第2讲频率及概率概念、古典概率课件.ppt

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1、一、频率二、概率三、概率的性质四、古典概率的计算五、几何概率,第2讲 概率的定义、古典概率,第2讲 概率的定义、古典概率,一、频率,1. 频率的定义 定义1：在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数 nA称为事件A发生的频数. 比值nA /n称为事件A发生的频率，记为fn(A)，即 fn (A)= nA /n.,历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。,实例1 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率， 发现各字母出现的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E:

2、 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006,频率稳定性的实例,实例2 近百年世界重大地震.其中“重大”的标准： 震级7级左右；死亡5000人以上.,世界每年发生大地震频率约为14%,实例2 近百年世界重大地震.其中“重

3、大”的标准： 震级7级左右；死亡5000人以上.,世界性大流感发生频率1/401/30,1918年 西班牙型流感 H1N1 亚型1957年 亚洲型流感 H2N2 亚型1968年 中国香港型流感 H3N2 亚型1997年 中国香港型流感 H5N1 亚型,实例3 近百年世界重大流感,4亿人感染 5000万人死亡20天传遍美国 半年席卷全球,李宇春,周笔畅,张靓颖,3528308票,3270840票,1353906票,实例4 2005年8月26日“超女”决赛,手机投票总数 8153054,李宇春 得票频率 43.27%,周笔畅 得票频率 40.12%,张靓颖 得票频率 16.61%,得票频率可被视为

4、获胜概率,实例5 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做7遍观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大，频率f 呈现出稳定性,在1/2处波动较大,在1/2处波动较小,结论 （1）频率有随机波动性，即对于同样的n，所得的fn(H)不一定相同； （2）抛硬币次数n较小时，频率fn(H) 的随机波动幅度较大，但随n的增大， 频率fn(H)呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率fn(H) 总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5.,一、频率,1. 频率的定义 2. 频率的性质,(1) 非负型：0 fn(A) 1； (2) 规范性：fn(S)1； fn( )=0； (3) 可加性：若AB ，则 f

5、n(AB) fn(A) fn(B).,第2讲 概率的定义、古典概率,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,二、概率,定义 将随机试验E重复作n次，其中事件A出现nA次,则事件A发生的频率为 若当n较大时，频率在某一个数p附近波动，则称p数为事件A在试验E下的统计概率.记作P(A)=p.,1.概率的统计定义,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便使用,说明 1) 一般用频率作为概率的近似值，这个定义并不要求所做的试验属于古典模型，因此便于在实际中应用，但要得到比较准确的概率近似值，需要做大量的重复试验.,2) 频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个从本质上反映事件在试

6、验中出现可能性大小的稳定值就是事件的统计概率.,如果事件 两两互不相容，则,可列可加性,二、概率的定义,1.概率的统计定义,2.概率的公理化定义,一、频率二、概率三、概率的性质,第2讲 概率的定义、古典概率,证 设,由概率的可列可加性得,显然,一、频率二、概率三、概率的性质,第2讲 概率的定义、古典概率,证 取,由概率的可列可加性得,3. 设A、B是两个随机事件，且AB，则,证,证,4. 对任意一个随机事件A，则,5. 对任意一个随机事件A，则,证,6.加法公式：对任意两个事件A, B, 有,证,A,AB B,由图可得,又由性质3得,因此得,推广 三个事件和的情况,n个事件和的情况,右端共有

7、项.,解 设A=小王能答出甲类问题, B=小王能答出乙类问题.,(1),(2),(3),例1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求 (1)小王答出甲类而答不出乙类问题的概率；(2)小王至少有一类问题能答出的概率；(3)两类小王问题都答不出的概率.,例2 设A , B满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何条件下，P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得., 最小值, 最大值,最大值在 时取得.,例2 中回答当 时, 取得最小值是否正确？,这相当于问如下命题是否成

8、立,答：不成立 ！,式是“羊肉包子打狗 ”有去路,没回路,为什么呢？学了几何概型便会明白.,一、频率二、概率三、概率的性质四、古典概率的计算,第2讲 概率的定义、古典概率,四、古典概率的计算,定义 如果随机试验E 具有下列特点： (1) 样本空间包含的基本事件的总数是有限个； (2) 每个基本事件等可能的发生.则称E 为古典(等可能)概型,设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:,计算公式,例3 （无放回地摸球）设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率.,样本空间包含的基本事件总数为,A所包

9、含基本事件的总数为,解,，由已知条件,例4（有放回地摸球）设袋中有4只红球和6只黑球，现从袋中有放回地摸球3次，求前2次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率.,解 A=前2次摸到黑球、第3 次摸到红球,第1次摸到黑球,第1次摸球,6种,第3次摸到红球,4种,例5 把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,解,例6 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章 ， 任选3个记录其纪念章的号码. （1）求最小号码为5的概率； （2）求最大号码为5的概率.,解 设A=任选3

10、个记录其纪念章最小号码为5,B=任选3个记录其纪念章最大号码为5.,由已知条件,所求概率分别为,解 设A=第1至第4个杯子各放一个球,由已知条件,例7 把4个球放到10个杯子中去，每个杯子只能放一个球，求第1至第4个杯子中各放一个球的概率.,所以,例8 在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少?,解 设A=取到的数能被6整除，B=取到的数能被8整除。,故所求概率为,由已知条件,例9（分房模型）设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（ ）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率: （1）某指定的k个盒子中各有一球； （2）某指定的一个盒

11、子恰有m个球( ); （3）某指定的一个盒子没有球； （4）恰有k个盒子中各有一球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.,解,设(1)(6)的各事件分别为 ，则,假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.,64个人生日各不相同的概率为,故64个人中至少有2人生日相同的概率为,解,分房模型的应用,1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验, 使其成为等可能概型.,3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例9.,2o 样本空间包含的基本事件总数随试

