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n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数线性方程的标准形式,常系数线性常微分方程解的结构,二阶常系数齐次线性方程解法,特征方程,特征根,(1) 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,齐次方程的通解为,特征根为 ，,(2) 有两个相等的实根,所以齐次方程的通解为,另一特解,(3) 有一对共轭复根,方程的通解为,特征根为,二阶常系数非齐次线性方程，,对应齐次方程,通解结构,二阶常系数非齐次线性方程,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,利用欧拉公式,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例2,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例3,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,令,例4,于是,于是，原方程通解为,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,
