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1、塑性力学05,1,t课件,第五章 球对称和轴对称的弹塑性问题,5-1 理想弹塑性材料的厚壁球壳,问题的描述与分析,问题: 内径为 ,外径为 球,受内压力 ,求弹塑性极限荷载.,分析:很显然它的应力和位移场是球对称的, 采用球坐标.,应力场:,应变为,显然,这就是说,在加载过程中 应力和应变主方向是重合的, 并保持不变, 那么加载是简单加载, 适用全量理论.,2,t课件,球对称问题的平衡方程, 应变连续方程和边界条件,平衡方程为(不考虑体力):,应变分量为,这里 是径向位移.,它们应满足应变连续性方程,边界条件为,1. 弹性状态,首先建立位移表示的平衡方程.,球体处于弹性状态, 根据广义Hook
2、e定律,然后用应变表示应力得到:,3,t课件,把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程:,解这个方程得,利用边界条件得到,最后得到位移解为:,4,t课件,可以得到应力分量,求弹性极限压力. 根据球壳的屈服条件(例2-3)即,将上面的应力分量代入屈服条件得,从上式可以看出在球壳内壁最先屈服, 令 得到弹性极限压力:,从上式可以看出,当 时, , 这说明如果使球壳处于弹性工作状态, 那么无论壁厚增加多少也不能提高它的承载能力.,5,t课件,2. 弹塑性状态,当压力 时,球壳内壁开始屈服并向外扩展到半径 处,如果材料是理想弹塑性, 在塑性区应力仍要满足平衡条件,此时考虑到屈服条件 ,因此有,积分得到
3、,根据边界条件,得到积分常数,得到塑性区的应力为,弹性区的应力把前面的弹性解中的 即可,6,t课件,考虑到在交界面处 要连续, 所以得到 和 的关系式.,3. 塑性极限状态. 上式令 , 球壳全部进入塑性得到塑性极限压力为,此时塑性区的应力为,7,t课件,5-2 棒材的拉拔加工,1)问题说明见图2)假定条件 理想弹塑性无摩擦,接触面是主平面,塑性变形向o点径向流动,并且稳定.,3)可以看成球壳的一部分,全部进入塑性状态,可以利用上面解球壳的思路. 平衡方程不变.屈服条件的形式不同, 因为在拉拔情况, , 屈服条件为 代入平衡方程得到,8,t课件,解这个方程得到:,由进口截面处的边界条件 得积分
4、常数为,解得应力分量为,4)求解出口截面的拉拔应力为,那么拉拔力为,5)定义截面减缩率为,可以求得拉拔时最大减缩率.,因为材料是理想弹塑性, 出口截面处的拉拔应力不能超过屈服应力, 所以有,这样得到,那么最大减缩率为,9,t课件,5-3 理想弹塑性材料的厚壁圆筒,问题的描述: 分析内径为 ,外径为 的厚壁圆筒,在其内表面受内压为 .假定是不可压缩的理想弹塑性材料, 并限定为平面应变问题.取柱坐标,使 轴与筒轴线重合.,1)弹性状态 弹性应力解为(由于材料不可压缩 ):,那么根据Mises屈服条件得到弹性极限压力为:,应力强度为,即,因此可见最大应力强度发生在内壁处.,10,t课件,2)弹塑性状
5、态 令 是弹塑性交界面的半径. 首先我们分析一下在塑性区的应力分量的关系. 因为材料的不可压缩, ,又因为的平面应变 ,这样根据简单加载的全量理论有,因此得到,另外根据筒的受力性质知道 是拉应力, 是压应力,所以应力强度,根据塑性区是理想弹塑性所以Mises屈服条件有,平面轴对称问题的平衡方程为,这样由屈服条件和平衡方程得到,积分得到,再由边界条件,得积分常数,11,t课件,这样得到塑性区的应力:,弹性区的应力,可以利用弹性状态的解令,交界面应力连续得到,这是 和 的关系式.,3) 上式令 ,得到塑性极限压力:,此时塑性区应力为:,12,t课件,4)残余应力的计算. 厚壁圆筒在进入塑性状态以后
6、, 将内压力全部卸载, 此时卸载的荷载变换为 ,按弹性计算得到变化的应力, 这样用卸载前的应力减去这个变换应力就得到残余应力.用图来表示(残余应力只给出环向应力)为:,从残余应力图中看出,内壁有残余压应力, 这就是对厚壁圆筒施加了预应力, 从而可以提高筒的压应力.这种利用预加塑性变形来提高结果承载能力的技术在工程中被广泛使用.,13,t课件,5)变形计算. 考虑平面应变和小变形, 建立位移方程并求解.因为,又根据几何方程,就可以得到,解为,注意,这里推导没有涉及应力应变的关系.,也就是这个解适用弹性区和塑性区.,现在根据弹性区的应力应变关系来定积分常数B. 把弹性区的应力分量代入Hooke定律