12、验设计的不同而不同，一般样本空间包含的基本事件总数越小越好.,若P(A) 0.01, 则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,( 即实际推断原理 ),例10 区长办公室在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的.,解 假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都是在周二、周四的概率为,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的，从而可知接待时间是有规定的.,一、频率二、概率三、概率的

13、性质四、古典概率的计算五、几何概率,第2讲 概率的定义、古典概率,五、几何概率,定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量（长度，面积，体积）相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为,(其中S是样本空间的度量， 是构成事件A的子区域的度量)这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概率.,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时，就归结为几何概率.,例11 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.,9点,10点,10分钟,分析 不妨认为此人听到报时的整点为10点，那么它打开收音机的时间应该在9点与10点之间.,

14、60分钟,解 所求概率,解 设 分别为甲、乙两人到达的时刻，则,例12（会面问题） 甲、乙两人相约在0到T 这段时间内，在预定地点会面. 先到的人等候另一个人，经过时间t (tT)后离去. 设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率.,那末两人会面的充要条件为,故所求的概率为,若以 表示平面上点的坐标，则有,例13 甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00. 假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到

15、达车站是等可能的.如果它们约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.,解 设x, y分别为甲、乙两人到达的时刻，则有,见车就乘的概率为:,甲、乙同乘一车充分必要条件为,最多等一辆车，甲、乙同乘一车的概率为,甲等多等了一辆车,乙等多等了一辆车,甲、乙乘同一辆车,小结,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,二、概率性质,小结,思考题,1. 从5双不同的手套中任取4只，求 (1) 恰有两只配成一双的概率？(2) 至少有2只配成一双的概率？ 2. n个人每人携带一件礼品参加联欢会。联欢会开始后，先把所有礼品编号，然后每人各抽取一个号码，按号码领取礼品。试求 (1

16、) 所有参加联欢会的人都得到别人赠送的礼品的概率；(2) 恰好k个人拿到自己的礼品的概率。,禽 流 感,H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性亚型，其中的H和N分别代表病毒表面的两种蛋白质，H是血凝素（hemagglutinin ) ，就如病毒的钥匙，它能打开和侵入人类或动物的细胞；N是神经氨酸酶(neuraminidase)，其作用是破坏细胞，使病毒在感染者体内自由传播。N蛋白共有9个类型，分为N1N9，H蛋白有15个类型，即H1H15，不同的N蛋白和H蛋白结合，组成不同的病毒类型，毒性和传播速度也不同。H5N1病毒就包括了H5蛋白和N1蛋白病毒的毒性很强，病禽的死亡率几乎可达10

17、0%。 H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性亚型，其中的H和N分别代表病毒表面的两种蛋白质，H是血凝素(hemagglutinin )，就如病毒的钥匙，它能打开和侵入人类或动物的细胞；N是神经氨酸酶(neuraminidase)，其作用是破坏细胞，使病毒在感染者体内自由传播。N蛋白共有9个类型，分为N1N9，H蛋白有15个类型，即H1H15，不同的N蛋白和H蛋白结合，组成不同的病毒类型，毒性和传播速度也不同。H5N1病毒就包括了H5蛋白和N1蛋白。H5N1病毒1961年首次在南非被发现，病毒的毒性很强，病禽的死亡率可达100%。 人类感染H5N1病例 1. 1997年8月，香港报告

18、了全球首个感染H5N1禽流感病毒死亡的病例，死者是个3岁男孩；在那次的禽流感爆发中，共有18个人受到传染，6人死亡，香港杀鸡150万只； 2. 2003年2月，香港再次出现H5N1病毒，两人受到传染，一人死亡； 3. 2003年12月，越南出现第一个人感染H5N1病毒死亡病例，死者是个8岁女孩。至今越南已经有92人受到传染，42人死亡，是所有受影响国家里受传染和死亡人数最多的； 4. 2004年1月，泰国报告第一个禽流感死亡病例，死者是个六岁男童。目前泰国共发生人感染禽流感病例20例，死亡13人； 5. 2005年7月，印尼出现首个人感染禽流感死亡，死者是一个38岁的男子、以及他的两个分别为1

19、岁和9岁女儿。印尼至今已经有9个受感染病例，5个人死亡。 6. 从2004年12月至今，柬埔寨报告了四个人受感染的病例，四人死亡。 上世纪爆发的全球性大流感 （1）西班牙流感 时间：1918年-1919年 病毒类型：H1N1型西班牙流感病毒 死亡人数:估计5000万人 引发原因：直接由变异的禽流感病毒进入人体而引起 最初爆发地点：美国，但是因为新闻媒体首先报道了西班牙的流感爆发，所以才被称作西班牙流感。 （2）亚洲流感 时间：1957年-1958年 病毒类型: H2N2型 死亡人数：100万人 最初爆发地点：中国，同年传遍世界 引发原因：禽流感病毒与人类流感病毒结合以后，禽流感病毒的基因进入了

20、人流感病毒中。 （3）香港流感 时间：1968年-1969年 病毒类型：H3N2型 死亡人数：75万人 最初爆发地：香港 引发原因：H2N2型流感病毒后来发生变化，形成的新病毒所引起,柯尔莫哥洛夫,1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，克服了概率古典定义与统计定义的局限性，使概率论有了迅速的发展. 1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士及皇家学会会员. 为20世纪最有影响的俄国数学家.,( A. H. 1903-1987 ),柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.他建立了在测度论基础上的概率论公理

21、系统, 奠定了近代概率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作; 1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等; 1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德, .西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.,