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1、第四章 塑性本构关系全量理论和增量理论,塑性模型三要素,屈服条件,流动法则,硬化规律,判断何时达到屈服,屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值,决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小,第四章 塑性本构关系全量理论和增量理论,引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系问题还没有得到满意的解决.现在广范采用的理论分为两大类:(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Ilyushin (伊柳辛)理论.(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间有关系.有Levy-M
2、ises(莱维-米泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.,4-1 建立塑性本构关系的基本要素,Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素:,(1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件.其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.,4-2 广义Hooke定律,在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为,也可以表示为:,我们来证明一下:,由应力和应变的分解式,即,代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到,所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.,所以也可写成如下形式,当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写
3、成增量形式,这是七个方程,第二个式子是六个方程,但因为有 , 所以有5个是独立的.从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.,第二式也可以写成 ,把它代入应力强度的表达式就可以得到下面的第二式, 然后有 再代回上面第一式得到下面的第二式.,4-3 全量型本构方程,Ilyushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:,(1) 体积变形是弹性的, 即,(2) 应变偏张量和应力偏张量成比例,这个假定就是应力和应变的定性关系
4、, 即方向关系和分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指应变偏量和应力偏量成正比。,简单加载（简单变形）：各应力分量按同一比例增加，此时应力主轴方向固定不变。由于应变增量的主轴方向和应力主轴方向重合，应变主轴也始终不变。1924年汉基提出了不包括硬化的全量关系。形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数等于什么?,因为应力强度和应变强度的公式为:,把 代入上面右式并考虑上面左式得到,(3)应力强度是应变强度的函数 , 即按单一曲线假定的硬化条件.,综上所述, 全量型塑性本
5、构方程为,注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加载的标志是应力强度 成单调增长. 下降时为卸载过程, 它时服从增量Hooke定律.,4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法,设在物体 内给定体力 ,在应力边界 上给定面力 , 在位移边界 上给定位移为 , 要求确定物体内处于塑性变形状态的各点的应力 , 应变 和位移 .按照全量理论,确定这些基本未知量的基本方程有,平衡方程,几何方程,本构方程,其中,边界条件,这就是对于全量理论的塑性力学的边值问题.,4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律,全量理论适用小变形并且是简单加载. 那么上面是简单加载? 理论上指在加载过程中物体每一
6、点的各个应力分量按比例增长. 即,其中 是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数.这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方向都保持不变.,但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过程是简单加载? Ilyushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以证明物体内所有各点是处于简单加载过程:,(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.,(2) 材料是不可压缩的.,(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系, 即,这就是Ilyushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.,4-6 卸载定律,从单向拉伸实验的应力应变曲线看:加载至过弹性极限达到A点
