电网络分析课件.ppt

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1、2022/12/2,电网络分析第二章,电网络分析2,研究生课程主讲人：杨向宇,2022/12/2,电网络分析第二章,顶点（节点）：线段的端点或孤立的点称为顶点或节点，顶点用符号v表示;边（支路）： 连接两个顶点vi、 vj的一条线段称为边或支路。边用顶点的无序偶e=vi, vj表示;图（线图）：边和顶点的集合称为图或线图，其中所有边连接于顶点。若用E表示图中所有边的集合，V表示图中所有顶点的集合，则这个图G可以表示为G=（V，E）；有向图：若将图中所有的边标上一定的方向，称为有向图。有向边a用其顶点vi、 vj的有序偶a=(vi, vj)表示。若用A表示图中所有边的集合，V表示图中所有顶点的集

2、合，则这个图Gd可以表示为Gd=（V，A）,第二章 网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语,2022/12/2,电网络分析第二章,相关联和相邻接：如果边联接着两个顶点，则称边与这两个顶点相关联；如果两个顶点之间至少存在一条边，则两个顶点是相邻接的顶点；如果两条边至少有一个公共顶点，则称两条边为相邻接的边。顶点的次数（维数）：与顶点相关联的边的数目。孤立顶点的次数为0，次数为2的顶点称为简单顶点。子图、互补子图：子图的每一个顶点和边都是原图的顶点和边；两个子图没有相同的边，但共同包含原图的全部边和顶点，这样的两个子图称为互补子图。,第二章 网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术

3、语,2022/12/2,电网络分析第二章,通路：由m条边和m+1个顶点通过m条边依次连通，且m+1个顶点中除始端和终端是1次外，其余各顶点均为2次的，这样的子图称为通路。通路所包含的支路数m称为通路的长度。回路和自环：通路的始端顶点和终端顶点重合，这种闭合的通路称为回路或环；一个回路所包含的支路数称为回路的长度，任何回路的长度等于回路所包含的节点数；长度为1的回路称为自回路，即自环。连通图：任意两个顶点之间至少有一条通路的图称为连通图，否则就是非连通图。完备图：任何一对顶点之间有且仅有一条边。可断图：如果一个连通图G存在着这样一个顶点，将该顶点移去后（移去该顶点及相关联的边），使G成为一个非连

4、通图，这样的顶点称为断点，含断点的连通图称为可断图。,第二章 网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语,2022/12/2,电网络分析第二章,树和树余：包含连通图的全部顶点而不包含任何回路的子图称为连通图的树，在树中，任意两个顶点之间仅有1条通路；在连通图中与树互补的子图称为树余。树中所含的边称为树支，树余中所含的边称为连支。林和余林：在由s 个分离部分组成的非连通图中，各分离部分的树的集合构成一个包含s 个树的林。林的补图称为余林。割集：若移去割集中所有的边，将使连通图分离为2个且仅有2个彼此分离而又各自连通的子图，若保留割集中的任一条边不被移去，该图仍然是连通的。基本割集：单树支割

5、集。基本回路：单连支回路。,第二章 网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语,2022/12/2,电网络分析第二章,定理2-1：在具有Nt个顶点，B条边的连通图G中，任何一个树T的树支数为N=Nt-1，连支数为B-N。定理2-2：对于具有Nt个顶点，B条边的连通图G， G中关于任何一个树T的基本割集数为N，基本回路数为B-N。,第二章 网络图论和网络方程 21 网络的图和图论基本术语,2022/12/2,电网络分析第二章,网络的图是表示网络结构（或拓扑性质）的图形，图的顶点（节点）与边（支路）、回路与边、割集与边的关联性质都可以用矩阵形式来表示。在网络分析中，利用图的矩阵表示，可方便地

6、建立向量形式的网络方程，也有利于用计算机辅助网络分析和设计。一、关联矩阵：增广关联矩阵Aa: Aa=aij 是一个NtB的矩阵,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,定理2-3：一个节点数为Nt的连通图，其增广关联矩阵Aa的秩为N=Nt-1。关联矩阵A：从Aa中去掉任一行所得到的矩阵称为关联矩阵A。定理2-4：在增广关联矩阵Aa中，对应于图G的任一回路的列是线性相关的。定理2-5：连通图G的关联矩阵A的一个N阶子矩阵是非奇异的必要和充分条件是：此子矩阵的列对应于图G的一个树上的树支。,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12

