,非均匀加宽机制，定义T2*为非均匀横向驰豫时间,纵向驰豫时间T1：跃迁的自发辐射寿命,横向驰豫时间T2：原子发出的光波列的 相干时间，反应了各种均匀加宽机制对跃迁速率产生的 影响,瞬态相干过程的情况下，共振介质在某一时刻对入射光场的反应特性，不仅决定于该时刻光场的瞬时值，而且也与该时刻以前入射光场相对于时间的积分有关，即介质对某一考查时刻之前的入射光场的行为呈现出有“记忆”的能力。由于涉及的激光很强，介质的极化强度不再是场强E的线性函数，用微扰的方法求解密度矩阵的运动方程是不合适的，而必须直接去求解。鉴于几种瞬态相干光学效应与核磁共振现象十分类似，所
6、以我们采用类似于核磁共振的布洛赫(Bloch)矢量方程。,考虑二能级系综，且系综内具有速度分量为vx的 一群原子，其系综的密度矩阵元按式（7.1.17.1.4）为（不考虑外界激发作用）,5.1 密度矩阵运动方程的矢量描述,1、光学布洛赫(Bloch)方程,则,设光场为线偏振光,(5.1.2),(5.1.3),定义,(5.1.4),再令,(5.1.5),则密度矩阵方程可改写为,aa0为无外场时系综处于热平衡时出现在|a态的几率。（aa- aa0)/T1表示由于弛豫过程粒子离开能态|a的几率。,(5.1.6),去掉高频项 （旋转波近似），则密度矩阵变换为：,作变换,(5.1.7),(5.1.10)
7、,其中,(5.1.9),为共振调谐参量。表示入射光频率与介质共振跃迁中心频率之间的失共振程度。,引入记号,(5.1.11),密度矩阵方程（5.1.10）可表示为：,(5.1.12),(5.1.13),其中,(5.1.9),若所考虑的时间范围tT1、T2，则在方程(5.1.12)中可令T1，T2 ，从而可得,定义一个虚构的矢量B，且,B=B1i+B2j+B3k=ui+vj+wk,(5.1.14),再定义一个矢量，且, = 1i+ 2j+ 3k=-i+ j+ k,(5.1.15),(5.1.16),布洛赫(Bloch)矢量方程。,矢量与（与场的 振幅有关）和（表示了场频率的失谐程度）有关，所以表征
8、入射光场的特性。,(5.1.17),布洛赫(Bloch)矢量方程，表示在一个虚构的 空间(i,j,k)中，B绕方向以角速度|进动。B的各分量中包含了原子系综的 密度矩阵元。,2、布洛赫矢量的物理意义,得,(5.1.11),(5.1.22),(5.1.24),k轴上分量w表示了介质的反转粒子数。i轴上分量u对应极化强度P0的实部，反映了介质得色散。j轴上得分量v对应极化强度P0的虚部，反映了介质的吸收（或放大）。,(5.1.24),5.2 瞬态相干辐射场方程,讯号场Es(z,t)与宏观极化强度Px(z,t)应满足波动方程,1、讯号场方程,(5.2.2),对速度取平均,讯号场,利用Eab(z,t)
9、为空间的慢变化条件，并令=0，可求得：,当入射光场与介质的有效作用距离为L时，信号场的振幅为,(5.2.6),因此，如果求出 ，就可以求出极化强度产生的讯号场,2、面积定理,它描述入射光场强相对于时间的积分(脉冲面积)在空间的演变情况。光脉冲在介质中传播，定义,(5.2.7),为光整个脉冲通过点z的脉冲“面积”。由物理意义知，E0(z，-)=E0(z，+ )=0。对于一个脉冲时间为，振幅为E0的方形脉冲，,脉冲面积和脉冲能量不同，通过z处的脉冲能量定义为,(5.2.8),McCall和Hahn发现，对于 T1、T2的强脉冲，A(z)所遵守的运动方程为（面积定理）,(5.2.9),其中,(5.2
