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1、金融风险管理,冯玉梅山东财经大学金融学院,1,2022/12/2,可编辑,第二章 市场风险的度量,1 市场风险的灵敏度度量法2 市场风险的波动率度量法3 市场风险的VaR度量方法4 压力测试与极值理论,2022/12/2,可编辑,一、灵敏度分析法概述二、固定收益证券的市场风险灵敏度测量三、股票的市场风险灵敏度测量以CAPM为例四、衍生证券的市场风险灵敏度测量,1 市场风险的灵敏度分析法,2022/12/2,可编辑,一、灵敏度分析法概述1、灵敏度：市场因子变化一个单位所引起的资产组合价值变化的程度。2、数学表示,P：资产组合价值； D：灵敏度； x：市场因子,可编辑,3、不同金融工具的灵敏度固定
2、收益证券：久期和凸度股票： （CAPM模型）衍生金融产品：Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho,可编辑,二、固定收益证券的市场风险灵敏度测量（一）固定收益证券的市场风险（利率风险）分析1、固定收益证券： 是指在特定时间支付预定现金流的金融资产（比如：政府债券、企业债券，等）。2、风险分析,2022/12/2,可编辑,（二）固定收益证券的市场风险（利率风险）灵敏度：久期和凸度1、久期（即Macaulay Duration 麦考利久期） 以债券未来每期现金流的现值与各期现金流现值之和之比为权重计算的债券加权平均到期日。,2022/12/2,可编辑,2、基于久期的利率敏感性测
3、量: 修正久期,为修正久期,可编辑,基于久期的利率敏感性测量评价 修正久期是对固定收益证券价格利率敏感性的线性测量。即该度量方法只考虑了价格变化和利率变化的线性关系。,如果价格是利率的线性函数，这种基于修正久期的测量是准确的；如果价格是利率的非线性函数，固定收益证券价格利率敏感性的测量还需要将凸度的影响考虑进去。,2022/12/2,可编辑,3、基于久期和凸度的固定收益证券利率敏感性测量,定义凸度（convexity）如下：,2022/12/2,可编辑,证明：,2022/12/2,2022/12/2,考虑非线性的资产价格函数设： 则非线性的资产价格函数关系，可以用函数初始值p0=f(y0)附近
4、的泰勒展开来近似：,所以，固定收益证券价格的利率敏感性估计就是对 和C的估计。,2022/12/2,总结与说明：当利率上升或下降相同幅度时，凸性会引起固定收益证券价格下降或上升幅度不对称：利率下降所导致的证券价值上升的幅度相同幅度利率上升导致的证券价格价值下降的幅度。具有较大凸性的固定收益证券较受市场欢迎，通常也有相对较高的价格。,计算：假设某固定收益证券的修正久期为5，凸度为2，计算当利率分别上升和下降1%时，该固定受益证券价格变化的程度。,-4.99%和5.01%,山东财经大学金融学院,山东财经大学金融学院,三、股票的市场风险灵敏度测量以CAPM为例CAPM基本形式：,山东财经大学金融学院
5、,可编辑,四、衍生证券的市场风险灵敏度测量（一）衍生证券衍生证券：指其价值依赖于基础标的资产价格的金融工具。（二）衍生证券的种类根据衍生证券价值与其标的资产价格之间的关系：线性衍生证券：远期；期货；互换非线性衍生证券：期权,2022/12/2,可编辑,（三）衍生证券的定价1、线性衍生证券的定价远期合约定价是线性衍生证券定价的基础（期货和互换可以视作特殊的远期或者系列远期合约的组合）,（1）远期（合约）价值：合约持有人的收益,（2）远期价格（期货价格）：远期（期货）合约中标的物的远期价格（理论期望价格），即标的资产现货价格的终值。,2022/12/2,可编辑,2、非线性衍生证券的定价（B-S期权