7、/2,电网络分析第二章,二、回路矩阵：增广回路矩阵Ba： Ba=bij 是一个LB的矩阵, L为有向连通图G的回路数。,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,定理2-6：对于一个具有Nt=N+1个节点、B条支路的连通图G，其增广回路矩阵的秩为B-N。基本回路矩阵Bf： 对于一个具有Nt个节点、B条支路的有向连通图G，在选定一个树后，选取基本回路方向，使之与它所关联的连支方向一致。基本回路矩阵Bf是一个（B-N）B矩阵，其元素bij定义如下：,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,三、割集矩阵：增广割

8、集矩阵Qa： 对于一个具有Nt个节点、B条支路、C个割集的有向连通图G，选定割集的方向，则增广割集矩阵是一个CB矩阵，它的每一行对应于一个割集，每一列对应于一条支路，其元素qij定义如下：,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,定理2-7：具有Nt个节点、B条支路的有向连通图G，其增广割集矩阵Qa的秩为N=Nt-1。基本割集矩阵Qf ： Qf 是一个NB矩阵，割集的方向与它所关联的树支方向一致，它的每一行对应于一个基本割集，每一列对应于一条支路，其元素qij定义如下：,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析

9、第二章,四、邻接矩阵： 对于一个具有Nt个节点连通图G，节点之间的邻接关系可以用邻接矩阵D来表示。D=dij是一个Nt阶方阵，其行列均对应于节点，其中每一元素dij定义如下： 邻接矩阵特点：一个无向图G，邻接矩阵为对称矩阵；当且仅当无自环时，其对角线元素为零的对称矩阵；每一行（或每一列）所含1的个数是相应的节点次数,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,五、矩阵A、Bf、Qf之间的关系： 矩阵A与矩阵Bf之间的关系： 如果同一有向连通图的矩阵A和矩阵Bf的列按相同的支路顺序排列，则有：证明：令 如果将A和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，基本回路

10、的顺序与对应的连支顺序一致。则 ， ，,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,因为At为非奇异的，则： 将上式两端取转置，有 ，因此 因此，如果已知关联矩阵A，则可由上式写出基本回路矩阵Bf。,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,矩阵Bf与矩阵Qf之间的关系： 如果同一有向连通图G按照相同的支路顺序排列，则有：证明：令如果矩阵Qf和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，则有 ， ，那么,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,因此： 因此有：,第二章 网络

11、图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,矩阵A与矩阵Qf之间的关系： 因为： 所以： 当已知关联矩阵A时，可根据上式写出基本割集矩阵Qf 。,第二章 网络图论和网络方程 22 图的矩阵表示,2022/12/2,电网络分析第二章,一、基尔霍夫电流定律的矩阵形式 用关联矩阵A表示的KCL方程： 用基本回路矩阵Bf表示的KCL方程： 如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则关联矩阵和支路电流向量可分块为：,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,以下研究的电网络限于线性时不变集总电网络。网络变量是电压、电流

12、；依据：KCL、KVL、VCR,2022/12/2,电网络分析第二章,由于At是一个非奇异矩阵，所以有：由此看出，B条支路电流中，只有B-N个连支电流是独立的，树支电流可由连支电流决定，因此，连支电流是全部支路电流集合的一个基底(basis)。考虑到矩阵Bf与A的关系，得到 该式就是用基本回路矩阵Bf表示的KCL方程的矩阵形式。,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,用基本割集矩阵Qf表示的KCL方程： 由于矩阵Qf的每一行的非零元素表示与该行对应的基本割集所关联的支路及关联形式，因此：每一个基本割集所含支路的

13、电流的代数和为零。二、基尔霍夫电压定律的矩阵形式 用基本回路矩阵Bf表示的KVL方程： 用基本割集矩阵Qf表示的KCL方程： 如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则基本回路矩阵Bf和支路电压向量ub可分块为：,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,于是：由此看出，B条支路电压中，只有N个树支电压是独立的，连支电压可由树支电压决定，因此，树支电压是全部支路电压集合的一个基底(basis)。因此可以得到： 该式就是用基本割集矩阵Qf表示的KVL方程的矩阵形式。,第二章 网络图论和网络方程 23基尔