10、.10),这就是正常吸收的比尔(Beer)定律，即为介质的吸收系数。（2）对于高功率脉冲，可将面积定理改写为积分公式,（1）对于弱的光脉冲(小的面积)，则有sinAA，式(5,2,9)的解为,(5.2.19),因此，光脉冲在介质中传播的光强为,(5.2.20),在z 时，A(z)有极限,(5.2.21),积分后得,或,(5.2.22),(5.2.23),对于A(0)的起始脉冲,其面积向最近的偶数倍值接近，此后面积不变。,共振吸收介质。z轴以/ cm为单位,当A(0)=0.9时，脉冲随z的增大而减小，最后趋向零；而当A(0)=1.1时，脉冲趋向一个稳定的形状(其面积为2)，这和图5.4中最下面两
11、条线的趋向是一致的。,图5.5为计算机算得的当输入值为A(0)=0.9和1.1时脉冲形状的演变。图中时间标度为任意单位，z轴仍以/cm为单位。,(3)对于放大介质,0,从式(5.2.23)可以看出，对于给定的初始面积，随着z的增加，脉冲面积将趋向与其最近的奇数倍值，例如、3、5等等，并且达到稳定。如果将图5.4从右往左看(相当于仍取仅为正，将z取作-z，即光脉冲向左传播)，就属于这种情形。,(4) 数值计算和实验表明，如果超短光脉冲的初始脉冲A(0)范围为2（m-1/2) A(0)2(m+1/2)，m取整数，则此入射脉冲在吸收介质中传播时将分裂为m个分开的稳定的2 脉冲，这个过程一般在几倍于z
12、的距离内完成。超短脉冲通过放大介质传播比通过吸收介质复杂，这里我们不进行讨论。,5.3 自感应透明,其振吸收介质对入射的强短激光脉冲的透过率与光脉冲的面积值大小有关。从面积定理中知道，当入射光脉冲面积为的偶数倍时，光脉冲在共振吸收介质中传播其面积值不变，即介质对光脉冲呈现出完全透明的特点。事实上，只要入射光脉冲面积大于，则经过几个经典吸收长度后将达到某种稳定状态（的偶数倍)，此后脉冲形状、宽度和能量都将保持恒定，但脉冲在介质中的传播速度明显低于光在该介质中的传播速度，甚至可以减小几个数量级。,强短激光脉冲与共振吸收介质交换能量的过程可以用布洛赫矢量的运动来说明。设开始时原子处于下能级,上式说明
13、，B矢量在-k轴上。 = ab。对于运动速度vz=0的原子来说，=0，则只有-i分量，| |= ，即光场作用于介质时， B在绕着- i轴在j-k平面内旋转，角速度,(5.1.25),受到线偏振光场Ex=E0cost的作用。共振情况下，对=0， B的三个分量为,当(z,t)= /2时，w(0,z,t)=0，表示上下能级粒子数相等，此时B矢量在-j轴上。当(z,t)= 时，w(0,z,t)=-w(0)=1，表示介质吸收了脉冲，使原子跃迁到上能态，此时B矢量在k轴上。当(z,t)=2时，w(0,z,t)=w(0)=-1，原子又回到下能态，同时放出光能，这样，光脉冲的总能量并不变化。,(5.1.27)
14、,因此，自感透明效应的物量图象是，当2脉冲入射到介质中时，脉冲的前半部分被介质吸收，造成粒子数反转状态，处于粒子数反转状态的介质在脉冲后半部分作用下产生受激发射，将吸收了的光能又重新放出来，使得脉冲的能量和形状在传输过程中保持不变。利用麦克斯韦方程和布洛赫方程可以求出2脉冲的形状函数。自感透明的稳态脉冲E0(z,t) 的形式为双曲正割函数,式中为脉冲宽度，v为脉冲的传播速度，且,(5.3.7),(5.3.8),式中为由式(5.2.10)所表示的吸收系数。g()为线型函数。对非均匀加宽,(5.2.16),假设均匀加宽，原子为宽带跃迁，有h ，得到,对均匀加宽,(5.3.9),(5.3.10),可
15、见vc/n，即强短脉冲在共振吸收介质中的传播速度小于光在该介质中的传播速度。例如，对于吸收系数z10-2cm-1的气体介质，脉宽 10-5s，n=1，则由式(5.3.10)得到v 2107cm/s，比光速小了三个数量级。,Hg激光光源，=794.77nm，=710-9s(介质的T14010-9s，T25510-9s)。图中实线是不考虑驰豫算得的理论曲线，黑点是实验值。,高强度脉冲,透过率可达约90%,=1518ns，晶体厚0.97cm，Cr3+质量掺杂比为0.03%，样品置于液氮温度(1.72.2K)以尽量增大T1值和T2值。由图中可以看出，当入射光脉冲面积满足A0 2时，透过率趋近于1，亦即