7、, 考虑到,另外由位移得,比较这两个式子得,14,t课件,最后得到位移和应变为,5-4 硬化材料的厚壁圆筒,1)我们要注意与理想弹塑性材料的不同是屈服条件有什么变化?硬化条件是什么?对于这个问题,这个问题适用全量理论, 由单一曲线假定 ,所以有,2)上一节在变形计算中结果有,15,t课件,它仍然适合这个问题,所以应变强度为,3) 有了上面两点我们来求解硬化材料情况下的问题,将上式从 积分,并考虑到边界条件,也就是,这里常数B可以按照内壁的半径条件 来定.,16,t课件,4) 如果有,即,代入上式积分可得,再积分,再把B代入得到应力为,以及,17,t课件,5-5 旋转圆盘.,问题描述:,半径为
8、的等厚薄圆盘, 理想弹塑性材料, 绕圆心 等速旋转. 由于离心惯性力盘内产生应力应变. 因为盘薄认为垂直薄盘的应力 为零, 可以简化平面应力问题,又因为轴对称,所以剪力为零, 这样 和 为主应力. 主应力和位移的关系为 平衡方程为,1. 弹性状态 按位移求解, 通过Hooke定律用位移来表示应力, 然后再代入平衡方程得到关于位移的一个微分方程,该方程的解为:,18,t课件,根据半径条件来定A和C积分常数. 因为圆心的位移有限所以C必须为零, 另外在圆盘的外边缘的应力 ,可以确定,这样就确定了弹性阶段的位移和应力:,下面来求弹性极限转速. 用Tresca条件, 知道,这样屈服条件为,显然在圆心处
9、 最大首先屈服,即,得到弹性极限转速:,19,t课件,2. 弹塑性状态 当 时, 圆盘从圆心向外进入塑性, 假设弹塑性分界线的半径为 在塑性区根据平衡方程,和屈服条件,有,积分得到,因为圆心应力有限即D=0.,所以塑性区的应力,在弹性区,可以看作为内径为 , 外径为 的空心旋转圆盘.,此时在 处已经屈服有:,径向应力要连续有:,此时在 处的边界条件为:,20,t课件,另外在前面弹性状态分析时我们已经解得弹性位移解为,这样可以求得应力分量,它们包括 待定常数,由上面三个边界条件就可以确定它们. 最后可以得到弹塑性状态时的弹性区的应力和转速.下面给出转速,3. 塑性极限阶段当 时, 整个圆盘进入塑
10、性状态.我们在上式令 即得到塑性极限转速,21,t课件,5-6 圆板的轴对称弯曲,1.基本方程,问题描述: 轴对称荷载作用下圆板的弯曲问题.材料为连续弹塑性. 采用圆柱坐标, 具体尺寸见图.板的变形仍保留Kirchhoff假设, 又由于对称性,板的挠度 只是 的函数,有,因此得,考虑圆板的一个微小单元,由平衡条件可以得到两个平衡方程:,22,t课件,即,2.极限条件 当板进入屈服时, 其应力分量的值沿z向不变, 并且中面上下应力分量的符号相反, 因此有,考虑Mises屈服条件(忽略 对屈服的影响),那么就有:,其中,这是用广义力表示轴对称圆板弯曲的Mises屈服条件.,23,t课件,如果用Tr
11、esca条件可能比较方便.不考虑 的影响,Tresca条件可以写成,也可以证明它的广义力的表达式为:,下面举例说明求塑性极限荷载.,例题5-1周边简支,半径为 承受均匀荷载的圆板.求塑性极限荷载和速度场.,弯矩的最大值在原点处,并且, 显然,根据Tresca条件,首先在原点屈服,考虑弯矩都大于零,在塑性极限状态它在图中的A点.在周边,相当于图中的B点.因此可以设想板的屈服过程是沿AB线进行.,24,t课件,根据分析这个问题的Tresca条件为,根据平衡方程可得,其解为,考虑在原点处 有限, 所以 .又考虑到边界条件 就得到均布荷载的简支圆板的塑性极限荷载:,关于板的塑性变形问题:,按流动法则,对于AB边有,故有,25,t课件,此方程也可用速率表示,它的解为,由 ,得 , 所以上式变为,这里 是 处 的值, 它是不确定的,因为在塑性极限状态时,板的变形是不受限制的, 其变形形状如图.,26,t课件,