14、霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,用关联矩阵A表示的KVL方程： 式中un是以各节点电压为元素的列向量，称为节点电压向量。由于每条支路都只与两个节点相关联，支路电压可表示为其两端节点电压之差，因此用节点电压可表示全部支路电压。三、一般支路电压电流关系的矩阵表示 本书第三、四、六章中均是用一个元件表示一条支路。 一般支路形式： 一个无源二端元件与电压源相串联，再与电流源相并联，将这种串并联组合电路部分规定为“一般支路”。其参考方向规定：无源元件为关联参考方向，电源元件为非关联参考方向。,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支

15、路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,时域和复频域的电流、电压关系：一般支路中电流、电压关系 整个网络的时域和复频域电流、电压关系（向量形式）式中i和u分别表示无源元件的电流向量和电压向量；is和us分别表示电流源的电流向量和电压源的电压向量； ib和ub分别表示支路电流向量和电压向量。I(s)、U(s)、Is(s)、Us(s)和Ib(s)、Ub(s)则是上述各变量象函数的向量。,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,一般支路中基尔霍夫定律表达式 复频域一般支路，其电流、电压关系（VC

16、R)为用支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式： 对于网络中每条支路写出VCR方程，并写成矩阵形式,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,式中Zb(s)为无源元件阻抗矩阵，设支路编号先后按电感元件、电阻元件、电容元件的顺序，则支路阻抗矩阵分块成：式中Lp是一个对角方阵。其第i个主对角元素是第i条支路的自感Li，第i行第r列的元素是第i条支路与第r条支路的互感Mir。Rp是对角阵，它的第j 个主对角元素是第j条支路的电阻Rj。Dp为对角阵，其主对角元素Dk是第k条支路的倒电容（即Dk =1/Ck）。下标p

17、代表局部的， Lp 、 Rp 、 Dp分别称为局部电感矩阵、局部电阻矩阵、局部倒电容矩阵。,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,将每个局部参数矩阵都用零元素扩充到Zb(s)矩阵的阶数B，称为支路参数矩阵，用L、R、D表示，例如支路阻抗矩阵：则支路阻抗矩阵可以简单的表示为：用支路导纳矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式： 由支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系，可以得到：,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,式中Yb(s)为

18、无源元件导纳矩阵：式中 p= Lp-1 、 Gp=Rp-1 、Cp= Dp-1分别称为局部倒电感矩阵、局部电导矩阵、局部电容矩阵。如果把上述每一个局部参数矩阵都用零元素扩充到Yb(s)的阶数B，则：式中C、G和 分别称为支路电容矩阵、电导矩阵和倒电感矩阵,第二章 网络图论和网络方程 23基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式,2022/12/2,电网络分析第二章,对于具有有N+1个节点，B条支路的网络，直接求解B个支路电流或B个支路电压的方法，称为直接分析法。一、阻抗矩阵法（支路电流法）对于一个不含受控源的网络，由用基本回路矩阵表示的KCL方程及用支路阻抗矩阵表示的VCR，可得：上

19、式代表B-N个线性独立方程，加上AIb(s)=0，可合写为：如果Ib(s)的系数矩阵为非奇异，则：,第二章 网络图论和网络方程 24 直接分析法,2022/12/2,电网络分析第二章,求出支路电流向量Ib(s)后，则可由用支路阻抗矩阵表示的VCR求出支路电压向量Ub(s) 。二、导纳矩阵法（支路电压法）对于一个不含受控源的网络，由用关联矩阵表示的KCL方程及用支路导纳矩阵表示的VCR，可得：上式代表N个线性独立方程，加上BfUb(s)=0，可合写为：如果Ub(s)的系数矩阵为非奇异，则：,第二章 网络图论和网络方程 24 直接分析法,2022/12/2,电网络分析第二章,求出支路电压向量Ub(

20、s)后，则可由用支路导纳矩阵表示的VCR求出支路电流向量Ib(s) 。,第二章 网络图论和网络方程 24 直接分析法,2022/12/2,电网络分析第二章,直接分析法是以支路电流或支路电压作为网络变量，因而需要联立求解的方程数等于支路数，计算工作量大 。连支电流集是全部支路电流集的基底，树支电压集和节点电压集都是支路电压集的基底，所以可以选取连支电流、树支电压或节点电压作为网络变量。根据网络变量的不同，网络方程可分为回路方程、割集方程和节点方程。对于一个具有N+1个节点，B条支路的电网络，选定一个参考节点，绘出其连通图G，以节点电压Un(s)作为网络变量，可以导出节点方程;在图G中选择一个树后