6、定价模型）（1）欧式期权到期(T)时的价值： （2）B-S期权定价模型（标的资产不支付红利 欧式期权） 基本思想：期权的价值依赖于它最终处于实值状态的概率。,2022/12/2,计算B-S期权定价公式的matlab函数： callprices, putprices=blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Dividendrate)Price:标的资产的当前价格（St）Strike:执行价格（X）Rate:年复利无风险利率（r）Time:到期时间（T-t）（单位：年）Volatility :标的资产的波动（收益率标准差）Dividendra
7、te：标的资产的分红率,可编辑,2022/12/2,可编辑,（四）衍生证券市场风险的灵敏度的度量1、影响衍生证券价格的因子（1）标的资产的价格 St（2）时间 t（3）利率 r（4）标的资产收益率的波动,可编辑,如果衍生证券的价值统一以F =f ( St, ,t, r ) 表示，则其价值变化F可以一般化地表示为：,2022/12/2,可编辑,2、衍生证券(其价值统一以F表示)市场风险的灵敏度计算 （1）delta：,可编辑,（2）Gamma：,2022/12/2,可编辑,（3）Theta：,可编辑,（4）Vega：（5）Rho：,可编辑,可编辑,2 市场风险的波动率度量法,可编辑,一、市场风险
8、度量的核心问题是价格波动率二、波动率的概念三、波动率的度量方法（一）统计学方法（二）Garch类模型方法（三） SV模型方法（四）隐含波动率方法,2 市场风险的波动率度量法,2022/12/2,可编辑,2 市场风险的波动性度量法,一、市场风险度量的核心问题是价格波动率 由于金融资产的市场风险是由市场因子等的变化引起的，因此，市场风险测量的核心是对市场因子或者直接对资产价格的波动性进行估计和预测。二、波动率（Volatility）的概念波动率是指金融资产价格偏离其期望价值的程度。波动性越大，价格上升或下降的机会或幅度就越大，因此，市场风险就越大。,可编辑,三、波动性的度量方法（一）统计学方法 1
9、、方差或标准差,统计学方法,Garch类模型方法,SV模型方法,隐含波动率方法,可编辑,2、金融经济学中，波动率通常用收益率的标准差来度量金融资产价格 金融资产收益率,非平稳随机过程,平稳随机过程,2022/12/2,可编辑,收益率序列,价格序列,2022/12/2,可编辑,2.波动率的期限结构问题(时间加总问题 time aggregation) 为了比较不同期限的收益和风险，需要进行时间口径一致性转换计算（比如，比较不同时间期限的风险大小时都按年波动率进行计算），经济计量学中称之为时间加总问题。 波动率的期限结构：在某一既定时间期间，收益率波动率与期限长短之间的关系。,2022/12/2,
10、可编辑,（1）独立同分布(I.I.D)假设条件下的时间加总独立同分布假设（基于有效市场假说）：收益率在连续的时间区间内是相互独立、不相关的: 收益率在整个时间段上遵循同样的分布，即：,可编辑,基于上述独立同分布假设，可得： 以此类推，期望收益和方差2随时间期间 t 的延长是线性增加的。,可编辑,设每日的期望收益为day， T 为一年的交易天数，则,可编辑,（2）非独立同分布条件下的时间加总有效市场假说不成立时，收益在相邻的（一系列）时间期间就有可能是相关的。对这种情况最简单的过程描述是一阶自回归过程： 此时，两期的期望收益及方差为：,2022/12/2,可编辑,4、波动性的统计学衡量方法的缺陷
11、（1）“幽灵效应”（ghost effect）或“回声效应”（echo effect）受极端值的影响 即仅仅某一次不正常的收益变化（如极端事件发生）就会对波动性(2)的估计产生长时间的影响，其随后几天波动性(2)估计值都会持续在较高水平上，而实际上波动性可能很早就恢复了正常水平。,2022/12/2,可编辑,（2）难以反映波动性的动态变化情况：,收益率波动具有集群性和爆发性特征（clustering）波动性冲击具有持久性特征收益率具有均值回复特征（向某个长期平均水平收敛的趋势）与独立同分布（正态分布）相比，收益率序列具有尖峰厚尾性特点。,2022/12/2,可编辑,2022/12/2,可编辑,
