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1、第五节 两个随机变量的函数的分布,Z=X+Y的分布Z=YX及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布课堂练习,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2, ,一、 的分布,解 依题意,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松
2、分布, 证明Z=X+Y服从参数为,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0 , 1 , ,即Z服从参数为 的泊松分布.,例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个
3、随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时 ,当 时 ,当 时 ,于是,例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,
4、2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 即,更一般地, 可以证明:,若 相互独立，则,二、Z=YX, Z=XY的分布,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=YX的密度函数为,当 X, Y 独立时,解,例6,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M =
5、 max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为:,1. M = max(X,Y) 的分布函数,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为:,设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=
6、max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i = 1, , n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例7 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii)备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,解,(i) 串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时, 系统
7、L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为,因为 X 的概率密度为,所以 X 的分布函数为,当 x 0 时 ,当 x 0 时 ,故,类似地 ,可求得 Y 的分布函数为,于是 的分布函数为,= 1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii) 并联的情况,由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为,故 的分布函数为,于是 的概率密度为,(iii) 备用的情况,因此整个系统 L 的寿命为,由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作,当 z 0 时 ,当 z 0 时 ,当且仅当,即 时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是 的概率密度为,解,需要指出的是，当X1,X
8、n相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,三、课堂练习,设 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布 .试验证随机变量 具有概率密度,1,设随机变量,且满足PX1X2=0=1，求（1）(X1 ,X2)的联合概率分布；（2） PX1 X2；（3） PX1 =X2。,2.设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为,而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).,3.设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为,已知随机事件
9、与 相互独立，则有（B） (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4,4.设随机变量X与Y独立分布, 且X的概率分布为,记,求(U, V)的概率分布;,解 易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且,5. 设X1 ,X2 独立同分布，且X1的分布律为,X1 1 2 3 4,P 0.1 0.2 0.3 0.4,Y=maxX1 ,X2 ，求（1） Y的概率分布：（2）(Y, X1)的联合概率分布。,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,6. 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时 ,当 时 ,当 时 ,于是,