21、，分别写出基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵Bf，若以树支电压Ut(s)作为网络变量，可导出割集方程；若以连支电流Il(s)作为网络变量，则可导出回路方程。,第二章 网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程,2022/12/2,电网络分析第二章,一、节点方程用关联矩阵A表示的复频域形式的KCL方程和KVL方程为 (1)用支路导纳矩阵Yb(s)表示的VCR方程为 (2)将(2)代入(1)中的第一式，可得：再将(1)中的第二式代入上式，经整理可得：令：,第二章 网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程,2022/12/2,电网络分析第二章,可得：式中，Yn(s)是一个N阶方

22、阵，称为节点导纳矩阵，In(s)是N维向量，称为节点电源电流向量，上式称为节点方程。对于给定网络，由节点方程求出节点电压向量Un(s)，再根据(1)中的第二式和(2)可以分别求出支路电压向量Ub(s)和支路电流向量Ib(s)。二、割集方程用基本割集矩阵Qf表示的复频域形式的KCL方程和KVL方程为： (3),第二章 网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程,2022/12/2,电网络分析第二章,将(2)代入(3)中的第一式，可得：再将(3)中的第二式代入上式，经整理得：令：可得：式中，Yc(s)是一个N阶方阵，称为割集导纳矩阵，Ic(s)是N维向量，称为割集电源电流向量，上式称为

23、割集方程。对于给定网络，由割集方程求出节点电压向量Ut(s)，再根据(3)中的第二式和(2)可以分别求出支路电压向量Ub(s)和支路电流向量Ib(s)。,第二章 网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程,2022/12/2,电网络分析第二章,三、回路方程用基本回路矩阵Bf表示的复频域形式的KCL方程和KVL方程 (4)用支路阻抗矩阵Zb(s)表示的VCR方程为 (5)将(5)代入(4)中的第二式，可得：再将(4)中的第一式代入上式，经整理可得：令：,第二章 网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程,2022/12/2,电网络分析第二章,可得：式中，Zl(s)是一个B

24、-N阶方阵，称为回路阻抗矩阵，Usl(s)是B-N维向量，称为回路电源电压向量，上式称为回路方程。对于给定网络，由回路方程求出连支电流向量Il(s)，再根据(4)中的第一式和(5)可以分别求出支路电流向量Ib(s) 和支路电压向量Ub(s) 。割集方程是节点方程的推广形式；回路方程和割集方程互为对偶的网络方程。,第二章 网络图论和网络方程 25 节点方程、割集方程和回路方程,2022/12/2,电网络分析第二章,问题：在网络中，若存在无伴电压源支路时，由于该支路的导纳为无穷大，给节点方程和割集方程的建立带来困难。解决方案：将无伴电压源支路电流也作为网络变量。求解变量：在改进的节点方程中是以节点

25、电压和某些支路电流作为未知量。说明：某些支路电流除了无伴电压源支路电流外，还可以包括需要直接求解的支路电流。一、支路划分将网络中的支路划分为三类：第一类为一般支路；第二类为无伴电压源支路，以二端元件为一条支路，电压、电流取关联参考方向，USE(s)为无伴电压源电压；,第二章 网络图论和网络方程 26 改进的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,第三类为直接求电流支路，以二端元件为一条支路，电压、电流取关联参考方向，Yx(s)为直接求电流支路导纳。二、改进节点方程将网络中的支路编号按一般支路、无伴电压源支路和直接求电流支路排序，可将网络的关联矩阵写成分块形式：式中：A0是反映一般支路与

26、节点之间的关联关系的子阵；AE是反映无伴电压源支路与节点之间的关联关系的子阵；Ax是反映直接求电流支路与节点之间的关联关系的子阵。,第二章 网络图论和网络方程 26 改进的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,将支路电流向量和支路电压向量也按同样顺序分块根据KCL，有： (2-6-1) (2-6-2),第二章 网络图论和网络方程 26 改进的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,根据KVL，有： (2-6-3) (2-6-4a) (2-6-4b) (2-6-4c)一般支路、无伴电压源支路、直接求电流支路的VCR方程为 (2-6-5a) (2-6-5b) (2-6-5c),第

27、二章 网络图论和网络方程 26 改进的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,改进节点方程将(2-6-4a)代入(2-6-5a)，可得： (2-6-6)将(2-6-4c)代入(2-6-5c)，可得： (2-6-7)将(2-6-6)代入(2-6-2)，可得： (2-6-8)令： (2-6-9) (2-6-10)则(2-6-8)可化简为： (2-6-11),第二章 网络图论和网络方程 26 改进的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,将(2-6-11)、(2-6-4b)和(2-6-7)合写为一个向量方程，得：上式就是改进节点方程的一般形式。改进节点法是以增加网络变量数为代价，避开