12、（二）GARCH类模型方法1、 ARCH模型(Engle 1982）,均值回复,集群性,可编辑,2、 GARCH类模型(General ARCH 1986 Bollerslev),通过反复迭代，容易发现：可以低阶的GARCH模型来代表高阶的ARCH模型。有些研究表明， GARCH（1，1） ARCH（20）,可编辑,（三）随机波动（SV）模型方法 GARCH类模型的缺陷：条件方差依赖于过去的观测值，存在异常观 测值时，估计的波动性序列就缺乏稳定性。 随机波动（SV）模型：将 直接表示为一个服从某种分布的随机过程。 比如，通常假设对数波动性服从一阶自回归过程,可编辑,（四）隐含波动率( impl
13、ied volatility IV)1、隐含波动率：当期权价格可以获得时，通过反解B-S期权定价公式得到的标的资产收益率的波动率。,可编辑,2、隐含波动率的用途（两种可能）隐含波动率可用来衡量期权价格是否合理。假若以现在期权的市场价格反推标的资产的波动率是0.50，但实际的波动率是0.30，表示市场可能高估了期权的价值。隐含波动率是以期权价格的当前数据来推算标的资产价格的波动率，因为价格包含了对未来的预期信息，因此，隐含波动率也可能包含了投资者对标的资产价格未来波动的预期。,2022/12/2,可编辑,（2）隐含波动率的Matlab求解函数：Volatility=blsimpv (price,
14、 strike, rate, time, value, limit, tolerance, class)Price:标的资产的当前价格（St）Strike:执行价格（X）Rate:年复利无风险利率（r）Time:到期时间（T-t）（单位：年）Value:期权价格Limit 和 tolerance：对迭代计算的设定，不写出来默认。Class：期权类型（call或者put）,2022/12/2,可编辑,4、“隐含波动性微笑”现象（volatility smile） 理论上讲，若多个期权有相同标的资产、相同到期日，但执行价格不同，利用Black-Scholes 模型计算出的标的资产隐含波动性应相同。
15、然而，实际上由这些期权价格所计算出标的隐含波动性是不同的，由此产生的系统性偏差为波动性微笑（Volatility Smile）。 由于对此现象进行解释的困难性，也被称为“微笑之谜”（ Smile Puzzle）,可编辑,（1）货币期权（外汇期权）的隐含波动率微笑现象,可能的原因：（1）货币期权多是作为避险工具使用的。在两端，投资者一般不会出售深实值期权，因而供给量较小，溢价较高，隐含波动率就较高。根据看涨看跌期权平价关系，看涨期权的溢价也会造成虚值看跌期权的溢价，造成微笑现象。,（2）作为避险工具的货币期权，在上档和下档执行价区间，对于期权的卖方来说风险较大，因而供给量相对较小，价格较高，隐含
16、波动率较高；执行价位于中间区间的货币期权供给量相对较大，价格较低，隐含波动率也较低。,2022/12/2,可编辑,“隐含波动性偏斜/假笑”现象（volatility skew/smirk）,（2）股票期权的隐含波动率现象,可能的原因：（1）与财务杠杆有关。股票价格较低时公司的财务杠杆比率较高，意味着公司股权价值风险较大，波动率较大；而股票价格较高时公司的财务杠杆比率较低，从而公司股权价值风险较小，波动率较小。,（2）股市崩盘恐惧症。在指数下跌时，投资者恐慌指数会不断升高，就会不计代价的买进看跌期权，导致此时的看跌期权价格提高，隐含波动率上升；相反，在指数上升时，投资者恐慌指数会下跌，投资者通常
17、会变得过度乐观而不采取任何避险行为，此处的看跌期权价格会因需求量减少而下跌，其隐含波动率也相对较低。根据看涨看跌期权平价关系，看涨期权价格走势类似。,2022/12/2,2022/12/2,51,可编辑,（3）黄金期权的隐含波动率现象,可能的原因： 黄金期权多作为避险工具使用，由于黄金本身具有的价值，使得在黄金价格较低时，黄金看跌期权的需求量减少，导致其价格下降，隐含波动率随之降低；在黄金价格较高时，看跌期权的需求量增加，导致其价格上升，隐含波动率也随之上升。,2022/12/2,可编辑,3 市场风险的VaR度量法,2022/12/2,可编辑,一、概率分布与分位数二、VaR的计算（一）VaR的