16、对应自透明情况。,在放大介质中传播，稳定的面积为A= 、3、5，其传播规律可以使用图5.4和图5.5，只是脉冲沿传播方向的变化现在用图中-z的方向运动来描述。在放大介质中，面积为(或的任一奇数倍)的脉冲使初始被激发的原子回到低能级，因此脉冲的能量随着距离的增加而增加。直到和介质中的线性损耗达到平衡为止。由于脉冲面积是常数，因此，随着脉冲能量的增加，脉宽必然逐渐变窄，图5.5沿-z方向就描述了这一情形，所以在放大介质中就不像在吸收介质中那样有一个稳定的脉冲形状。,在吸收介质中，初始脉冲面积必须大于的阈值条件才能发生自透明现象，对于放大介质，阈值条件是不存在的。在放大介质中脉冲传播的速度比光速快，
17、在式(5.3.10)中令 0即可证明这一点，但这并不违反爱因斯坦狭义相对论，因为信息并不能在脉冲上传播。,5.4光学章动,如果以一个前沿上升时间极短的方型强激光脉冲入射到共振吸收介质时，发现经过介质后的透射光脉冲将不再是简单的方脉冲，而是再脉冲的前沿呈现出周期性的减辐振荡，光学章动。,光学章动效应是核磁共振技术中自旋章动效应在光频范围内的表现。利用布洛赫方程和讯号场方程找出透射光的数学表示首先不考虑驰豫的影响。,(5.1.12),令T1，T2，得到,开始时原子处于下能级,(5.4.1),B矢量在-k轴上。当光场作用于介质时，B绕 转动， =-i+ k，转动角频率,(5.4.2),在t时刻， B
18、(0)转过了t角到了B(t)位置，如图。在忽略弛豫情况下， B(t)应满足式(5.1.19)，即,(5.4.3),可解出,在精确共振情况下，有=0，=-i，=,上式变为,(5.4.4),(5.4.5),样品分子在上、下能级来回跃迁,非共振时， ，w(t)1，低能态上的分子在入射光作用下不能完全被激发到高能态,求透射光，需求出信号场振幅,再将对vz的积分转换为对共振调谐参量的积分，有,(5.2.6),(5.2.3),其中,由(5.1.11)知,(5.4.6),(5.4.7),首先假设入射激光的谱线宽度远小于介质分子的多普勒线宽kvp，所以高斯分布函数可直接移出积分号外；其次假设入射激光的频率十分
19、靠近多普勒谱线的中心位置，即 = 1值很小，正负取值分布可看成对称，故可近似认为0，于是,近似处理,(5.4.8),信号场振幅为,(5.4.9),由上式可以看出，透射激光场是一个以 t为变量的零阶贝塞尔函数。当 t 1时，J0( t)可用相应的三角函数近似代替，因此透射激光场振幅随时间近似以 为频率作周期性振荡起伏。在矢量图上，B矢量在抽象空间的运动是章动，反映了原子在上下能级间的变化情形。,按式(5.2.4)，样品产生的讯号场为,(5.4.10),当考虑驰豫的影响时，布洛赫方程难于得到解析解。如果假定T1=T2=T，可得到一个分析解。经过类似的推导过程,可求得,(5.4.11),可见，当考虑
20、驰豫的影响时，出现了衰减因子,表示讯号场振幅具有以J0( t) 这一较慢频率的振荡，同时又以e-t/T的形式衰减。 以上表示了在入射强光场的作用下，共振介质通过感应电极化而辐射出的瞬态相干波场。,式中E0入射光振幅。一般说来，EabE0，因此,通过样品后的总透射光强可表示为,(5.4.12),随时间而变的透射光强为第二项,(5.4.13),上式表示发生光学章动效应时，瞬态透射光强呈现出阻尼式周期振荡，振荡频率为 。对于普通弱光场入射，因E0值过小， 值也很小，因此观察不到这种效应。,前面的分析是针对具有宽的非均匀加宽线的介质进行的。对于较窄的非均匀加宽介质或以均匀加宽为主的介质，可以证明，透射