28、了写无伴电压源支路的支路导纳。设网络有N+1个节点，p个无伴电压源支路和r个直接求电流支路，则改进节点法的网络变量数为N+p+r个，系数矩阵为N+p+r阶方阵。虽然系数矩阵维数增加了，但矩阵时稀疏的，利用稀疏矩阵技术计算仍很方便。,第二章 网络图论和网络方程 26 改进的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,用零泛器可以描述晶体管、运算放大器等器件的理想化特性，零器和泛器总是成对出现的。含零泛器电路的节点方程列写步骤设网络具有N+1个节点，k对零泛器。（1）把全部零器和泛器都移去（将所有支路都断开），剩下的的网络为2k端口网络，在此情况下，选定参考节点，列写节点方程（为书写简便，省略

29、符号s）,第二章 网络图论和网络方程 27 含零泛器电路的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,（2）将网络中原有零器和泛器逐一接入网络。若端子i和j之间接入一个零器，则Uni=Unj。因此，将节点导纳矩阵中的第j列元素加到第i列元素中去，并删去第j列元素及节点电压向量中的变量Unj，由此可得：按同样的方式将k个零器全部接入电路，则节点导纳矩阵变为N(N-k)矩阵，这样得到的向量方程组中，方程数(N)较变量数(N-k)多k个，即有k个冗余方程。,第二章 网络图论和网络方程 27 含零泛器电路的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,（3）将零器接入网络后，再接入泛器。若端子p

30、和q之间接入一个泛器，设此泛器的电流为Iqp。考虑到该支路的接入对节点的影响，上式可变为：,第二章 网络图论和网络方程 27 含零泛器电路的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,根据零泛器的元件特性， Iqp可为任意值，它决定于整个网络的约束关系，因此，不希望保留上式中的右端变量向量Iqp 。将上述方程组中的第q个方程和第p个方程相加（将节点导纳矩阵的第q行加到第p行，并删除第q行），这样既消除了Iqp，又可去掉一个冗余方程，则上式可变为：,第二章 网络图论和网络方程 27 含零泛器电路的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,由此看出，在电路中接入一对零泛器，节点导纳矩阵变

31、为N-1阶方阵，节点电压向量也变为N-1个元。若将k对零泛器全部接入电路，则节点导纳矩阵将变为N-k阶方阵，此时节点电压向量也只有N-k个元。（4）若节点i、j之间的零器一端j接地，则Uni=Unj=0，因此，可以直接删去节点导纳矩阵中的第i列元素和节点电压向量中的Uni。若节点q、p之间的一端q接地，可直接删去节点导纳矩阵中的第p行元素，并同时删去节点电源电流向量中的Inp。,第二章 网络图论和网络方程 27 含零泛器电路的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,含零泛器电路的节点方程列写步骤总结（1）移去所有零器和泛器（将其暂时断开）。（2）列写网络节点方程，此时节点导纳矩阵为N阶

32、方阵。（3）逐个接入零器。若节点i、j之间接入一个零器，设i、j二节点均不接地，则将节点导纳矩阵中的第j列元素加到第i列元素中去，并删去第j列元素及节点电压向量中的变量Unj；如果节点j接地，则可以直接删去节点导纳矩阵中的第i列元素和节点电压向量中的Uni。（4）逐个接入泛器。若节点q、p之间接入一个泛器，设q、p二节点均不接地，则将节点导纳矩阵中的第q行元素加到第p行元素中去，并删去第q行元素，而节点电流源向量的第p个元素为Inp+Inq,同时去掉第q个元素Inq。如果节点q接地，则可以直接删去节点导纳矩阵中的第p行元素，同时删去节点电流源向量中的Inp。,第二章 网络图论和网络方程 27

33、含零泛器电路的节点方程,2022/12/2,电网络分析第二章,前面介绍的网络方程方法中，导纳矩阵法、节点法、割集法要求能写出导纳矩阵；阻抗矩阵法和回路法要求能写出网络阻抗矩阵。某些元件只有导纳参数，例如电压控制电流源；某些元件只有阻抗参数，例如电流控制电压源；有些参数既不具有阻抗参数，也不具有导纳参数，例如电压控制电压源、电流控制电流源。如果网络中出现上述类型的元件（受控源），应用直接分析法、节点分析法、割集分析法和回路分析法会出现困难。可用混合变量法来分析含上述元件的网络。,第二章 网络图论和网络方程 28 混合变量方程,2022/12/2,电网络分析第二章,一、混合变量方程由于树支电压形成

