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1、,一、概率密度的概念与性质,第二章,三、内容小结,二、常见连续型随机变量的分布,第一节 连续型随机变量 及其分布密度 (3),一、概率密度的概念与性质,1.定义,对于随机变量X，若存在非负可积函数 p(x) ( xR), 使得X 的分布函数,则称X为连续型随机变量,且称,2. 密度函数的性质,(1),(2),( 非负性),( 规范性),(3),(6),(4),设X为连续型随机变量,证(3),还可得,(4) 对于任意可能值c ,连续型随机变量取 c 的概率等于零.即,证(4),注.,1,2,A = ,A = ,连续型随机变量的概率与区间的开闭无关,若连续型随机变量 X=a 是不可能事件,则有,若
2、 X=a 为离散型随机变量,连续型,离散型,例1,故有,解,(1) 因为 X 是连续型随机变量,二、常见连续型随机变量的分布,均匀分布,X Ua,b,正态分布,指数分布,1. 均匀分布,(1) 定义,分布函数,(2) 均匀分布的性质,若 X Ua,b，则,(3) 均匀分布的含义,背景：几何概型,设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”,解,即 A= X 3 .,例2,因而有,设Y 表示对 X进行3次独立观测中, 观测值大于3的次数,则,2. 正态分布(或高斯
3、分布),高斯资料,(1) 定义,(2) 正态概率密度函数的几何特征,-,正态分布的分布函数,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,(3) 正态分布下的概率计算,原函数不是初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算,方法二:转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,性质：,x,-x,可得,则其分布密度,可查表2，得,如：,情形1.,计算方法：,解,例3,情形2.,证 ,例4,某地
4、抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制), 服从正态分布，平均成绩为 72分，96分以上占考生总数的2.3%, 试求考生的外语成绩在 60分至 84分之间的概率.,解,依题意，考生外语成绩 X,查表，知,查表，得,3. 指数分布,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,分布函数,设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,X
5、的分布函数为,解,例5,指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,三、内容小结,2. 常见连续型随机变量的分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度;炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量.,3. 正态分布是概率论中最重要的分布,另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理论上,正态分布是概率论中最重要的
6、一种分布.,二项分布向正态分布的转换,解,例1-1,备份题,解,则有实根的概率为,例3-1,(1) 所求概率为,解,例7-1,例8-1,某仪器装有3支独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数分布，分布密度为,试求在仪器使用的最初 200小时内，至少有一支电子元件损坏的概率.,解,设 Xi= 第 i 支元件使用的寿命 ( i =1, 2, 3 ),B,Ai= 在仪器使用最初200小时内，,第 i 支电子元件损坏 ( i =1, 2, 3 ), 在仪器使用最初200小时内，,第 i 支电子元件未损坏 ( i =1, 2, 3 ),设 Xi= 第 i 支元件使用的寿命 ( i =
7、1, 2, 3 ),( i =1, 2, 3 ),( i =1, 2, 3 ),例8-2,假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数 N(t) 服从参数为 t 的泊松分布. 试求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布.,解,)= 0,T,t,设电阻值R是一个随机变量, 均匀分布在900欧1100欧.求R的概率密度及R 落在950欧1050欧的概率.,解,由题意,R 的概率密度为,故有,例3,例4,分析,1 等候时间为 0 5分钟的任一时间;,( 无限性),2 等可能性.,属几何概型,解,所求概率:,解,例1,Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany),Carl Friedrich Gauss,Gauss,