21、光强依然呈周期性时间起伏变化，只是表示式和式(5.4.13)有所不同，表明起伏振荡的时间阻尼特性各不相同。因此通过光学章动效应研究可以间接了解被测共振介质的谱线加宽性质和时间驰豫特性。,5.5 光学自由感应衰减,当某种介质受一恒定的共振激光场的作用，经过一段时间达到稳定状态后，突然终止这种作用，由于共振介质内的感应极化波场并不马上消失，而是继续辐射出相干波场，只是光强随时间很快衰减，这种现象称为光学自由感应衰减。由于介质是被相干激发的，所以光学自由感应衰减与一般的自发辐射具有不同的性质：前者的强度与介质粒子数密度的平方成正比，它只发生再前进的方向上。,仍用布洛赫方程和讯号场方程找出自由感应衰减
22、光的数学表示式。我们将介质在光照射下的稳定状态(称为稳态预置)作为初始状态，在稳态预置阶段，所以在t0时，布洛赫方程(5.1.12)为,(5.5.1),解上式可得t=0时B的三个分量值,(5.5.2),假设稳态预置阶段是由stark电场所致，则再t0阶段，令stark电场消失，介质分子的跃迁频率偏离了0，因此调谐参量,(5.5.4),由于光场与介质不在满足共振条件，可略去的项，于是布洛赫方程为,(5.5.4),求解方程得u(t)、v(t)、w(t)。为求通过样品得讯号场振幅，需计算,作5.4节类似处理得 Eab(L,t),若信号和激光同时探测，则总的输出光强中随时间变化部分为,(5.5.8),
23、(5.5.9),表明，在采用连续激光入射和使用Stark电场调制方法t=0时突然结束稳态共振相互作用前提下，由于自由感应衰减过程的存在，使得透射光强是一个强激光辐射的背景上叠加上一个指数衰减信号，这个信号又受到一个以Stark频移0 为频率的余弦函数的调制。自由感应衰减信号比光学章动效应产生的信号衰减要快得多。,(5.5.9),透射光强依指数规律衰减，并以Stark频移的频率作拍频振荡。图中信号显示出由下向上的缓慢变化，是由于这一信号是叠加在第二个光学章动信号之上的缘故。,实验结果,图5.11所示的第二个章动信号和本节所讨论的自由感应衰减信号都是在关闭Stark场之后产生的，但两个信号的产生机
24、理并不相同。前者仍然是在光场的作用下产生的，只是由于关闭了Stark 场，原子的吸收谱线的轮廓由图5.13的实线位置移到虚线位置，光场和速度为vz的那群原子失去了共振作用，而和速度为vz的那一群原子发生了共振。因此，第二个光学章动信号的光频为激光频率，信号的振荡频率为 ，衰减因子为e-t/T2。,关闭了Stark 场，原子的吸收谱线的轮廓由图5.13的实线位置移到虚线位置，光场和速度为vz的那群原子失去了共振作用，而和速度为vz的那一群原子发生了共振。,自由感应衰减信号仍然是由速度为vz 的那一群原子发射的，但脱离了光场作用，并且由于Stark 场关闭，产生了频移0 ，所以这部分原子发射自由感
25、应衰减信号的光频为= + 0，信号的调制频率为，衰减因子为,5.6 光子回波,在满足相干作用的条件下，如果有两个强短光脉冲相继入射到共振吸收介质中，其中第一个脉冲为/2脉冲，第二个脉冲为脉冲，两个脉冲的间隔满足 sT2、T1条件，则在第二个脉冲,通过介质后的一定时刻(约近似等于s)，介质将在空间确定方向上发射出第三个相干定向光脉冲，这第三个光脉冲，就是光子回波脉冲,光子回波强度、出现的精确时刻、光谱结构等性质，与共振介质的能级结构、跃迁参数、驰豫时间和光谱共振特性等因素有关。光子回波现象是核磁共振技术中自旋回波现象在光频范围内的反映。下面首先利用布洛赫矢量模型定性地解释光子回波现象。当激发的光
26、脉冲进入共振介质之前，因介质内没有宏观电极化强度出现，原子处于基态，即u=0，v=0，w=-1，B指向-k方向，此时因宏观电极化强度为零，介质不辐射光。,当第一个脉冲(/2脉冲)入射时，由于脉冲光强很大，且在近共振条件下，使得，因此由分量决定，各种不同速度的粒子群的布洛赫矢量B均绕-i轴转/2角，转到-j轴上，此时介质宏观电极化强度具有最大值，能辐射光，与入射光混在一起。,由于各原子群速度的大小和方向不同，转动的结果使得不同原子的B在i-j平面内逐渐分散开来，这一阶段称为多普勒消相过程，即由于介质的原子谱线的非均匀加宽影响，使得不同种类的原子电偶极矩间逐渐失去同位相关系。,/2脉冲结束后，外场