18、定义（二）VaR的计算（三）组合VaRp与组合中各资产VaRi之间的关系 （四）资产组合VaR的分解：成分VaR、边际VaR、增量VaR （五）边际VaR（即M-VaR）的计算总结：VaR方法的缺陷,3 市场风险的VaR度量法,2022/12/2,可编辑,一、概率分布与分位数1、概率分布（1）离散型随机变量的概率分布（2）连续型随机变量的概率分布,可编辑,2、分位数中位数：将一组数据按照升序从小到大排序后，处于 中间位置上的变量值为中位数。四分位数（quartile）:将一组数据按照升序从小到大 排序后，通过三个点将全部数据平均分为四 部分，则第一个点对应的变量值为四分位数。十分位数（deci
19、le）: . .百分位数（percentile）: . .,2022/12/2,可编辑,二、VaR的计算（一）VaR的定义VaR（Value at Risk）：在一个目标投资期内，在给定的置信度下（比如c=95%或c=99% ），资产组合的预期最大损失即为VaR 。也可以作以下理解：你有95%（或99%）的把握你的损失不会超过某一个值，那么这个值即为95%（或99%） 置信度下的VaR。实际损失超过VaR 值的概率不超过1-c。VaR风险测量的优点：以一个简单易懂的数字表明投资者在金融市场的波动中所面临的风险大小。,2022/12/2,可编辑,W,2022/12/2,可编辑,1、VaR的基本计
20、算公式几个假设条件： W0：初始投资额 R：目标投资期的投资收益率 则 为目标投资期末资产组合的期望价值. 则 ：W*为给定置信水平下的资产组合的 最小价值.,（二）VaR的计算,2022/12/2,可编辑,（1）相对VaR相对VaR：资产组合投资期末的期望价值E(W)与给定置信水平 下的资产组合的最小价值之差。（2）绝对VaR绝对VaR：资产组合 的初始价值W0与给定置信水平下的资产 组合的最小价值之差。,2022/12/2,可编辑,总结：计算VaR的关键：寻找资产组合的最小价值W*或最低收益率R *。若期限较短，期望投资收益率可能很小（接近于零），此时，相对VaR和绝对VaR结果相近。否则
21、，相对VaR更为合适，因为它以资产组合的期望价值E(W)为比照标准。,2022/12/2,可编辑,2、根据频数分布计算VaR（确定 R *或者 W* ）计算VaR的一般方法：给定资产组合价值（或收益率）的概 率分布f (W)（或f (R) ），在给定的置 信度 下（比如，95%），找出最小的W* 或R * 。 例子：根据频数分布计算资产组合收益的VaR ： 考虑某种资产组合，历史上10年中该资产组合每日收益数据共有2527个，其分布情况如下图所示：,2022/12/2,可编辑,每日收益的频数分布 单位：百万美元,从经验（频数）分布中求5%分位数对应的收益值（-47），用期望收益（0）减去该值即
22、可求得资产组合收益的VaR：VaR =0-(-47)=47,2022/12/2,可编辑,使用频数分布度量市场风险VaR存在的问题：VaR仅有有限的精度：VaR的值受样本时期长度和所使用的统计方法的影响。VaR没有给出最坏情形下的损失。VaR没有给出损失分布的描述：对于同样的一个VaR，可以有两个非常不同的损失分布。（对照下一页的两个图）,2022/12/2,可编辑,虽然VaR相同，但第二种分布下，发生巨大损失的概率非常大。,2022/12/2,可编辑,3、根据参数分布计算VaR（确定 R *或者 W* ）频数分布需要足够多的历史数据，有时候是难以获得的。研究问题的另一种基本方法：统计推断统计推
23、断：利用观测的样本推断总体的一些性质。统计推断经常对所研究的总体做一些分布假定，比如服从正态分布，等等。这些分布通常以某些参数来描述其分布特征，所以又称为参数分布。比如，正态分布的位置和形状可以由其均值和方差两个参数来描述：,2022/12/2,可编辑,位置相同但形状不同的正态分布曲线,2022/12/2,可编辑,标准正态分布中VaR的计算（确定 R *）假设某金融资产收益率 R 服从正态分布；将 R 转换为标准正态分布：,2022/12/2,可编辑,注意：在最终代入公式计算VaR之前，还应注意标准差和均值两参数与VaR（持有期）之间的时间一致性问题！,2022/12/2,可编辑,假设： 和