7、,然后卸载至B点, 此时总应变 的弹性部分 中的部分应变 得到恢复,塑性应变部分 要被保留下来.此时的应力和应变的改变量, 即B点的应力和应变为,因为卸载要服从弹性本构关系, 即 . 这就是说,我们可以由因为卸载引起的荷载的改变,量 按弹性计算得到.,推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 减小)得到: 卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减去卸载时的荷载改变量 为假想荷载按弹性计算所得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量.,使用卸载定律要注意两点:,卸载过程必须是简单加载, 即卸载过程中各点的应力分量时按比例减少的; 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 即卸载不引
8、起应力改变符号而达到新的屈服.,由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应变, 而且还有残余应力.,4-7 Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性. 全量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本构关系, 一般是不正确的. 所以作为描述本构关系应该是它们的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也就是流动法则. 这里介绍两个增量理论. 即Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则.,Levy-Mises流动法则 假设：（1）材料为理想刚塑性材料，即弹性增量为0；（2）材料符合Mis
9、es屈服准则；（3）塑性变形时体积不变；（4）应变增量主轴和应力主轴重合；（5）应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即,式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为Levy-Mises流动法则.,2. Prandtl-Reuss（普朗特劳斯）流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴重合（塑性应变增量与应力的关系和Levy-Mises方程相同）. 即,又由塑性不可压缩性,体积变化是弹性的,有
10、,这就是Prandtl-Reuss流动法则,p,4-8 理想弹塑性材料的增量本构方程,对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若采用Mises条件, 则应有 求微分有,又因为应变比能的增量为,上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为,这样考虑Prandtl-Reuss（普朗特劳斯）流动法则有:,所以有,理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为,4-9 理想刚塑性材料的增量型本构方程,理想刚塑性材料的Levy-Mises流动法则为,把它代入Mises屈服条件,得到,现在定义应变增量强度为,那么,理想刚塑性材料的增量型本构方程为:,4-10 弹塑性硬化材料的增量型本构方程
11、,对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型, 取Mises屈服条件, 即,(对于理想弹塑性Mises条件为 ),去掉弹性,理想弹塑性,上式微分得到,是函数 对自变量的导数, 有简单的物理意义, 见上图.在线性强化时 时常数.由把Levy-Mises流动法则代入塑性应变增量强度 的公式得到,所以,将上面得到的 代入Prandtl-Reuss（普朗特劳斯）流动法则就得到弹塑性硬化材料的增量型本构方程:,或写成:,例题3-1 如图所示, 一薄壁圆管,其材料的拉伸硬化曲线为线性.试根据增量理论分别对下列三种加载路径求管的总轴向应变 和切向 应变,屈服曲线,先拉后扭OAB先扭后拉OCB拉扭同时,并保持比例
12、,如图OB.,解: 根据题意薄壁圆管的应力只有 , 其它为零.应力强度为 ,那么Mises屈服面是一椭圆:,每一加载路径分为弹性和弹塑性两个阶段, 在弹性阶段本构关系有:,在弹塑性阶段本构关系有:,下面分三个路径进行计算.,屈服曲线,(1) OAB路径,分OA和AB段.,OA段是弹性阶段, A点是屈服点, 则有,AB段是弹塑性阶段, 保持不变, 变化, 其它应力分量为零, 则有,从Mises屈服条件得,将这些量代入弹塑性本构关系, 并沿路径积分,则得,得到:,总应变为,(2)同理可得OCB路径总应变,(3)同理可得OB路径总应变,可以看到应力状态相同,由于路径不同所得应变状态不同.,屈服曲线,