27、为零，即=0，此时由分量决定。这时各速度不同的粒子群的B矢量以不同的角速度j绕k轴转动，直到第二个脉冲入射。各群粒子的B矢量在i-j平面上转动的角度为js，,这样一来，原来在i-j平面上的旋转较慢的B的矢量(如Bs和Bs)反而比旋转较快的(如Bf和Bf)“跑”在前头。从图中可以看出，脉冲的作用，是使各个原子的感应电偶极矩之间的失位相过程正好发生逆转，而不是使共振介质的高低工作能级的粒子数分布发生反转。,经过时间s，第二个脉冲(脉冲)入射，此时，因此脉冲使各个B矢量绕i轴旋转1800,第二个脉冲结束后，各个不同的B矢量又将以不同的角速度j绕k轴旋转，经过时间后，Bf和Bf好赶上了Bs和Bs，并同
28、时到达了j轴的正方向。,此时，所有原子偶极矩恢复到同位相，这一阶段为多普勒消相的复相过程。由于宏观极化强度重新恢复为极大值，并辐射出第三个光脉冲，即光子回波脉冲。,由上面的分析可知， /2脉冲使介质粒子处于激发状态(w=0，上、下能级粒子数相等)，介质从入射光场中吸收了相干能量。经过了第一个s时间后，由于多普勒增宽，各群粒子失去了同位相，即不同粒子的感应电偶极矩间的同位相关系逐渐失去，因此宏观极化强度也随之减弱。第二个脉冲入射的结果，主要是使不同感应电偶极矩间的失同相位过程发生逆转，从而在经过大约s时间后，使得介质的宏观极化强度因重新恢复同位相而达到极大，并相应地辐射出第三个光脉冲，即光子回波
29、脉冲。,应用布洛赫方程对光子回波进行理论计算。将光子回波发生的过程分为四个阶段，并设入射光脉冲均为矩形波仍采用Stark开关控制原子的中心跃迁频率。在0t1和t2t3时间内，Stark电场加上，光场和原子能级共振，调谐参量为 ，介质表现为光学章动行为；在t1t2和t3t4时间内，Stark场去掉，光场和原子能级偏离共振，调谐参量为 = + 0 ，介质表现为光学自由感应衰减的行为。,方程(5.1.12)在T1，T2时，在初始条件Bu(0),v(0),w(0)条件下，并令w0=aa0- bb0=0，则解为,(5.6.2),在0t1阶段，初始条件为B=0,0,w(0)，上式(5.4.4)光学章动,在
30、t1t2的光学自由感应阶段，初始条件为B=u(t1),v(t1),w(t1)，(5.5.6)中令w0=0，可得t2时刻B的各分量,(5.6.3),(5.6.4),式中,(5.6.5),在t2t3的光学章动阶段，初始条件为B= u(t2),v(t2),w(t2)，由(5.6.2)可得t3时刻B的各分量,(5.6.6),(5.6.7),从u(t)与v(t)可以求得 ， 讯号场振幅以及总光强中随时间得变化部分。由于EabE0，所以随时间得变化部分即拍频项为,在t3t4 的光学自由感应阶段，初始条件为B=u(t3),v(t3),w(t3)，类似(5.6.5)，可得t3时刻B的各分量,(5.6.5),式
31、中0为Stark频移，表示对共振调谐参量（从而也是对原子运动速度）取平均,(5.6.9),(5.6.10),光子回波的特点：（1）当10= /2， 32= 时，It(t)达到极大值。即第一个光脉冲为 /2脉冲，第二个光脉冲为脉冲，光子回波最大。,（2）当t=t 时，光子回波强度最大。由式(5.6.10)和图(5.16)可知，t时刻正是图中所标t4时刻，即当第二个脉冲结束以后经过s时间发出了光子回波。(3)在光子回波条件下，即10= /2， 32= ，t=t，式(5.6.9)简化为,(5.6.11）,可见，光子回波的振幅Eab按时间常数T2以指数规律衰减，T2与快速的非均匀多普勒消相过程无关。同时，振幅正比于原子密度N，而强度正比于N2,