34、所有支路电压的一个基底集合，用树支电压可以表示出全部支路电压；连支电流形成所有支路电流的一个基底集合，用连支电流可以表示出全部支路电流。因此，可以通过选树来选择一组独立的混合变量树支电压和连支电流（既有电压又有电流）作为网络变量，建立混合元件VCR方程，以适应各类非源元件VCR表达的需求。对于一个给的的网络，选择一个适当的树后，有式中U、I为非源元件（包括无源元件和受控元件）的电压、电流，将这些元件按先树支后连支的顺序排列，则：,第二章 网络图论和网络方程 28 混合变量方程,2022/12/2,电网络分析第二章,第二章 网络图论和网络方程 28 混合变量方程,1、根据KCL方程：QfIb=0

35、，可得QfI=QfIs，将其中矩阵Qf按先树支后连支分块后有2、根据KCL方程：BfUb=0，可得BfU=BfUs，将其中矩阵Bf按先树支后连支分块后有,2022/12/2,电网络分析第二章,第二章 网络图论和网络方程 28 混合变量方程,由于Bt=-QlT，则上式可以写成3、非源元件的混合变量VCR向量方程为式中，Zl为连支阻抗矩阵，Yt为树支导纳矩阵，H12中的元素具有电压比性质， H21中的元素具有电流比性质。上式就是将网络中的连支电压和树支电流用连支电流和树枝电压的混合组合表示。4、将非源元件混合变量的VCR代入前述KCL和KVL方程，可得：,2022/12/2,电网络分析第二章,第二

36、章 网络图论和网络方程 28 混合变量方程,将以上二式合为一个向量方程，可得：上式表示一组以树支非源元件电压和连支非源元件电流作为网络变量的混合变量方程。网络的变量数等于（一般形式）支路数。当网络中不含多端元件时，H12=H21=0，于是上述混合变量方程可以展开成两个独立的方程，将第二式代入第一式可得割集方程，将第一式代入第二式可得回路方程。,2022/12/2,电网络分析第二章,二、树的选择树的选择是列写混合变量方程的关键，非源元件混合变量VCR方程是选树的依据，元件特性只具有导纳表示式的元件选作树支，元件特性只具有阻抗纳表示式的元件选作连支。R、L、C元件具有阻抗和导纳两种表示式，因而既可

37、以选作树支，又可以选作连支。回转器也具有阻抗和导纳两种表示式，但其是一个支路电压与另一个支路电流的关系，故两条支流必须均选为树支或均选为连支。CCVS只有阻抗表示式，两条支路必须均选为连支； VCCS只有导纳表示式，两条支路必须均选为树支。VCVS的控制支路选为树支，受控支路选为连支；CCCS的控制支路选为连支，受控支路选为树支。理想变压器和负阻抗变换器具有两支路电压与电压、电流与电流之间的关系，因此，任选两条支路之一为树支，另一为连支。某些含两个（或以上）多端元件的网络有可能选不出满足上述要求的树，这种情况下不能列出混合变量方程。,第二章 网络图论和网络方程 28 混合变量方程,2022/1

38、2/2,电网络分析第二章,撕裂法是分析大型网络的一种方法。该方法的基本思想是，把一个大型网络撕裂成若干个较小的子网络。对每一个子网络可以单独分析和求解，不必考虑其他部分的存在。然后把各子网络的解相互连接构成原网络的整体解。由于每一子网络结构简单，求解比较容易。对于各子网络可用节点分析、回路分析、割集分析、混合分析等方法求解。我们只介绍节点分析和混合分析，其他分析方法可以自行推导。,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,一、节点分析（节点电压和撕裂支路电流为网络变量）对于图示连通图，当移去支路b1、b2、b3后，原来的连通图成为分离的两个子图。被移去的支