24、都是以年为时间单位计算的；收益率是相互独立的（服从独立同分布）；投资期为 年。则资产组合的VaR为：,可编辑,总结：构建资产组合价值VaR的步骤获取当前资产组合的逐日（年、月等）收益率计算其均值与方差（标准差）设置时间期限或持有期设置置信度（95%或者99%）通过计算、处理得出VaR值,注意：1.在金融实务中通常使用相对VaR；2.置信度通常为99%，即3.置信度99%下金融资产收益率的相对VaR=4.置信度99%下金融资产(收益)的相对VaR=,投资期（t）内收益率的标准差,可编辑,（三）组合VaRp与组合中各资产VaRi之间的关系 所以，只有当=1时，即组合中各资产之间均完全正相关时，组合
25、中各项资产的独立VaR之和才等于组合的VaR，即 。然而，根据资产组合原理，这种情况下，投资组合将起不到任何分散风险的作用。,可编辑,所以，通常情况下因此，对于资产组合管理者而言，知道各项资产的VaR，对于了解组合总体风险的主要来源并不能提供有意义的参考价值。要了解各资产对组合总体风险的贡献大小，还需要对组合的VaR进行分解。,可编辑,2022/12/2,可编辑,（四）资产组合VaR的分解：成分VaR、边际VaR和增量VaR1、成分VaR（Component VaR，简记为C-VaR）定义：若资产组合 中，资产 i 的某种VaR(记为 )满足 ，则称 为该资产i 的成分VaR。C-VaR的特性
26、：（1）组合中所有资产的成分VaR之和恰好等于组合的VaR；（2）资产i 的成分VaR恰好为资产i 对组合VaR的贡献额；（3）若某资产的成分VaR为负，则该资产可对冲组合其余部分的风险。,可编辑,2、 边际VaR（Marginal VaR，简记为M-VaR） 定义：设资产组合 ，所谓的边际VaR是指资产组合中由于某资产的头寸变化而导致的组合VaR的变化，即 边际VaR反映了组合VaR对某一资产头寸变化的灵敏度，它有助于资产组合管理者了解当调整某些资产头寸时会给组合整体市场风险带来的影响程度。,可编辑,77,3、增量VaR(Incremental VaR，简记为I-VaR) 假设在原来资产组合
27、 的基础上，新增加另一个资产组合 ，并将调整后的资产组合的VaR记为VaR(w+dw)。于是，新增资产组合dw的VaR被称为增量VaR，其计算公式为 ： I-VaR(dw)VaR(w+dw)VaR(w) I-VaR0 ：加入新资产组合将增加组合的VaR； I-VaR=0： 加入新资产组合不影响组合的VaR； I-VaR0 ：加入新资产组合将减少（对冲）组合的VaR。,可编辑,4、成分VaR、边际VaR和增量VaR之间的关系 经济学中的欧拉定理：产量Q和生产要素L、K的关系表述为Qf (L , K)，如果具体的该函数形式是一次齐次的，那么就有： 因为 被视为劳动对产量的贡献， 被视为资本对产量的
28、贡献。此式被解释为“产品分配净尽定理”，又叫做“边际生产力分配理论”，也就是：如果假设产出 Q 按照各要素的边际贡献被分配给所有要素的话，那么每种投入要素获得的分配份额之和恰好等于总产出。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。产品分配净尽取决于Qf (L , K)能否表示为一次齐次函数形式。,可编辑,数学中的欧拉定理：,齐次式：即多项式中各个单项式的次数都相同。“齐次”即“次数相等”的意思。比如：x+y+z 次数都是1；x2+2xy+y2 次数都是2；x3+xyz+y3+z3 次数都是3。,2022/12/2,可编辑,根据欧拉定理：,所以，只要知道组合中各项资产的边际VaR，则其成分V
