机械优化设计 课件.ppt

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1、1,大家好,机械优化设计一.概念 是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。（三级减速器，V降低23%）二.优化设计发展概况 时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用 内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。,2,第二节 优化设计的 数学模型,一.例子。 设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解： 6=2（a+b) S= a*b 法一： 解析法 将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以 求其最大值。 法二： 做图法,3,

2、二.优化设计的数学模型 统一形式描述： min f(x) x=x1,x2,xn s.t gi(x)=0 i=1,2,3.m hj(x)=o j=1,2,.p包括： 1.设计变量 2.目标函数 3.约束问题,4,三 .优化过程： 优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:,四.优化问题的分类 1）按有无约束分：无约束优化问题和有约束优化问题。,5,（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。 （3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。 （4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。 （5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。,五.

3、优化问题的求解 1.迭代过程 X（k+1）=x（k）+（k）s（k） x（k）第K步迭代点 （k）第K步迭方向 s（k）第K步迭步长,6,x (k) x (k+1) x (2) X (1)X (0) 迭代过程终止准则： （1）点距准则： x (k+1) -x (k) 1 (2)下降准则： f(x (k+1) -x (k) ) 2 (3）梯度准则： f(x (k+1) )3,x*,a (0),S (0),7,第三节 一维搜索,概念： 对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法 。一.方法分类1. 分析方法（微分法）2. 数值迭代法 (a

4、). 直接法，包括黄金分割法和对分法 (b). 间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法,8,二.进退法 进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。任意给定初始点 X1和步长h，算出f(x1) 和 x2=x1+h 点的 f(x2)函数值。 图(a)f(x1) f(x2) ，说明x*x1，将步长增加一倍，取x3=x2+2h ； 图(b) f(x1) f(x2) ，说明x*x1，需改变步长符号，得点 x3=x2-h 。 以此类推，即每跨一步为前一次步长的2倍，直至函数值增加为止。,9,三.黄金分割法,黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计

5、算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解 x* 。 (一）区间缩小的基本思路 已知 f(x) 的单峰区间a,b 。为了缩小区间，在a,b 内按一定规则对称地取2个内部点 x1 和x2 ，并计算 f(x1)和 f(x2) 。可能有三种情况：,10,图(a)经过一次函数比较，区间缩小一次。在新的区间内，保留一个好点 x1 和f(x1) ，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与 x1 对称的点x3 ，计算 f(x3) ，与f(x1) 比较。如此反复。 图(b)淘汰a ,x1,令x1 b ，得新区间 a,b 。 图(c)可归纳入上面任一种情况处理。,（二

6、）取点规则 黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。根据上式，黄金分割法的取点规则是,11,(三）收敛准则 由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。对于直接法，有以下几种收敛准则： （1）区间绝对精度 ； （2）区间相对精度 ； （3）函数值绝对精度 ； （4）函数值相对精度,（四）黄金分割法特点 （1）不必要求f(x) 可微，只要利用函数值大小的比较，即可很快地找到x* ； （2）除了第一次缩小区间要计算两个点及其函数值以外，其余每次只要计算一个点及其函数值； （3）可靠性好。,12,13,14,15,四.二次

7、插值法,（一）概念： 是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代 （二）构造 设目标函数f(x)在三点x1x2x3 上的函数值分别为 f(x1),f(x2),f(x3) ，二次插值多项式为p(x)=a+bx+cx2 。多项式在插值点的函数值应与目标函数的函数值相等，满足：,16,(三）收敛准则,相继两次的二次插值函数极小点x(k),x(k+1) 之间距离小于给定精度 时,认为收敛。 （四） 特点

8、：（1） 二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微。 （2） 收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。 （3） 如p(x)的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。,17,第四节 无约束优化方法,一.概念： 对于一个n维目标函数，如果在没有任何限制条件下寻求它的极小点，称无约束极小化问题或无约束优化问题。数学上表达为 minf (X) X R n 大量实际问题都是有约束的，研究无约束优化方法的意义在于： （1）一类功能很强、使用方便的有约束优化方法，往往能将有约束问题转化成无约束问题，易于采用无约束优化方法求解。 （2）无约束优化的理论与方法是约束优化的基础。 （3）有些