39、路称为撕裂支路，其余支路称为剩余支路。为了使问题简化，假设同类支路之间可存在耦合关系，但撕裂支路与剩余支路之间不存在耦合关系。支路按第三节中规定的一般支路划分。对于具有N+1个节点、B条支路的网络，将其支路分为两类，一类为撕裂支路，用下标d表示；另一类为剩余支路，用下标r表示。,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,1、若移去撕裂支路后，剩余支路形成的子网络的图仍然是连通的，但是可断图，且仅有一个断点：以断点为参考节点，则关联矩阵A按剩余支路和撕裂支路可分块为：设剩余支路形成k个子网络。由于除共同的参考节点外，各子网络既无公共支路，又无公共节点，因此A

40、r可以写为对角阵形式。Ar1，Ark分别表示各子网络的关联矩阵。,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,设支路电流向量、支路电压向量、支路电流源向量和支路电压源向量按同样方式分块：支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵也同样分块为：,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,根据KCL：根据KCL：由一般支路VCR：由此可得：,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,撕裂节点方程上式称为撕裂节点方程，网络变量为节点电压和撕裂支路电流。方程式右端上面一个分块是流入各分离部分的等效电流源的电

41、流，下面一个分块是由撕裂支路中的独立源产生的等效电压源的电压，如撕裂支路不含独立源，该子块为零阵。方程式左端矩阵中ArYrArT是移去撕裂支路后网络剩余部分的节点导纳矩阵，它具有分块对角阵的形式，位于主对角线上的分块为各子网络的节点导纳矩阵。所以，这种方法实际上是对剩余支路形成的部分网络进行节点分析。（加上撕裂支路电流的作用，撕裂支路电流为对应节点电压差除以该支路阻抗）,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,2、若移去撕裂支路后，剩余支路分裂成两个（或两个以上）相互分离的子网络：各子网络中仅有一个含有原网络的参考节点，其余每个子网络另选一参考节点，这些

42、参考节点（另选）的集合用nc表示，不属于nc的节点用n0表示，则关联矩阵A可分块为：将支路电流向量、支路电压向量、支路电流源向量和支路电压源向量均按剩余支路和撕裂支路进行分块：,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵也同样分块为：节点电压向量分块为：其中，Unc表示节点集合nc的节点电压向量， Un0表示不属于n0的节点电压向量。根据KCL：根据KCL：,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,由一般支路VCR：由以上六个方程可得：,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/1

43、2/2,电网络分析第二章,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,撕裂节点方程将以上三式合写为一个向量方程上式也是撕裂节点方程，更具一般性。,2022/12/2,电网络分析第二章,二、混合分析（剩余支路树支电压和撕裂支路连支电流为网络变量）对于网络N确定撕裂支路后，选择一种树T ，则树支分为两类，一类属于撕裂支路，另一类属于剩余支路。同样，连支也有一部分属于撕裂支路，另一部分属于剩余支路。对应的树T的基本割集分为含剩余支路的基本割集和含撕裂支路的基本割集两类。若支路编号按先剩余支路后撕裂支路排序，则基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵Bf可以分块为：,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,20

44、22/12/2,电网络分析第二章,为简化方程，选树时使撕裂树支所定义的基本割集不含剩余连支，则qr=0。相应地，剩余连支所定义的基本回路不含撕裂树支，则Bd=0。于是，上两式可简化为：由BTf Qf=0可得：将支路电压向量、支路电流向量、树支电压向量和连支电流向量按剩余支路和撕裂支路进行分块，则：,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,根据用基本割集矩阵表示的KCL、KVL方程Qf Ib=0 和Ub= QTf Ut得： 根据用基本回路矩阵表示的KCL、KVL方程Bf Ub=0 和Ib= BTf Il得：由一般支路的VCR，有：,第二章 网络图论和网络方

45、程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,撕裂混合方程由上述方程可得：将上述方程合并为一个向量方程，并考虑到br QTr=- bd QTd ，则有：上述方程就是以剩余支路中的树支电压和撕裂支路中的连支电流作为网络变量的撕裂混合方程。此方法实质上是对含剩余树支的基本割集进行割集分析，对含撕裂连支的基本回路进行回路分析。,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,2022/12/2,电网络分析第二章,撕裂混合方程的实质：将网络中的撕裂支路断开后，对剩余支路形成的各个分离部分子网络列写割集方程；将原网络中剩余支路短路后形成的部分网络列写回路方程；进行“修正”。修正时，在剩余割集方程中应计入撕裂连支电流的作用（加上连支电流代数值），在撕裂回路方程中应计入剩余树支电压的作用（加上树支电压的代数值）。,第二章 网络图论和网络方程 29 撕裂法,