29、aR和相应的增量VaR即可求出。,可编辑,（五）边际VaR（即M-VaR）的计算 假设收益率服从正态分布，则资产组合的VaR也可以表示为：,可编辑,可编辑,山东财经大学金融学院,证明：,可编辑,假如某资产组合的初始投资额为1000万元，其在目标投资期内的预期年收益率为5%，该收益率的年波动率（标准差）为0.1，假设资产组合的目标投资期为3个月。该组合由A、B、 C三种资产组成，A=0.3，B=0.5，C=0.2，且A=1.4， B=1.6， C=-1.1。请计算95%置信度下，A、B、 C三种资产的C-VaR。,2022/12/2,可编辑,总结：VaR方法的缺陷金融资产收益率的“厚尾”性特点：
30、金融市场中极端波动事件发生的概率远高于正态分布的估计。极端事件往往会给金融机构带来毁灭性的后果VaR描述市场正常波动下的最大可能损失，无法反映市场出现剧烈波动等极端市场情形下的风险损失。需要测量极端状况下市场风险的理论方法压力测试和极值理论来补充。,2022/12/2,可编辑,4 压力测试与极值理论,2022/12/2,可编辑,4 压力测试与极值理论,压力测试（Stress Testing） 极值理论（Extreme Value Theory）,2022/12/2,可编辑,一、压力测试（Stress Testing） 压力测试是对极端市场情景下资产组合损失的评估。 典型的压力测试方法包括情景分
31、析和系统化压力测试。,2022/12/2,可编辑,（一）情景分析（Scenario Analysis）1、含义： 通过假设金融市场中出现某些特殊情景，来评估金融市场极端事件对资产组合价值变化的影响。2、方法步骤：情景假设（构造） 情景评估（1）情景构造 假设出现某些市场极端情景，是情景分析的基础。,2022/12/2,可编辑,情景构造方法：（1）历史模拟情景方法：假设历史重演 以历史上曾经发生过的极端事件为基准，构造市场的未来极端情景。,2022/12/2,可编辑,1987年黑色星期一,2022/12/2,可编辑,（2）典型情景方法：对主要市场因子的变化进行模拟 通过对金融市场中一个或多个主要
32、市场因子变化的模拟来构造未来的极端情景。比如：股指变化10%；收益率曲线平移100个基本点；波动率变化20%；等等。（3）假设特殊事件方法：设想可能的极端事件 通过设想未来可能发生的一次突发事件构造未来的极端情景。如：大地震；大规模破产；突发性政治事件；等等。,2022/12/2,可编辑,（2）情景评估 基于构造的情景，评估该极端情景发生时，对资产组合价值变化的影响和损失后果。情景评估是情景分析的最终目的。情景评估方法：基于灵敏度的情景评估 缺陷：灵敏度适合于市场因子小幅波动基于全值的情景评估,2022/12/2,可编辑,（二）系统化压力测试 对不同资产面临的各种市场因子不同程度的大幅度波动构
33、造一系列的极端情景，并评估这些极端情景对资产组合价值的影响，从而产生一系列的压力测试结果集合。与情景分析的最大区别在于，它不是针对某一种特殊情景，而是针对一系列不同情景或情景组合。系统化压力测试主要包含风险类型确定和价格波动水平的选择两个核心问题,2022/12/2,可编辑,二、极值理论（Extreme Value Theory） 研究极端事件发生规律、 描述金融资产价值变化的尾部分布特征的理论。Ronald Fisher(1928)指出：极端事件遵循一定的分布形态。可以从历史数据中估算出极值的概率分布。应用举例：荷兰海堤建设保险公司巨灾保险的定价金融风险管理,2022/12/2,可编辑,极值理论模型BMM模型（分块样本极大值模型 Block Maxima Method） 对数据进行分组，然后在每小组中选取最大（小）的一个构成新的极值数据组，并对该数据组进行建模。 POT模型（超门限极值理论模型 Peaks over Threshold） 事先设定一个阈值，把所有观测到的超过这一阈值的数据构成一数据组，并对该数据组进行建模。,2022/12/2,可编辑,2022/12/2,可编辑,2022/12/2,可编辑,2022/12/2,可编辑,2022/12/2,可编辑,根据泰勒中值定理，一多项式函数p=f(y)在y=y0的n阶的泰勒展开式是：,P0,P1,2022/12/2,102,
