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1、常微分方程的数值解法,本章主要内容：,欧拉法 欧拉公式的截断误差 改进欧拉法龙格库塔法 重点：欧拉法、龙格库塔法 难点：局部截断误差 ，龙格库塔法,14.1 欧拉法,14.1.1 欧拉公式 本章的学习目的是要通过数值解法，求解一阶微分方程的初值问题。 设一阶微分方程的初值问题为 怎样求 呢？ 我们过点 以 为斜率作切线切线方程为以 代入，得再以x1作为x0，用上面的方法作切线求y2，如此下去得到 ，从而求得 的近似值。这种解法称为欧拉法。,如果 的取法是等步长的。记 上面用欧拉法求解的公式可表示成： 这一公式称为欧拉公式。欧拉法的几何意义：,例1 用欧拉法求初值问题在 处的近似值。解： 列表计
2、算，,局部截断误差 精确解 与近似解 之间的误差称为局部截断误差。 由泰勒展开式可知： 因此，欧拉法具有一阶精度。 它的局部截断误差是关于步长 h 的二阶无穷小量。 即：,14.1.2 改进欧拉法 求微分方程的解，最简单的想法就是直接积分这在高等数学中可能是不可行的，但在数值分析中却是可行的。用数值积分的梯形公式代入，有：这是求 的近似值的梯形公式。由于等式的两边都有 ，不好直接计算，称为隐式形式。,但由于是近似计算，我们可以先用欧拉公式求出的一个近似值，然后把这个近似值代入等号的右边，计算等号左边的 ，前者称为预报值，后者称为校正值。这种方法称为改进欧拉法。公式可表示为：公式也可表示为：,写
3、成一个式子。就是：也可表示为平均值的形式：改进欧拉法具有二阶精度。它的局部截断误差是关于步长h 的三阶无穷小量。即：,例2 用改进欧拉法求例1初值问题的近似解。解：本题用改进欧拉法求解的公式为： 列表计算，,2001年7月试卷计算题14 用改进的欧拉法预报校正公式，取步长h=0.2求解初值得问题解：本题改进欧拉法的预报校正公式为：当 k=0 时，,当 k=1 时，,14.2 龙格库塔法,14.2.1 龙格库塔法的基本思想 设一阶微分方程的初值问题的解为 。 如果是等距节点，记步长 根据微分中值定理上式中 而根据题设故有：,由于 是 中满足微分中值定理的点的导数因此， 称为平均斜率则：如取 处的
4、斜率 作为平均斜率 的近似值，则得欧拉公式，它的近似等级为 。如取 处的斜率 的平均数作为平均斜率的近似值，则得改进欧拉公式，它的近似等级为 。公式为：,由此想到，我们是否可以在 中多取几个点，再以它们的某种平均值作为 ，把精度进一步提高呢？假设在 中取n个点其中 ，斜率为如果取第一个点为 ，则 取平均斜率的计算方法为则：其中：恰当的选取公式中的常数，就可以使精度尽量地高。这就是龙格库塔法的一般公式。,14.2.2 二阶龙格库塔法 假设在 中再取一个点如果取第一个点为 ，则 取点 为第二个点，则：公式为：恰当的选取 ，可以使精度达到 。这就是二阶龙格库塔公式。,常见的二阶龙格库塔公式称为中点公
5、式。它是二阶龙格库塔公式中的结果。,14.2.3 三、四阶龙格库塔法 三阶龙格库塔法的一般公式为其中：该公式的局部截断误差为 。,四阶龙格库塔法的一般公式为其中：该公式的局部截断误差可达 。,四阶龙格库塔法的优点是； 它是一步法，即已知yk就可以求出yk+1，不需要知道其它的数据。 精确度高。 缺点是计算量大。在一个步长的计算中，要四次计算f(x,y)的值。例如，用四阶龙格库塔法再解在 处的近似值。解：,我们仍然用 Excel 列表计算，为了清楚，先用公式计算出 ，再计算出 ，然后按步长增加，计算下一步长。计算结果为：,解常微分方程初值问题的三阶龙格库塔法的局部截断误差是 。作业： P.185 P.203 带的练习题,
