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1、3.2均值不等式,懒惰的孩子享受现在，勤劳的孩子展望未来！,学习目标：,知识与技能： （1）理解并掌握均值定理及其推导， （2）培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力。 （3）会用均值不等式进行简单证明和求最值。 过程与方法： 渗透数形结合的思想方法。 情态与价值： 通过本节的学习，体会数学来源于生活，通过数学思维认识世界，提高学习数学的兴趣。,学习重难点：,学习重点：理解均值不等式。学习难点：均值不等式的应用。,小明把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得质量为 ，但是后来发现天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的质量。于是小
2、明作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得质量为b。,情景引入,最后，小明把两次称得的物体的质量“平均”一下，把 作为物体的重量。,思考：小明得到的是实际重量吗？如果不是，你能求出实际质量吗？小明得到的重量比实际值偏大还是偏小了？,由力学原理：设天平的两个臂长分别为 ，物体的质量为 ，则,(1),(2)相乘再除以 得,与 哪个大？,概念形成,概念1：算术平均数与几何平均数,设 是两个正数，则 称为 的算术平均数。 称为 的几何平均数。,下面我们比较这两个数的大小,当且仅当 时取等号。,即：,语言表述为：任何两个正数的算术平均值不小于它的几何平均值。,均值定理：,如果a,b R+
3、, 那么 当且仅当a=b时，式中等号成立。,注意：,1、适用条件：,2、等号成立的条件：,当且仅当a=b时，式中等号成立,1.不等式成立的条件是：,几点重要说明：,3.证明方法采用的是做差比较法（这是通法）,4.几何解释：我们令正实数 为两条线段的长，用几何作图方法做出长度为 和 的两条线段。,具体操作如下：,2.注意不等式取等号的条件,半径不小于半弦,应用举例,提示：设矩形的长、宽分别为x（m）、y（m）。,结论1：两个正数积为常数时，则和有最小值,结论2：两个正数和为定值，则积有最大值,用基本不等式求最值的必须具备的三个条件： 一“正”、二“定”、三“相等”。,结论：利用均值定理可以解决一
4、类求最值问题,例3.下列函数中,最小值为 4的是 .,y=e2x+ 4e-x(x0),y=log3x+logx81(x1),一正,二定,三相等,能力提升,能力提升,应用均值不等式求最值的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.,反馈练习,1.下列函数的最小值是2的是_,1算术平均数与几何平均数的概念；,2均值不等式及其应用条件；,3用均值不等式求最值的必须具备的三个条件： 一“正”、二“定”、三“相等”。 当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；,课堂总结,布置作业,课本第71页，练习A，2 第72页，练习B，5,
