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1、,第三章生命表基础,背景,通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单。 按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金。 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条件支付。其最重要特征就是它发生的不确定性。一个人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊情况下才是预先可知的。对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之一。,生存状况,从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的特征： 1.存在两种状态：生存和死亡。2.生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。3.任何个体的未来生存时间都是未知的.我们应从生存或死亡概率的探
2、讨而着手生存状况的研究。,生存模型就是用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的问题作出一些解释。下面就是生存模型可回答的例子：一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少?假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能在下一年内死亡?如果某一45岁的男性公民，投保了一个10年的定期的某种人寿保险，那么应该向他收多少保费? 一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民的未来生存时间的影响是怎样的?,生存模型,生命函数,生命表,生命表基础,3.1.1 分布函数,用随机变量 表示初生婴儿的未来寿命。分布函数意义：新生儿在 岁之前死亡的概率。密度函数新生儿的平均寿命例： 表示新生儿50岁仍然生
3、存的概率 或50岁以后死亡的概率。,3.1.2 生存函数,生存函数 意义：新生儿能活过 岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：例,前面我们讲分布函数和生存函数都是从年龄 开始考虑的，但实际购买保险的被保险人往往已经活到某个年龄 岁的人，这时我们关心的是 岁的人剩余寿命 的分布。 表示一个 岁的人或已经活到 岁的人. 表示 未来寿命的随机变量,即剩余寿命,简称余命.关于T的分布,就是 时,X 的条件分布.（X :出生婴儿的未来寿命.）,练习：设,求：,1）,2）新生儿在30岁前死亡的概率；3）新生儿活过50岁的概率；4）新生儿在30岁和50岁之间死亡的概率。,解：,1）,2）,3）,4）
4、,3.1.3 剩余寿命,剩余寿命 的分布函数 ，记作,概率密度函数为,表示 岁的人在 岁之前死亡的概率.,关于t求导,剩余寿命 的生存函数,记作 ： 表示 岁的人在 岁时仍活着的概率.,基本符号,：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：x岁的人活过t年后的u年内死亡的概率.即x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率,基本符号,3.1.4 取整余命,定义： 未来存活的完整年数，简记例:对某个50岁的人开始观察,在55岁零6个月时死亡,则其余命T(50)=5.5,K(50)=5概率函数,练习：用精算符号表示下列概率,1）Pr(50)在 51岁之前死亡2）Pr(
5、22)活至23岁3）Pr(22)活至24岁4）Pr(35)在 55岁之前死亡或在70岁以后死亡5）Pr(20)活至80岁6）Pr(50)在 55岁和70岁之间死亡7）Pr(50)在 52岁之前死亡,答案：用精算符号表示下列概率,1）Pr(50)在 51岁之前死亡2）Pr(22)活至23岁3）Pr(22)活至24岁4）Pr(35)在 55岁之前死亡或在70岁以后死亡5）Pr(20)活至80岁6）Pr(50)在 55岁和70岁之间死亡7）Pr(50)在 52岁之前死亡,练习：已知,解：1）,2）,3）,求：,3.1.5 死亡效力,定义： 的瞬时死亡率，简记用生存函数的相对变化率来表示.用死力表示生
6、存函数,联想利息力,用死力表示其他函数,用死力表示余命 的密度函数,3.1.6 生存函数的解析表达式,有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729) 提出随机变量X服从均匀分布(De Moivre假设)假设人的极限年龄为100岁,De Moivre模型,显然,假设和实际有很多不符的情况.,有关寿命分布的参数模型,De Moivre模型(1729) Gompertz模型(1825),有关寿命分布的参数模型,Makeham模型(1860)Weibull模型(1939),参数模型的问题,至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果未令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差. 还好，精算师可以依赖另一种描述寿命分布的工具,即生命表.,用随机变量 表示初生婴儿的未来寿命。分布函数生存函数剩余寿命 分布函数 ,记作生存函数,记作取整余命,总结：,其概率函数死亡效力,练习：已知,求：,解：,练习：已知，死亡服从Markeham死亡律：,解：,得：,。,。,作业：,Thank you!,