9、理论计算问题或设计问题本身就是无约束的。,18,二.梯度法,（1）基本思想：任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。 (2). 收敛准则：,19,三.迭代过程,20,三、共轭梯度法,一.概述 从任意点出发，沿两个互为共轭方向作一维搜索，经过若干步可以获得目标函数的极小点。 二.迭代过程 X（k+1）=x（k）+（k）s（k） s(0）=- g0 s(k+1）=- gk+1+k s（k） k= |gk+1|2/ |gk+1|2,21,四. 牛顿法,一.概述 牛顿法是求函数极值的最古

10、老算法之一。其基本思想是：在点x (k) 的邻域内用一个二次函数 (x) 去近似替代原目标函数F(X)，然后求二次函数的极小点作为下一个迭代点x (k+1) ，通过不断构造二次函数和迭计算，使迭代点逼近函数的极小点X*。 阻尼牛顿法是在原始牛顿法基础上进行修正，能保证每次迭代点的函数值都有所下降。 二.迭代过程,22,23,(三).方法特点： （1）初始点应选在X*附近，有一定难度。 （2）尽管每次迭代都不会是函数值上升，但不能保证每次下降 （3） 若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向。 （4）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。此外，对于二阶不

11、可微的F(X)也不适用。 虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。,24,五. 变尺度法,一.概述变尺度法综合以上两种方法优点：（1）梯度法：初期收敛速度快 （2）牛顿法：在迭代极值点速度最快二.迭代公式 X (k+1) =x (k) (k)Akgk开始：Ak=I结束：Ak=Hk-1,25,六.鲍威尔法,鲍威尔法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一，是一种十分有效的算法。在无约束方法中许多算法都是以共轭方向作为搜索方向，它们具有许多特点。根据构造共轭方向的原理不同，可以形成不同的共轭方向法。 搜索过程,26,七.其他方法 坐标轮换法

12、沿各个坐标搜索，完成一轮搜索 单纯形法对整个区间的点进行搜索，典型的直接法,27,第5节 约束优化方法,一.数学模型 机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为,28,二.有约束优化问题的分类,（1). 直接法 直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可行方向法。 (2). 间接法 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。 直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。 间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近

13、似梯度的应用。很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。,29,三.复合形法 基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1K2n）作为初始复合形的顶点。比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。 反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。 初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。,30,四.网格法 典型的直接法通过网格的方式，计算结点的函数值，比较大小得最好点。,五.随

14、机方向法 在初始点附近产生若干随机方向，选择一个下降最快的方向作为搜索方向。,31,五.惩罚函数法1.惩罚函数法的原问题的数学表达式为：,32,2.分类： 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者AVFiacco和GPMcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。,迭代过程：可行域内选一个严格初始点X(0)，最好不要靠近任一约束边界。 （2） 选一个适当大的初始罚因子r(0)，用无约束优化方法寻求罚函数的极小点X0*，再选一个罚因子递减率c(0c1)，求递

15、减后的罚因子r(1)=cr(0)，以X0*为初始点，再用无约束优化方法求罚函数的极小点X1*。（3） 重复步骤（2），直到满足收敛条件，终止迭代。,33,3.注意几个问题：,（1） 初始点X(0)的选择：初始点必须满足gj (x (0) )0 ，且最好在可行域内离边界远一点，使一开始作无约束求优时，泛函的值较小，收敛快，成功的机会大。 （2） 初始罚因子的选择：r(0)不宜过小。一般先以一个r(0)值进行计算，由计算结果调整其大小。 （3 递减系数c的选择：一般来说，取0.1。,34,4.内外点法的比较 内点法的特点： 1初始点必须为严格内点 2不适于具有等式约束的数学模型 3迭代过程中各个点均为可行设计方案 4一般收敛较慢 5初始罚因子要选择得当 6罚因子为递减，递减率c有01,35,5.混合法 混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点，克服某些缺点，可处理等式约束和不等式约束的优化问题。 混合罚函数法的构造形式与外点法的区别是：选定初始点后，对于已满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对于等式和未被满足的不等式约束按外点法构造惩罚项。混合罚函数法的具体形式是,36,6.P66页的表2-2 约束优化方法的比较 网格法直接法： 随机方向法 复合形法 基本惩罚函数法 外部惩罚函数法间接法： 内部惩罚函数法 混合惩罚函数法 增广乘子法,37,