13、4-11 Prandtl-Reuss假设的实验验证,Prandtl-Ress假设是应力主轴和塑性应变增量主轴是一致的, 也就是说应力Lode参数和塑性应变增量的Lode参数应该相等.为了验证这一点, W.Lode做了薄壁圆筒受轴向拉伸和内压力的复合抗力实验. 实验结果表明它们大致上是成立的.,4-12 增量理论的基本方程及边值问题的解法,问题的解法 在加载过程的某一瞬时, 已知 , 和外荷载的增量:,求:,基本方程 这些基本物理量必须满足增量型基本方程.,其中 是卸载或中性变载, 是加载.,边界条件,在弹塑性区交界面上还应满足一定的连续条件.,上述条件下可求出 这15个量, 然后叠加到原来的
14、上, 最后确定新的屈服面, 再求下一步增量.,4-13 全量理论与增量理论的比较,增量理论在加载过程中最后的应变状态取决于应变路径, 而全量理论不管应变路径. 特别是在中性变载情况, 两者相差最明显. 通过实验观察, 对中性变载不产生塑性应变的改变, 增量理论反映了这一特点, 而按全量理论只要应力分量改变, 塑性应变也要发生改变. 这是因为加载条件中的中性变载就是增量理论的塑性部分等于零.,增量理论在中性区可以保证应力应变的连续性, 而全量理论不能.,在小变形且简单加载的情况下, 这两个理论是一致的. 现在我们来证明一下,下面是这两个理论.,增量理论,全量理论,小变形且简单加载,简单加载各分量
15、成比例,代入增量理论公式,因为简单加载所以在加载过程中主方向不变,又是小变形,下面积分存在. 增量理论第一式有:,增量理论第二式有:,上面就证明了在简单加载,小变形情况下:增量理论=全量理论.,虽然增量理论比较合理, 但全量理论仍有很大的工程应用范围. 这不仅是因为全量理论适用于简单加载, 数学处理方便, 而且对于偏离简单加载一个相当大的范围全量理论也适用.,4-14 塑性势理论,前面所讨论的基本上是有Mises条件和Prandtl-Reuss流动法则建立的塑性本构关系.本节应用塑性势的概念讨论一般的屈服和流动问题. Mises在1928年把弹性势的概念推广于塑性力学以后, 使得塑性力学中的屈
16、服条件,硬化条件和塑性应变增量建立了联系.,传统塑性位势理论,传统塑性位势理论流动法则传统塑性位势理论剖析,4.14.1 传统塑性位势理论,Mises(1928)假设对于塑性流动，也存在着类同弹性势函数的某种塑性势函数Q(ij)，纯塑性流动方向与塑性势函数Q的梯度或外法线方向一致，这就是传统塑性位势理论。,式中Q(ij)的一般写成主应力1、2、3或不变量I1、J2、J3 或p、q、的函数；为一非负的比例系数。,可以看出，传统塑性势函数理论上是有条件的，既要存在满足上式的势函数，还要求应力主轴与塑性应变增量主轴一致。 上式只是一种假设，没有严格的理论证明，但用于金属材料已有大量实验证实而被公认。
17、,与德鲁克公设表达式比较，可以看出，服从于德鲁克公设的材料，塑性势函数Q就是屈服函数。即Q=，由此得到的塑性应力应变关系通常称为与加载条件相关联的流动法则。如果Q ，即屈服面与塑性应变增量不正交，则其相应的塑性应力应变关系称为非关联流动法则。,塑性势函数Q(ij)在主应力空间形成一个塑性势面；在子午面和偏平面上各形成一条塑性势线。,1.塑性势,弹性势 大家知道, 在弹性力学中应变和弹性应变比能有下列关系,即,式中 是弹性应变比能, 对理想弹性体它是正定函数, 称为弹性势. 若把 看成应力空间的一个等势面, 则上式可以理解为: 应变矢量的方向与弹性势的梯度方向,即等势面的外法线方向一致.,塑性势
18、 Mises在1928年提出了类似与弹性势的塑性势理论.他考虑到塑性变形的特点, 提出塑性势不仅与应力状态有关,而且与加载历史有关, 即 , 类似与弹性势有,式中 是一个非负的比例系数, 是标量. 如果 ,它在应力空间中表示的面就是等势面. 上式即表示塑性应变增量矢量的方向与塑性势的梯度方向, 即等势面外法线方向一致.,把屈服条件和本构关系联系起来, 称为联合流动法则.,回忆Drucker公设导出的式子,与上式比较很自然可取屈服函数作为塑性势函数,这样就是把屈服条件和塑性本构关系联合起来考虑, 所得的流动法则称为联合流动法则. 而 时则称为非联合流动法则.,2. 与Mises条件联合的流动法则
19、,对服从Mises屈服函数作为塑性势, 即,那么得到,把它代入 得到,将3归入 , 即,这就是Prandtl-Reuss流动法则.所以它可以看成由Mises屈服函数作为塑性势函数而得到的. 显然, 塑性势应变增量矢量的方向是垂直于Mises圆的 .,3. 与Tresca条件联合的流动法则,如果把Tresca屈服函数作为塑性势函数, 这个函数在应力空间是正六棱柱体, 导数在角点处不确定, 那么怎样来处理在这点的塑性应变增量的方向呢?这个问题的简单处理办法是取角点两则的塑性应变增量的线性组合.,我们来看一下B点塑性应变增量的处理.,在AB面和BC面塑性势分别取为:,那么在这两个面分别有,得B点的流动法则为,具体取什么值需在计算过程中确定.,
